2022年6分考研数学牛人笔记.docx

精品学习资源最新下载 NewD> 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合与映射§ 1. 集合§ 2. 映射与函数本章教案要求：懂得集合的概念与映射的概念，把握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质；其次章数列极限§ 1. 实数系的连续性§ 2. 数列极限§ 3. 无穷大量§ 4. 收敛准就本章教案要求：把握数列极限的概念与定义，把握并会应用数列的收敛准就，懂得实数系具有连续性的分析意义，并把握实数系的一系列基本定理；第三章函数极限与连续函数§ 1. 函数极限§ 2. 连续函数§ 3. 无穷小量与无穷大量的阶§ 4. 闭区间上的连续函数本章教案要求：把握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估量，闭区间上连续函数的基本性质；第四章微 分§ 1. 微分和导数§ 2. 导数的意义和性质§ 3. 导数四就运算和反函数求导法就§ 4. 复合函数求导法就及其应用§ 5. 高阶导数和高阶微分本章教案要求：懂得微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，娴熟把握求导与求微分的方法；第五章微分中值定理及其应用§ 1. 微分中值定理§ 2.L Hospital法就§ 3. 插值多项式和Taylor公式§ 4. 函数的 Taylor公式及其应用§ 5. 应用举例欢迎下载精品学习资源§ 6. 函数方程的近似求解本章教案要求：把握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的讨论，娴熟运用 L Hospital法就运算极限，娴熟应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题；第六章不定积分§ 1. 不定积分的概念和运算法就§ 2. 换元积分法和分部积分法§ 3. 有理函数的不定积分及其应用本章教案要求：把握不定积分的概念与运算法就，娴熟应用换元法和分部积分法求解不定积分，把握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法；第七章定积分 <§ 1 § 3）§ 1. 定积分的概念和可积条件§ 2. 定积分的基本性质§ 3. 微积分基本定理第七章定积分 <§ 4 § 6）§ 4. 定积分在几何中的应用§ 5. 微积分实际应用举例§ 6. 定积分的数值运算本章教案要求：懂得定积分的概念，坚固把握微积分基本定理：牛顿莱布尼兹公式，娴熟定积分的运算，娴熟运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步把握定积分的数值运算；欢迎下载精品学习资源运算；第八章反常积分§ 1. 反常积分的概念和运算§ 2. 反常积分的收敛判别法本章教案要求：把握反常积分的概念，娴熟把握反常积分的收敛判别法与反常积分的欢迎下载精品学习资源第九章数项级数§ 1. 数项级数的收敛性§ 2. 上级限与下极限§ 3. 正项级数§ 4. 任意项级数§ 5. 无穷乘积本章教案要求：把握数项级数敛散性的概念，懂得数列上级限与下极限的概念，娴熟运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性；第十章函数项级数§ 1. 函数项级数的一样收敛性§ 2. 一样收敛级数的判别与性质§ 3. 幂级数欢迎下载精品学习资源§ 4. 函数的幂级数绽开§ 5. 用多项式靠近连续函数本章教案要求：把握函数项级数<函数序列）一样收敛性概念，一样收敛性的判别法与一样收敛级数的性质，把握幂级数的性质，会娴熟绽开函数为幂级数，明白函数的幂级数展开的重要应用；第十一章 Euclid空间上的极限和连续§ 1.Euclid空间上的基本定理§ 2. 多元连续函数§ 3. 连续函数的性质本章教案要求：明白Euclid空间的拓扑性质，把握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区分，把握紧集上连续函数的性质；第十二章多元函数的微分学<§ 1§ 5）§ 1. 偏导数与全微分§ 2.多元复合函数的求导法就§ 3.Taylor公式§ 4. 隐函数§ 5. 偏导数在几何中的应用第十二章 多元函数的微分学 <§ 6§ 7）§ 6. 无条件极值§ 7. 条件极值问题与 Lagrange 乘数法本章教案要求：把握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区分，娴熟把握多元函数与隐函数的求导方法，把握偏导数在几何上的应用，把握求多元函数无条件极值与条件极值的方法；第十三章重积分§ 1. 有界闭区域上的重积分§ 2. 重积分的性质与运算§ 3. 重积分的变量代换§ 4. 反常重积分§ 5. 微分形式本章教案要求：懂得重积分的概念，把握重积分与反常重积分的运算方法，会娴熟应用变量代换法运算重积分，明白微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用；第十四章曲线积分与曲面积分§ 1. 第一类曲线积分与第一类曲面积分§ 2. 其次类曲线积分与其次类曲面积分§ 3.Green 公式， Gauss 公式和 Stokes 公式§ 4. 微分形式的外微分§ 5. 场论初步欢迎下载精品学习资源本章教案要求：把握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与运算方法，把握Green 公式， Gauss 公式和 Stokes 公式的意义与应用，懂得外微分的引入在给出 Green 公式， Gauss 公式和 Stokes 公式统一形式上的意义，对场论学问有一个初步的明白；第十五章含参变量积分§ 1. 含参变量的常义积分§ 2. 含参变量的反常积分§ 3.Euler积分本章教案要求：把握含参变量常义积分的性质与运算，把握含参变量反常积分一样收敛的概念，一样收敛的判别法，一样收敛反常积分的性质及其在积分运算中的应用，把握Euler积分的运算；第十六章Fourier级数§ 1. 函数的 Fourier级数绽开§ 2. Fourier级数的收敛判别法§ 3. Fourier级数的性质§ 4. Fourier变换和 Fourier积分§ 5. 快速 Fourier变换本章教案要求：把握周期函数的Fourier级数绽开方法，把握Fourier级数的收敛判别法与Fourier级数的性质，对 Fourier变换与 Fourier积分有一个初步的明白；试卷一、解答以下各题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、欢迎下载精品学习资源11、12、13、14、15、16、二、解答以下各题1、2、3、三、解答以下各题四、解答以下各题其次部分（ 1） 课程名称 ：微分几何（ 2） 基本内容 ：三维空间中经典的曲线和曲面的理论；主要内容有：曲线论 ，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率；Fre net标架与 Frenet公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton 公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton 公式， Fenchel定理与 Fary欢迎下载精品学习资源-Milnor 定理；曲面的局部理论 ，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的其次基本形式；曲面上的活动标 架与基本公式； Weingarten 变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线； Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映射与第三基本形式；全脐曲面、微小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动；基本要求 ：通过本课程的学习，同学应把握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与讨论微分几何的一些常用方法；以便为以后进一步学习、讨论现代几何学打好基础；另一方面培育同学理论联系实际和分析问题解决问题的才能；二、讲授纲要第一章 三维欧氏空间的曲线论§1 曲线 曲线的切向量 弧长教案要求：懂得曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线；§2 主法向量与从法向量曲率与扰率教案要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、亲密平面与从切平面等基本概念，会运算曲率与挠率；§3 Frenet 标架 Frenet 公式教案要求：把握 Frenet公式，能运用 Frenet公式去解决实际问题；§4 曲线在一点邻近的性质教案要求：能表 达曲线在一点 领域内的局部 规范形式，懂得 扰率符 号的集合意义；§5 曲线论基本定理教案要求：把握曲 线论 的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些 简洁 的曲 线；§6 平面曲线的一些整体性质6 1关于闭曲线的一些概念6 2切线的旋转指标定理6 3凸曲线 *6 4等周不等式 *6 5四顶点定理 *6. 6Cauchy-Crofton 公式 *教案要求：懂得平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简洁曲线、切线像、相对全欢迎下载精品学习资源曲率、旋转指标、凸曲线；把握平面曲线的一些整体性质：简洁闭曲线切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton 公式；§7 空间曲线的整体性质7. 1球面的 Crofton 公式 *7 2Fenchel定理 *7 3Fary-Milnor 定理 *教案要求：懂得全曲率的概念；把握空间曲线的一些整体性质：球面的Crofton 公式， Fenchel定理与 Fary-Milnor 定理；其次章 三维欧氏空间中曲面的局部几何§1 曲面的表示 切向量 法向量1 1曲面的定义1 2切向量 切平面1 3法向量1 4曲面的参数表示1 5例1. 6单参数曲面族平面族的包络面 可展曲面教案要求：把握曲面的三种局部解读表示；会求曲面的切平面与法线；明白旋转曲面与直纹面的表示；把握可展曲面的特点；§2 曲面的第一、其次基本形式2. 1曲面的第一基本形式2 2曲面的正交参数曲线网2 3等距对应 曲面的内蕴几何2 4共形对应2 5曲面的其次基本形式教案要求：把握曲面的第一基本形式及相关量曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角与面积的运算，并懂得其几何意义；明白等距对应与共形对应；把握其次基本形式；§3 曲面上的活动标架曲面的基本公式3.1 1省略和式记号的商定3.2 2曲面上的活动标架曲面的基本公式3.3 3Weingarten 变换 W欢迎下载精品学习资源3.4 4曲面的共轭方向 渐近方向 渐近线欢迎下载精品学习资源§4 曲面上的曲率教案要求：把握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲 线网的联络系数；懂得Weingarten变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简洁曲线的渐近曲线；欢迎下载精品学习资源4 1曲面上曲线的法曲率4 2主方向 主曲率4 3Dupin 标线4 4曲率线4 5主曲率及曲率线的运算总曲率 平均曲率4 6曲率线网4 7曲面在一点的邻近处的外形4 8Gauss映射及第三基本形式4 9总曲率、平均曲率满意某些性质的曲面教案要求：懂得法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行运算；把握Gauss映射及第三基本形式；能对全脐曲面与总曲率为零的曲面进行分类；把握微小曲面的几何意义并会求一些简洁的微小曲面；§5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理5.1 1曲面的基本方程5.2 2曲面论的基本定理教案要求：把握、懂得曲面的基本方程与曲面论基本定理；§6测地曲率 测地线6.1 1测地曲率向量 测地曲率6.2 2运算测地曲率的 Liouville 公式6 3测地线6.4 4法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系6.5 5应用6.6 6测地扰率6.7 7Gauss-Bonnet公式教案要求：懂得与把握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville 公式运算测欢迎下载精品学习资源地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行讨论； 懂得<局部） Gauss-Bonnet公式；§7 曲面上的向量的平行移动7 1向量沿曲面上一条曲线的平行移动确定微分7 2确定微分的性质7 3自平行曲线7 4向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示7 5沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系教案要求：懂得向量沿曲面上一条曲线的平行移动与确定微分；习题 ：1.证明推论 2.3.1 ，2. 设X，Y为 Banach空间，是连续抽象函数 ,对有界线性算子，证明：在上可积，并且；3. 设到中的算子由给出，在任一元素处是否可导？如答案确定，求导算子；4. 设是到中的一个映射；证明：在处沿方向的微分等于 grad f x 0> h T,这里 grad f =<） ,在和的情形下运算，又问：在处的导数是什么？当时求；5. 设由定义，求在< 1，2）处沿方向<1， 1）的微分；欢迎下载精品学习资源解：写，知，故所求微分为；6. 设、是赋范线性空间，：由定义，其，BX, Y > ，证明在处可微，且求其导算子；解：，由于BX,Y> ，且在处是 可微的，且；7.设由确定，求在<1， 2， 1）处的导数；解：采纳列向量表示，将变换成，故在处的F 导数应是变换的Jacobi矩阵，在处，此矩阵为，在列向量表示下，在<1， 2， 1）处的导数作为线性算子就是此常数矩阵打算的变换：右端即故在<1， 2， 1）处的 导数就是将变换为的线性变换；备注 1：这一答案保持了原题用行向量表达的方式；欢迎下载精品学习资源备注 2：当表示为，我们可得在处的导数是：，即，故或，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表示；第三部分1. 高等代数基本定理设为数域；以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体；假如，就称为的次数，记为；定理 <高等代数基本定理）C的任一元素在 C中必有零点；命题设是C上一个次多项式，是一个复数；就存在 C 上首项系数为的次多项式，使得证明 对 作数学归纳法；推论为的零点，当且仅当为的因式 <其中）；命题 <高等代数基本定理的等价命题）设为C上的次多项式，就它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法；欢迎下载精品学习资源2. 高等代数基本定理的另一种表述方式定义 设是一个数域，是一个未知量，就等式<1）<其中）称为数域上的一个次代数方程 ；假如以带入 <1）式后使它变成等式，就称为方程 <1）在中的一个 根；定理 <高等代数基本定理的另一种表述形式）数域上的次代数方程在复数域 C内必有一个根；命题次代数方程在复数域 C 内有且恰有个根 <可以重复）；命题 <高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个 n次、 m次多项式，假如存在整整数,及个不同的复数，使得，就；1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性设，其中；设的复根为<可能有重复），就所以；我们记；欢迎下载精品学习资源；<称为的初等对称多项式 ）；于是有定理 2.5韦达定理 >设，其中；设的复根为；就；命题 给定 R上 次方程，假如i是方程的一个根，就共轭复数i也是方程的根；证明 由已知，.两边取复共轭，又由于R，所以.高等代数试卷设，并且，都不等于零，但，证明：，线性无关欢迎下载精品学习资源答案：按线性无关的定义证明2、令表示一切次数不大于的 多 项 式 连 同 零 多 项 式 所 成 的 向 量 空 间 ，求关于以下两个基的矩阵：<1） 1， ，<2） 1，答： <1）<2）3、表示数域上四元列空间取对于，令求，解：，取的一个基<如标准基），按列排成矩阵B，矩阵AB 的列向量恰是这个基的象；又，所以所以4、设上三维向量空间的线性变换关于基的矩阵是，求关于基的矩阵5、令是数域上向量空间的一个线性变换，并且满意条件，证明： <1）欢迎下载精品学习资源<2 ）证明： <1），就，反之，于是，即设由，有，使得又，所以，即所以6、设，求解：特点值特点向量，就最新下载 NewD> 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息欢迎下载