-学年度苏教版八年级一次函数知识点整理.docx

精品学习资源苏教版八年级上学期一次函数学问点整理最新学问点 1一次函数和正比例函数的概念假设两个变量 x，y 间的关系式可以表示成y=kx+bk，b 为常数， k 0的形式， 就称 y 是 x 的一次函数 x欢迎下载精品学习资源为自变量，特殊地， 当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数 . 例如： y=2x+3 ，y=-x+2 ，y= 1 x 等都是一次函数， y=21 x，2欢迎下载精品学习资源y=-x 都是正比例函数 .【说明】 1一次函数的自变量的取值范畴是一切实数，但在实际问题中要依据函数的实际意义来确定. 2一次函数 y=kx+b k， b 为常数， b0中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次” 意义相同，即自变量x 的次数为 1，一次项系数k 必需是不为零的常数，b 可为任意常数 . 3当 b=0， k 0 时， y=b 仍是一次函数 . 4当 b=0， k=0 时，它不是一次函数 .探究沟通有人说：“正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区分”点拨 这种说法不完全正确正比例函数是一次函数，但一次函数不肯定是正比例函数，只有当b=0 时，一次函数才能成为正比例函数学问点 2确定一次函数的关系式依据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程， 再用含 x 的代数式表示 y学问点 3函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，全部这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线学问点 4一次函数的图象由于一次函数y=kx+bk，b 为常数， k 0的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一欢迎下载精品学习资源般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点 0，b，直线与 x 轴的交点 -点. 画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点0， 0，1， k即可 .学问点 5一次函数 y=kx+bk， b 为常数， k 0的性质 1k 的正负打算直线的倾斜方向； k0 时， y 的值随 x 值的增大而增大； kO时， y 的值随 x 值的增大而减小b ， 0. 但也不必肯定选取这两个特殊k欢迎下载精品学习资源 2|k| 大小打算直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与 x 轴相交的锐角度数越大直线陡， |k| 越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小直线缓； 3b 的正、负打算直线与y 轴交点的位置；当 b 0 时，直线与 y 轴交于正半轴上；当 b 0 时，直线与 y 轴交于负半轴上；当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数 4由于 k， b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；如图 11 18l 所示，当 k0， b 0 时，直线经过第一、二、三象限直线不经过第四象限；如图 11 182所示，当 k0， b O 时，直线经过第一、三、四象限直线不经过其次象限；如图 11 183所示，当 kO， b 0 时，直线经过第一、二、四象限直线不经过第三象限；欢迎下载精品学习资源如图 11 184所示，当 k O， b O时，直线经过其次、三、四象限直线不经过第一象限 5由于 |k| 打算直线与 x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x 1 可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的学问点 6正比例函数y=kxk 0的性质 1正比例函数y=kx 的图象必经过原点； 2当 k 0 时，图象经过第一、三象限,y随 x 的增大而增大； 3当 k 0 时，图象经过其次、四象限,y随 x 的增大而减小学问点 7点 Px 0， y 0与直线 y=kx+b 的图象的关系 1假如点 Px0， y0在直线 y=kx+b 的图象上，那么 x0,y 0 的值必满意解析式y=kx+b ； 2假如 x0，y0 是满意函数解析式的一对对应值，那么以x0， y0 为坐标的点 Px 0，y0必在函数的图象上 例如：点 P1， 2满意直线 y=x+1，即 x=1 时， y=2，就点 P1， 2在直线 y=x+l的图象上；点 P 2，1不满意解析式 y=x+1，由于当 x=2 时， y=3 ，所以点 P 2， 1不在直线 y=x+l 的图象上学问点 8确定正比例函数及一次函数表达式的条件 1由于正比例函数y=kxk0中只有一个待定系数k，故只需一个条件如一对x，y 的值或一个点就可求得 k 的值 2由于一次函数 y=kx+b k 0中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k， b 的方程，求得 k， b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y 的值学问点 9待定系数法先设待求函数关系式其中含有未知常数系数，再依据条件列出方程或方程组 ，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如： 函数 y=kx+b 中， k，b 就是待定系数学问点 10用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 1设函数表达式为y=kx+b； 2将已知点的坐标代入函数表达式，解方程组； 3求出 k 与 b 的值，得到函数表达式例如：已知一次函数的图象经过点2， 1和 -1 ，-3 求此一次函数的关系式 解：设一次函数的关系式为y kx+b k 0，由题意可知，欢迎下载精品学习资源12k3b,kb,k4 ,解3b5 .3此函数的关系式为y= 4 x5 33欢迎下载精品学习资源【说明】 此题是用待定系数法求一次函数的关系式，详细步骤如下： 第一步， 设依据题中要求的函数“设” 关系式 y=kx+b，其中 k，b 是未知的常量，且k 0；其次步，代依据题目中的已知条件，列出方程或方程组，解这个方程或方程组 ，求出待定系数k， b；第三步，求把求得的k， b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中；第四步，写写出函数关系式.学问点 11一次函数与一次方程组 、不等式的关系欢迎下载精品学习资源解一次方程组与不等式问题一 次 函 数 问 题从“数”的角度从“形”的角度当直线 y=kx b 上点的纵坐标为0 时，欢迎下载精品学习资源解一元一次方程kx b=0解一元一次方程kx b=c当一次函数 y=kx b 的函数值 y值等于 0 时求自变量 x 的值当一次函数 y=kx b 的函数值 y值等于 c 时求自变量 x 的值求这个点的横坐标是什么？即求直线与 x 轴的交点坐标当直线 y=kx b 上点的纵坐标为c 时，求这个点的横坐标是什么？欢迎下载精品学习资源解一元一次不等式当一次函数 y=kx b 的函数值 y当直线 y=kx b 上的点的纵坐标大于0欢迎下载精品学习资源kx b 0或 0值大于 0或小于 0时求自变量 x 的值当一次函数 y=kx b 的函数值 y或小于 0时，求这些点的横坐标在什么范畴？即求直线与x 轴的交点坐标的上方或下方的部分直线的横坐 标的范畴当直线 y=kx b 上的点的纵坐标大于m欢迎下载精品学习资源解一元一次不等式kx b m或 m解一元一次不等式kx b mx n解二元一次方程组ykxbymxn值大于 m或小于 m时求自变量 x 的值当一次函数 y=kx b 的值大于 mx n 的值时，对应的自变量 x 的范畴是多少？当一次函数 y=kx b 与 y=mx n 的值相等时，对应的自变量 x 的值是多少？这个函数值是多少？或小于 m时，求这些点的横坐标在什么范畴？在相同横坐标的情形下 , 当直线 y=kx b 上的点的纵坐标大于直线 y=mx n 上的点的纵坐标时，求这些点的横坐标在什么范畴？当直线 y=kx b 与直线 y=mx n 相交时求交点坐标欢迎下载精品学习资源思想方法小结：1函数方法函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是争论两个变量之间的对应关系，敏捷运用函数方法可以解决很多数学问题 2数形结合法数形结合法是指将数与形结合，分析、争论、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用学问规律小结1常数 k， b 对直线 y=kx+bk 0位置的影响当 b 0 时，直线与 y 轴的正半轴相交； 当 b=0 时，直线经过原点；当 b 0 时，直线与 y 轴的负半轴相交欢迎下载精品学习资源当 k， b 异号时，即 -b 0 时，直线与 x 轴正半轴相交；k欢迎下载精品学习资源当 b=0 时，即 -b =0 时，直线经过原点；k欢迎下载精品学习资源当 k， b 同号时，即 -b 0 时，直线与 x 轴负半轴相交k欢迎下载精品学习资源当 b O， bO时，图象经过第一、二、三象限； 当 k 0， b=0 时，图象经过第一、三象限；当 b O， b O时，图象经过第一、三、四象限；当 k O， b 0 时，图象经过第一、二、四象限； 当 k O， b=0 时，图象经过其次、四象限；当 b O， b O时，图象经过其次、三、四象限 2直线 y=kx+bk 0与直线 y=kxk 0 的位置关系 直线 y=kx+bk 0 平行于直线 y=kxk 0当 b 0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当 b O时，把直线 y=kx 向下平移 |b| 个单位，可得直线y=kx+b 3直线 b1=k1x+b1 与直线 y 2=k2x+b2 k1 0 ，k2 0的位置关系 k1 k2y 1 与 y2 相交；欢迎下载精品学习资源k1k2b1b2y 1 与 y 2 相交于 y 轴上同一点 0， b1或 0，b2；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源k1k2 ,b1b2y 1 与 y2 平行；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源k1k2 ,b1b2y 1 与 y2 重合欢迎下载精品学习资源典 型 例 题例 1 已知 y-3 与 x 成正比例，且x=2 时， y=7. 1写出 y 与 x 之间的函数关系式；2当 x=4 时，求 y 的值； 3当 y=4 时，求 x 的值 分析 由 y-3 与 x 成正比例，就可设y-3=kx，由 x=2 ，y=7 ，可求出 k，就可以写出关系式 解：1 由于 y-3 与 x 成正比例，所以设y-3=kx 把 x=2 ，y=7 代入 y-3=kx中，得7-3 2k ， k 2y 与 x 之间的函数关系式为y-3=2x，即 y=2x+3 2当 x=4 时， y=2 ×4+3=111 3当 y 4 时， 4=2x+3，x=.2同学做一做已知 y 与 x+1 成正比例，当 x=5 时， y=12，就 y 关于 x 的函数关系式是.老师评一评由 y 与 x+1成正比例，可设 y 与 x 的函数关系式为x=k x+1 .再把 x=5 ， y=12代入，求出 k 的值，即可得出 y 关于 x 的函数关系式 设 y 关于 x 的函数关系式为y=k x+1 .当 x=5 时， y=12 ， 12= 5+1 k ，k=2 y 关于 x 的函数关系式为 y=2x+2【留意】 y 与 x+1成正比例，表示y=kx+1，不要误认为 y=kx+1.例 2 2003·哈尔滨假设正比例函数y=1-2mx 的图象经过点 Ax 1， y 1和点 Bx2， y2，当 x 1 x 2时， y 1 y 2，就 m的取值范畴是欢迎下载精品学习资源A mOBm 0C m1D m 122欢迎下载精品学习资源 分析 此题考查正比例函数的图象和性质，由于当 x1 x2 时，y 1 y 2 ，说明 y 随 x 的增大而减小， 所以 1-2m欢迎下载精品学习资源 O,m 1，故正确答案为 D 项2欢迎下载精品学习资源例 32003·陕西已知直线y=2x+1 1求已知直线与 y 轴交点 M的坐标； 2假设直线 y=kx+b 与已知直线关于 y 轴对称，求 k， b 的值 老师评一评1 令 x=0 ，就 y=2 ×0+1=1，M 0， 1直线 y=2x+1与 y 轴交点 M 的坐标为 0 ， 1 2直线 y=kx+b与 y=2x+l关于 y 轴对称，欢迎下载精品学习资源两直线上的点关于 y 轴对称又直线 y 2x+1与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A-11， 0， B0， 1,21欢迎下载精品学习资源A -，0 ，B0 ， 1 关于 y 轴的对称点为A-21， 0 ， B0 ， 1 2欢迎下载精品学习资源直线 y=kx+b必经过点 A -1， 0 ， B0 ， 12欢迎下载精品学习资源把 A -， 0 ， B0 ， 1代入 y=kx+b中得2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源01 k2b,k2,b1.k -2 ， b 1 欢迎下载精品学习资源10b,小结当两条直线关于 x 轴或 y 轴对称时，就它们图象上的点也必关于x 轴或 y 轴对称例如：对于两个一次函数，假设它们关于x 轴对称，求出已知一个一次函数和x 轴、y 轴的交点，再分别求出这两个点关于 x 轴的对称点，利用求出的两个对称点，就可以求出另一个函数的解析式例 4 已知 y+2 与 x 成正比例，且x=-2 时， y=0 1求 y 与 x 之间的函数关系式； 2画出函数的图象； 3观看图象，当 x 取何值时， y 0？ 4假设点 m， 6在该函数的图象上，求m的值； 5设点 P 在 y 轴负半轴上， 2中的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，且 S ABP=4，求 P 点的坐标分析 由已知 y+2 与 x 成正比例，可设 y+2=kx ，把 x=-2 ，y=0 代入，可求出 k，这样即可得到 y 与 x 之间的函数关系式，再依据函数图象及其性质进行分析，点 m ，6 在该函数的图象上，把 x=m ，y=6 代入即可求出 m 的值欢迎下载精品学习资源解：1 y+2与 x 成正比例，设 y+2=kxk 是常数，且 k 0 当 x=-2时， y=0 0+2 k ·-2 ，k -1 函数关系式为 x+2=-x，即 y=-x-2 2列表；x0-2y-20描点、连线，图象如图11 23 所示 3由函数图象可知，当x -2 时， y 0当 x-2 时， y0 4 点m ， 6 在该函数的图象上，6=-m-2,m -8 5函数 y=-x-2分别交 x 轴、 y 轴于 A ， B 两点，A -2 ， 0， B0， -2 1欢迎下载精品学习资源SABP =·|AP| ·|OA|=4 ，288欢迎下载精品学习资源|BP|=4 .点P 与点 B 的距离为 4 | OA |2又B 点坐标为 0 ， -2, 且 P 在 y 轴负半轴上，P 点坐标为 0 ， -6.2例 5 已知一次函数 y= 3-k x-2k +18. 1k 为何值时，它的图象经过原点？2k 为何值时，它的图象经过点0， -2 . 3k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在 x 轴的上方？ 4k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？ 5k 为何值时， y 随 x 的增大而减小？ 分析 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y 轴的交点在 y 轴上方，说明常数项b O ；两欢迎下载精品学习资源函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随 x 的增大而减小，说明一次项系数小于0 解：1 图象经过原点，就它是正比例函数欢迎下载精品学习资源2k2183k0,0,k -2 当 k=-3时，它的图象经过原点欢迎下载精品学习资源 2该一次函数的图象经过点0 ， -2 .-2=-2k2 +18 ，且 3-k 0 ，k= ± 10当 k= ± 10 时，它的图象经过点 0 ， -2 3图象与 y 轴的交点在 x 轴上方，即 b 0 -2k 2+18 0，-3 k 3 ，当-3 k 3 时，它的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方 4函数图象平行于直线y=-x ，3-k=-1，k 4 当 k 4 时，它的图象平行于直线x=-x 5随 x 的增大而减小，3-k O k 3当k 3 时， y 随 x 的增大而减小欢迎下载精品学习资源例 6已知直线 y=kx+b 经过点55 ， 0，且与坐标轴围成的三角形的面积为2525 ，求此直线的解析式 .4欢迎下载精品学习资源错解：直线经过点， 0 ，0=2k+b, 2b欢迎下载精品学习资源设直线 y=kx+b与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为A -k， 0， B0 ， b ，欢迎下载精品学习资源又 SABO =25,SABO =41|OA| ·|OB|=21·-2b25·b=.k4欢迎下载精品学习资源1b25即 b，2k45欢迎下载精品学习资源由得 b=-k，代入中得 k=-2 ，b=5.2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所求直线的解析式为y=-2x+5 分析 上述解法显现了漏解的情形，由于解题时忽视了|OA|=|-b|，|OB|=|b|中的肯定值符号，因此，也就k欢迎下载精品学习资源漏掉了一个解析式正解：直线经过点5， 0 ，0=25k+b ，2b欢迎下载精品学习资源设直线 y=kx+b与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为A -k， 0， B0 ， b ，欢迎下载精品学习资源|OA|=|-b|=|k25b|， |OB|=|b|.k11b25欢迎下载精品学习资源又SAOB =，SAOB =4|OA| ·|OB|=2·|·|b|=，2k4欢迎下载精品学习资源即 1bb2k25，由得 b=-45 k ，代入中得 |k|=2 ，2欢迎下载精品学习资源k 1 2 ， k 2 -2 ，b 1 -5 ， b 2 5所求直线的解析式为y=2x-5或 y=-2x+5例 7 2004·沈阳某市的A 县和 B 县春季育苗，急需化肥分别为90 吨和 60 吨，该市的C 县和 D县分别储存化肥 100 吨和 50 吨，全部调配给 A 县和 B 县已知 C， D 两县运化肥到 A， B 两县的运费元吨如下表所示 1设 C县运到 A 县的化肥为x 吨，求总运费W元与 x吨的函数关系式，并写出自变量x 的取值范畴； 2求最低总运费，并说明总运费最低时的运输方案分析 利用表格来分析C， D两县运到 A ， B两县的化肥情形如下表就总运费W元与 x吨的函数关系式为：W=35x+4090-x +30100-x +4560-100-x =10x+4800自变量 x 的取值范畴是 40 x 90 解：1 由 C 县运往 A 县的化肥为 x 吨，就 C 县运往 B 县的化肥为 100-x 吨D 县运往 A 县的化肥为 90-x 吨， D 县运往 B 县的化肥为 x-40 吨 由题意可知W 35x+40 90-x +30 100-x +45 x-40 10x+4800欢迎下载精品学习资源自变量 x 的取值范畴为 40 x 90 总运费 W 元与 x吨之间的函数关系式为w 1Ox+480O 40 x9O 210 0，W 随 x 的增大而增大当 x=40时， W 最小值 =10 ×40+4800=5200元 运费最低时， x=40 ，90-x=50吨， x-40=0吨当总运费最低时，运输方案是：C 县的 100 吨化肥 40 吨运往 A 县， 60 吨运往 B 县， D 县的 50 吨化肥全部运往 A 县例 8 2004·黑龙江 图 11 30 表示甲、 乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 y千米 随时间 x分变化的图象全程 ，依据图象答复以下问题 1当竞赛开头多少分时，两人第一次相遇？ 2这次竞赛全程是多少千米？ 3当竞赛开头多少分时，两人其次次相遇？分析 此题主要考查读图才能和运用函数图象解决实际问题的才能解决此题的关键是写出甲、乙两人在行驶中，路程y 千米随时间x分变化的函数关系式，其中：乙的函数图象为正比例函数，而甲的函数图象就是三段线段，第一段是欢迎下载精品学习资源正比例函数，其次段和第三段是一次函数，需分别求出解：1 当 15 x33 时，设 yAB =k 1x+b 1 ，把 15 ，5 和 33 ，7 代入，解得 k 1=110,b 1=,93欢迎下载精品学习资源y AB =110x+.93110欢迎下载精品学习资源当 y=6时，有 6=x+9，x=24 ；3欢迎下载精品学习资源竞赛开头 24 分时，两人第一次相遇1 2设 y OD =mx, 把 4， 6代入，得 m=，41欢迎下载精品学习资源当 X=48时， y OD =×48=12 千米这次竞赛全程是 12 千米4欢迎下载精品学习资源 3当 33 x 43 时，设 yBC=k 2x+b 2 ，把 33 ， 7 和 43 ，12 代入，欢迎下载精品学习资源解得 k 2=1， b 2 =-219.y BC=2119x-.22欢迎下载精品学习资源解方程组得y1 x219 ,x2得38,19x=38.欢迎下载精品学习资源y1 x.y2 .4当竞赛开头 38 分时，两人其次次相遇例 9 2004·济南如图 1131 所示，已知直线y=x+3 的图象与 x轴、y 轴交于 A， B 两点，直线 l 经过原点，与线段AB交于点 C，把 AOB的面积分为 2： 1 的两部分，求直线 l 的解析式 分析 设直线 l 的解析式为 y=kxk 0, 由于 l 分AOB 面积比为 2 ：1，故分两种情形： SAOC ：SBOC =2 ：1 ； SAOC ：SBOC =1 ：2 求出 C 点坐标，就 可 以 求出直线 l 的解析式解：直线 y=x+3的图象与 x,y 轴交于 A ， B 两点欢迎下载精品学习资源A 点坐标为 -3 ， 0 ,B 点坐标为 0,3.1|OA| 3， |OB|=3 SAOB =2|OA| ·|OB|=19×3×3=.22欢迎下载精品学习资源设直线 l 的解析式为 y=kx k 0 .直线 l 把AOB 的面积分为 2 ： 1，直线 l 与线段 AB 交于点 C分两种情形来争论：当 SAOC :SBOC =2:1时，设 C 点坐标为 x 1 ，y 1.欢迎下载精品学习资源又SAOB =S AOC +S BOC =99，SAOB =222=3.3欢迎下载精品学习资源即 SAOC =1·|OA| ·|y 1|=21×3 ×|y 1|=3.2欢迎下载精品学习资源y 1= ±2 ，由图示可知取 y 1=2 又点 C 在直线 AB 上，2=x 1 +3 ，x 1=-1.C 点坐标为 -1 ， 2 把 C 点坐标 -1 ， 2代人 y=kx中，得： 2=-1 ·k，k -2 直线 l 的解析式为 y=-2x当 SAOC :SBOC =1:2时，设 C 点坐标为 x 2,y2 欢迎下载精品学习资源9913又SAOC =S AOC +S BOC =,SAOB =,欢迎下载精品学习资源2113232欢迎下载精品学习资源即 SAOC =·|OA| ·|y 2|=2·3·|y 2 |=2.y 2 = ±1 ，由图示可知取 y 2=1.2欢迎下载精品学习资源又点 C 在直线 AB 上，1=x 2+3 ，x2 =-2.把 C 点坐标 -2 ， 1代入 y=kx中，得： 1=-2k，k=-y 2.1直线 l 的解析式为 y=-x.2直线 l 的解析式为 y=-2x或 y=-1 x.2小结 此题是一道综合一次函数与三角形相关学问的综合题，特殊留意求正比例函数的解析式时，点C 的坐标至关重要，要利用分类争论的数学思想，全面的考虑问题，防止漏掉解的情形欢迎下载