2022年3数列极限存在的条件.docx

精品学习资源§3数列极限存在的条件主要内容： 单调有界定理柯西准就要 求： 把握单调有界定理证明和运算极限的方法技巧；难点：运用柯西准就证明极限存在或不存在方法的把握单调有界定理： 任何单调 有界数列都有极限；例 1 设， 证明该数列收敛；例 2证明数列收敛，并求其极限；clf,n=20；a1>=sqrt2>；plot0；n,2；2>,hold onfor i=1:n； ai+1>=sqrt2+ai>>； ploti,ai>,'r.'>,hold ondaxis1,n,1,2.2>2.221.81.61.41.212468101214161820en欢迎下载精品学习资源数列的单调递增是明显的,有界很简洁用归纳法证明,而且利用单调有界定理 ,设其极限为,就有,A=2例 3证明存在； <c16, n= ）先看一下数列的变化的图像,该数列单调有界 <小于 3），所以极限存在，且由图象看出：随着 n的增大 ,逐步接近一个的无理数 eclf, n=50； x=1:n ； fx>=1+1./x>.x；plot0；n,2.718； 2.718>,hold on plotx,fx>,'r.'>2.82.72.62.52.42.32.22.1205101520253035404550存在的证明Cauchy 1789 1857 >最先给出这一极限，这个极限的证明方法许多；下面给出一个较简洁的证法证法先证明：对和正整数，有不等式欢迎下载精品学习资源事实上，<该不等式又可变形为为正整数 >在此不等式中 ,取就有就有. 单调增取又有对成立，又由有界由单调有界定理存在；用莱表示这个极限；Cauchy 收敛准就： 数列收敛，例 4证明 :任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列欢迎下载精品学习资源收敛 .其中是中的数 .证令有欢迎下载精品学习资源数列极限 习题课一 按定义证明数列极限p27， 2 按定义证明：3）5）回忆证明 1）的表达 2 ）证明的一般步骤证明： 1）2 ） 由使p33 1求以下极限<3）p34 2设就存在 N，时，欢迎下载精品学习资源证明 由时a+b>/2ab欢迎下载精品学习资源由，时4<4）解保号性时，欢迎下载精品学习资源两边夹原就 15>解证明以下数列发散6<2）<3）回忆收敛数列的性质：有界性如数列无界，就数列发散2>对于任意取，就数列无界，所以数列发散回忆归结原就<3） 取数列，就取，就p3915>二 单调有界定理证明数列收敛3 <2 ），数列单调递增设时，时欢迎下载精品学习资源<3 ）时单调有界定理，极限存在46不妨设单调递增，；只需证明有界；反证法；假设无界；就对任意存在，因无界，与冲突；欢迎下载精品学习资源7由保号性时，时，数列1+h1l欢迎下载精品学习资源递减，有界，存在，再由8有界存在上确界，记为A由确界定义，对任意，取，时， 即8取欢迎下载精品学习资源留意递减10由于由 p37 例 4 的证明，递增，且其次章数列极限 总练习1<1）因2<3）不等式：1n证明由图，欢迎下载精品学习资源利用这个不等式3就数列的前 n 项算术平均值构成的数列和几何平均值构成的数列极限都是4<2）由 3 题<3）， 由 3 题<4）由 3 题<5）由 3 题记8>欢迎下载