2022年7十七讲函数奇偶性及其应用.docx

精品学习资源数值分析教研室泰山学院信息科学技术学院教案欢迎下载精品学习资源课程名称高等数学讨论授课对象2006 级本科授课题目第十七讲函数奇偶性及其应用课时数4教案通过教案使同学把握函数奇偶性的概念；奇偶函数的导数、变动上限的目的积分形式的原函数、不定积分、定积分、重积分的性质及应用1. 偶函数奇偶性与导数重2. 函数奇偶性与不定积分点难3. 函数奇偶性与定积分点4. 函数奇偶性与重积分第十七讲函数奇偶性及其应用1. 函数奇偶性的概念教2. 偶函数奇偶性与导数3. 函数奇偶性与变动上限的积分形式的原函数学4. 函数奇偶性与不定积分5. 函数奇偶性与定积分6. 函数奇偶性与二重积分提7. 函数奇偶性与三重积分纲欢迎下载精品学习资源教案教案过程与内容后记第十七讲函数奇偶性及其应用1. 函数奇偶性的概念定义 1：设函数在关于原点对称的区间I 上有定义，假如<1 ）对于,就称是偶函数；<2）对于,就称是奇函数；主要结论：<1 ）函数在关于原点对称的区间I 上有定义，就是偶函数； 是奇函数；<2 ）函数在关于原点对称的区间I 上有定义，就可以表示成一个偶函数和一个奇函数的和；这是由于：=<3 ）偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称；<4 ）偶函数 +偶函数 =偶函数； 奇函数 +奇函数 =奇函数奇函数偶函数=奇函数；定义 2：设函数在关于y 轴区间 D 上有定义，假如<1 ）对于<2）对于,就称关于 x 是偶函数；,就称关于 x 是奇函数；2. 偶函数奇偶性与导数定理 1：设函数在关于原点对称的区间I 上有导数，就<1 ）假如是偶函数 ,就是奇函数；<2）假如是奇函数 ,就是偶函数；证明 :仅证明 1>是偶函数 , 对于,在 I 任取.得证 .3. 函数奇偶性与变动上限的积分形式的原函数定理 2：设函数在关于原点对称的区间I 上有连续，就<1 ）假如是偶函数 ,就是奇函数；<2）假如是奇函数 ,就是偶函数；证 明 : 仅 证 明 1>是 偶 函 数 ,对 于, 记令 s=-t欢迎下载精品学习资源得证.4. 函数奇偶性与不定积分定理 3 ：设函数在关于原点对称的区间I 上连续，假如是奇函数，就是偶函数；证明：记，是奇函数，就是的一个原函数，并切是偶函数，所以， 留意：假如例：是偶函数；是偶函数 ,就不肯定是奇函数；，只有 c=0 时的原函数才是奇函数；5. 函数奇偶性与定积分定理 4：设函数在-a,a 连续，就<1 ）假如是奇函数 ,就；<2）假如是偶函数 ,就；证明： :仅证明 1>令，并留意到定积分与积分变量的选取无关及例 1: 运算【解】=2+0=2例 2: 运算【解】=例 3:运算欢迎下载精品学习资源【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简；但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用两个公式的推导方法；【解】令，所以6. 函数奇偶性与二重积分设函数在区域 D 上连续，就<1 ）假如关于是奇函数，并且D 关于 Y 轴对称 ,就；<2）假如关于是偶函数，并且 D 关于 Y 轴对称 ,就；例 4:设区域， 运算二重积分【分析】由于积分区域关于轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，就将其化为极坐标系下累次积分即可.【解】 积分区域如右图所示 .由于区域关于轴对称， 函数是变量的偶函数，函数是变量的奇函数 .就，故.欢迎下载精品学习资源【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分运算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化运算.例 5 设二元函数运算二重积分，其中【解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有其中为 D 在第一象限的部分.设,.因此.7. 函数奇偶性与三重积分对称性：如关于 xyyz 或 zx> 面对称，而是 zx 或 y> 的偶<奇）函数， 就<）；例 6： 1> 设，求；2> 设，求；【解】 1>积分区域关于面对称，为 的奇函数，故故原式2>关 于面 对 称 ，为的 奇 函 数 ， 故欢迎下载精品学习资源故欢迎下载