2022年二次函数中考大题总结及答案详解.docx

一、解答题（共 30 小题）1（ 2022.凉山州）如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,抛物线 y= x2+bx+c经过 A、B 两点,并与 x 轴交于另一点C（点 C 点 A 的右侧）,点 P 是抛物线上一动点（ 1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（ 2）如点 P 在其次象限内,过点P 作 PD 轴于 D ,交 AB 于点 E当点 P 运动到什么位置时,线段PE 最长？此时 PE 等于多少？（ 3）假如平行于x 轴的动直线 l 与抛物线交于点 Q,与直线 AB 交于点 N,点 M 为 OA 的中点,那么是否存在这样的直线 l,使得 MON 是等腰三角形？如存在,恳求出点Q 的坐标；如不存在,请说明理由2（2022.连云港）如图,抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,点 O 为坐标原点,点 D 为抛物线的顶点,点E 在抛物线上,点 F 在 x 轴上,四边形 OCEF 为矩形,且 OF=2, EF=3,（ 1）求抛物线所对应的函数解析式；（ 2）求 ABD 的面积；（ 3）将 AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°,点 A 对应点为点 G,问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由3（ 2022.丽水）在直角坐标系中,点A 是抛物线 y=x2 在其次象限上的点,连接OA,过点 O 作 OB OA,交抛物线于点 B,以 OA、OB 为边构造矩形AOBC（ 1）如图 1,当点 A 的横坐标为 时,矩形 AOBC 是正方形；（ 2）如图 2,当点 A 的横坐标为时, 求点 B 的坐标； 将抛物线 y=x2 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线y= x2,试判定抛物线 y= x2 经过平移交换后, 能否经过A, B,C 三点？假如可以,说出变换的过程；假如不行以,请说明理由4（ 2022.乐山）如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为（ m, m）,点 B 的坐标为（ n, n）,抛物线经过 A、 O、B 三点,连接 OA、OB、AB,线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（ m n）分别是方程x2 2x 3=0 的两根（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如点 P 为线段 OB 上的一个动点 （不与点 O、B 重合）,直线 PC 与抛物线交于D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧）, 连接 OD 、BD 当 OPC 为等腰三角形时,求点P 的坐标； 求 BOD面积的最大值,并写出此时点D 的坐标5（ 2022.兰州）如 x1、x2 是关于一元二次方程ax2+bx+c（a0）的两个根,就方程的两个根x1、x2 和系数 a、b、c有如下关系： x1+x2 = , x1.x2=把它称为一元二次方程根与系数关系定理假如设二次函数y=ax2+bx+c（ a0）的图象与 x 轴的两个交点为 A（ x1, 0）, B（ x2, 0）利用根与系数关系定理可以得到A、B 连个交点间的距离为：AB=|x1 x2|=；参考以上定理和结论,解答以下问题：设二次函数 y=ax2+bx+c（ a0）的图象与 x 轴的两个交点A（ x1, 0）, B（ x2, 0）,抛物线的顶点为C,明显 ABC为等腰三角形（ 1）当 ABC 为直角三角形时,求b2 4ac 的值；（ 2）当 ABC 为等边三角形时,求b2 4ac 的值6（ 2022.兰州）如图, Rt ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上, O 为坐标原点, A、B 两点的坐标分别为（3, 0）、（ 0,4）,抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B,且顶点在直线 x=上（ 1）求抛物线对应的函数关系式；（ 2）如把 ABO 沿 x 轴向右平移得到 DCE ,点 A、B、O 的对应点分别是D、 C、E,当四边形 ABCD 是菱形时, 试判定点 C 和点 D 是否在该抛物线上,并说明理由；（ 3）在（ 2）的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P 使得 PBD 的周长最小,求出P 点的坐标；（ 4）在（ 2）、（ 3）的条件下,如点M 是线段 OB 上的一个动点（点M 与点 O、B 不重合）,过点 M 作 BD 交 x 轴于点 N,连接 PM、PN,设 OM 的长为 t, PMN 的面积为 S,求 S 和 t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范畴, S 是否存在最大值？如存在,求出最大值和此时M 点的坐标；如不存在,说明理由7（ 2022.荆门）已知： y 关于 x 的函数 y=（ k 1） x2 2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点（ 1）求 k 的取值范畴；（ 2）如 x1, x2 是函数图象与x 轴两个交点的横坐标,且满意（k1） x21 +2kx2+k+2=4 x1x2 求 k 的值； 当 kxk+2 时,请结合函数图象确定y 的最大值和最大值8（ 2022.荆门）如图甲,四边形OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,顶点在B 点的抛物线交 x 轴于点 A、D ,交 y 轴于点 E,连接 AB 、AE、BE 已知 tan CBE=, A（ 3,0）, D（ 1, 0）, E（0, 3）（ 1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标；（ 2）求证： CB 是 ABE 外接圆的切线；（ 3）摸索究坐标轴上是否存在一点P,使以 D、E、P 为顶点的三角形与 ABE 相像,如存在,直接写出点P 的坐标；如不存在,请说明理由；（ 4）设 AOE 沿 x 轴正方向平移t 个单位长度（ 0 t3）时, AOE 与 ABE 重叠部分的面积为s,求 s 与 t 之间的函数关系式,并指出t 的取值范畴9（ 2022.江西）如图,已知二次函数L 1： y=x2 4x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边）,与 y 轴交于点C（ 1）写出 A、B 两点的坐标；（ 2）二次函数 L 2： y=kx2 4kx+3k（ k0）,顶点为 P 直接写出二次函数L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质； 是否存在实数k,使 ABP 为等边三角形？假如存在,恳求出k 的值；如不存在,请说明理由； 如直线 y=8k 与抛物线 L 2 交于 E、F 两点,问线段 EF 的长度是否会发生变化？假如不会,恳求出EF 的长度；假如会,请说明理由10（ 2022.嘉兴）某汽车租赁公司拥有20 辆汽车据统计,当每辆车的日租金为400 元时,可全部租出；当每辆车的日租金每增加50 元,未租出的车将增加1 辆；公司平均每日的各项支出共4800 元设公司每日租出工辆车时, 日收益为 y 元（日收益 =日租金收入一平均每日各项支出）（ 1）公司每日租出 x 辆车时,每辆车的日租金为 元（用含 x 的代数式表示） ；（ 2）当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大？最大是多少元？（ 3）当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏？11（ 2022.嘉兴）在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是抛物线： y=x2 上的动点（点在第一象限内） 连接 OP,过点 0作 OP 的垂线交抛物线于另一点 Q连接 PQ,交 y 轴于点 M作 PA 丄 x 轴于点 A,QB 丄 x 轴于点 B设点 P 的横坐标为 m（ 1）如图 1,当 m= 时, 求线段 OP 的长和 tan POM 的值； 在 y 轴上找一点 C,使 OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形,求点C 的坐标；（ 2）如图 2,连接 AM 、BM ,分别与 OP、OQ 相交于点 D、E 用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标； 求证：四边形ODME 是矩形12（ 2022.佳木斯）如图,抛物线y=x2+bx+c 经过坐标原点,并与x 轴交于点 A（ 2, 0）（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）写出顶点坐标及对称轴；（ 3）如抛物线上有一点B,且 SOAB =3,求点 B 的坐标13（ 2022.济宁）如图,抛物线y=ax2+bx 4 与 x 轴交于 A（ 4, 0）、B（ 2, 0）两点,与 y 轴交于点 C,点 P 是线段 AB 上一动点（端点除外） ,过点 P 作 PD AC,交 BC 于点 D ,连接 CP（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）当动点 P 运动到何处时, BP2=BD .BC；（ 3）当 PCD 的面积最大时,求点P 的坐标14（ 2022.吉林）问题情境如图,在 x 轴上有两点 A（ m,0）,B（ n,0）（ n m 0）分别过点 A,点 B 作 x 轴的垂线,交抛物线y=x2 于点 C、点 D 直线 OC 交直线 BD 于点 E,直线 OD 交直线 AC 于点 F,点 E、点 F 的纵坐标分别记为yE,yF 特例探究填空：当 m=1, n=2 时, yE= 当 m=3, n=5 时, yE= , yF= ；, yF= 归纳证明对任意 m, n（ n m0）,猜想 yE 与 yF 的大小关系,并证明你的猜想拓展应用（ 1）如将 “抛物线 y=x2”改为 “抛物线 y=ax2（a 0） ”,其他条件不变,请直接写出yE 与 yF 的大小关系；（ 2）连接 EF, AE当 S 四边形 OFEA=3S OFE 时,直接写出 m 与 n 的关系及四边形 OFEA 的外形15（ 2022.鸡西）如图,抛物线y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于点 C,且 OA=2,OC=3（ 1）求抛物线的解析式（ 2）如点 D （ 2, 2）是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得 BDP 的周长最小？如存在,恳求出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由注：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x=16（ 2022.黄石） 已知抛物线 C1 的函数解析式为y=ax2+bx 3a（ b 0）,如抛物线 C1 经过点（ 0, 3）,方程 ax2+bx 3a=0 的两根为 x1, x2,且 |x1 x2|=4（ 1）求抛物线 C1 的顶点坐标（ 2）已知实数 x 0,请证明 x+2,并说明 x 为何值时才会有 x+=2 （ 3）如将抛物线先向上平移 4 个单位,再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C2,设 A（ m, y1）,B（ n,y2）是 C2 上的两个不同点,且满意： AOB=90°,m 0,n 0请你用含 m 的表达式表示出 AOB 的面积 S,并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数 OA 的函数解析式（参考公式：在平面直角坐标系中,如 P（ x1, y1）, Q（ x2, y2）,就 P, Q 两点间的距离为）17（ 2022.黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品,每件产品的成本为2400 元,销售单价定为3000 元,在该产品的试销期间,为了促销,勉励商家购买该新型产品,公司打算商家一次购买这种新型产品不超过10 件时,每件按 3000 元销售；如一次购买该种产品超过10 件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600 元（ 1）商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600 元？（ 2）设商家一次购买这种产品x 件,开发公司所获得的利润为y 元,求 y（元）与 x（件）之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范畴（ 3）该公司的销售人员发觉：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会显现随着一次购买的数量的增多, 公司所获得的利润反而削减这一情形为使商家一次购买的数量越多,公司所获得的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）18（ 2022.黄冈）如图,已知抛物线的方程C1：y= （ x+2）（ x m）（ m 0）与 x 轴相交于点 B、C,与 y 轴相交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧（ 1）如抛物线 C1 过点 M（ 2,2）,求实数 m 的值；（ 2）在（ 1）的条件下,求 BCE 的面积；（ 3）在（ 1）条件下,在抛物线的对称轴上找一点H ,使 BH +EH 最小,并求出点 H 的坐标；（ 4）在第四象限内,抛物线C1 上是否存在点F,使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与 BCE 相像？如存在,求 m的值；如不存在,请说明理由19（ 2022.怀化） 如图, 抛物线 m：y= （ x+h）2+k 与 x 轴的交点为 A、B,与 y 轴的交点为 C,顶点为 M（ 3,）,将抛物线 m 绕点 B 旋转 180°,得到新的抛物线n,它的顶点为 D；（ 1）求抛物线 n 的解析式；（ 2）设抛物线 n 与 x 轴的另一个交点为 E,点 P 是线段 ED 上一个动点（ P 不与 E、D 重合）,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 F,连接 EF假如 P 点的坐标为（ x,y）, PEF 的面积为 S,求 S 与 x 的函数关系式,写出自变量 x的取值范畴,并求出 S 的最大值；（ 3）设抛物线 m 的对称轴与 x 轴的交点为 G,以 G 为圆心, A、B 两点间的距离为直径作 G,试判定直线 CM 与 G 的位置关系,并说明理由20（ 2022.湖州）如图 1,已知菱形 ABCD 的边长为 2,点 A 在 x 轴负半轴上,点 B 在坐标原点点 D 的坐标为（,3）,抛物线 y=ax2+b（ a0）经过 AB、 CD 两边的中点（ 1）求这条抛物线的函数解析式；（ 2）将菱形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2）,过点 B 作 BE CD 于点 E,交抛物线于点 F,连接 DF 、AF设菱形 ABCD 平移的时间为 t 秒（ 0t） 是否存在这样的 t,使 ADF 与DEF 相像？如存在,求出t 的值；如不存在,请说明理由； 连接 FC,以点 F 为旋转中心,将 FEC 按顺时针方向旋转180 °,得 FE C,当 FEC落在 x 轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时,求t 的取值范畴 （写出答案即可）21（ 2022.呼和浩特）如图,抛物线y=ax2+bx+c（ a 0）与双曲线相交于点 A, B,且抛物线经过坐标原点,点 A 的坐标为（ 2,2）,点 B 在第四象限内,过点 B 作直线 BC x 轴,点 C 为直线 BC 与抛物线的另一交点,已知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍,记抛物线顶点为 E（ 1）求双曲线和抛物线的解析式；（ 2）运算 ABC 与ABE 的面积；（ 3）在抛物线上是否存在点 D,使 ABD 的面积等于 ABE 的面积的 8 倍？如存在,恳求出点 D 的坐标；如不存在,请说明理由22（ 2022.衡阳）如下列图,已知抛物线的顶点为坐标原点 O,矩形 ABCD 的顶点 A, D 在抛物线上,且 AD 平行 x 轴,交 y 轴于点 F, AB 的中点 E 在 x 轴上, B 点的坐标为（ 2, 1）,点 P（ a, b）在抛物线上运动 （点 P 异于点 O）（ 1）求此抛物线的解析式（ 2）过点 P 作 CB 所在直线的垂线,垂足为点R, 求证： PF=PR； 是否存在点 P,使得 PFR 为等边三角形？如存在,求出点P 的坐标；如不存在,请说明理由； 延长 PF 交抛物线于另一点Q,过 Q 作 BC 所在直线的垂线,垂足为S,试判定 RSF 的外形23（ 2022.黑龙江）如图,抛物线y= x2+bx+c 经过坐标原点,并与x 轴交于点 A（ 2, 0）（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）写出顶点坐标及对称轴；（ 3）如抛物线上有一点B,且 SOAB =8,求点 B 的坐标24（ 2022.菏泽）牡丹花会前夕,我市某工艺厂设计了一款成本为10 元/件的工艺品投放市场进行试销经过调查,得到如下数据：销售单价 x（元 /件） 20 30 40 50 60 每天销售量（ y 件） 500400 300200100 （ 2）当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价 成本总价）（ 3）菏泽市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过35 元/件, 那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？25（ 2022.菏泽）如图,在平面直角坐标系中放置始终角三角板,其顶点为A（0, 1）, B（ 2, 0）, O（ 0, 0）,将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°,得到 ABO（ 1）一抛物线经过点A、B、B,求该抛物线的解析式；（ 2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积 4 倍？如存在,恳求出 P 的坐标；如不存在,请说明理由（ 3）在（ 2）的条件下,试指出四边形PB AB 是哪种外形的四边形？并写出四边形PBAB 的两条性质26（ 2022.河南） 如图, 在平面直角坐标系中, 直线 y=x+1 与抛物线 y=ax2+bx 3 交于 A、B 两点, 点 A 在 x 轴上,点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与A、B 点重合）,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB于点 C,作 PD AB 于点 D （ 1）求 a、b 及 sin ACP 的值；（ 2）设点 P 的横坐标为 m 用含有 m 的代数式表示线段PD 的长,并求出线段PD 长的最大值； 连接 PB,线段 PC 把 PDB 分成两个三角形,是否存在适合的m 的值,直接写出 m 的值,使这两个三角形的面积之比为 9： 10？如存在,直接写出m 的值；如不存在,说明理由27（ 2022.河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽视不计）,这写薄板的外形均为正方向,边长在（单位：cm）在 5 50 之间每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例,每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的 浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据薄板的边长（ cm）2030出厂价（元 /张）5070（ 2）已知出厂一张边长为40cm 的薄板,获得的利润为26 元（利润 =出厂价成本价） , 求一张薄板的利润与边长之间满意的函数关系式 当边长为多少时,出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线： y=ax2+bx+c（ a0）的顶点坐标为（,）28（2022.杭州）当 k 分别取 1,1,2 时,函数 y=（ k 1）x2 4x+5 k 都有最大值吗？请写出你的判定,并说明理由；如有,恳求出最大值29（ 2022.杭州）在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k（x2+x1）的图象交于点 A（1, k）和点 B（1, k）（ 1）当 k=2 时,求反比例函数的解析式；（ 2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着 x 的增大而增大,求k 应满意的条件以及x 的取值范畴；（ 3）设二次函数的图象的顶点为Q,当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时,求k 的值30（ 2022.海南）如图,顶点为P（ 4, 4）的二次函数图象经过原点（0, 0）,点 A 在该图象上, OA 交其对称轴l 于点 M,点 M、N 关于点 P 对称,连接 AN、 ON,（ 1）求该二次函数的关系式；（ 2）如点 A 在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动时,请解答下面问题： 证明： ANM=ONM ； ANO 能否为直角三角形？假如能,恳求出全部符合条件的点A 的坐标；假如不能,请说明理由答案与评分标准一解答题（共 30 小题）1（ 2022.凉山州）如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,抛物线 y= x2+bx+c经过 A、B 两点,并与 x 轴交于另一点C（点 C 点 A 的右侧）,点 P 是抛物线上一动点（ 1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（ 2）如点 P 在其次象限内,过点P 作 PD 轴于 D ,交 AB 于点 E当点 P 运动到什么位置时,线段PE 最长？此时 PE 等于多少？（ 3）假如平行于x 轴的动直线 l 与抛物线交于点 Q,与直线 AB 交于点 N,点 M 为 OA 的中点,那么是否存在这样的直线 l,使得 MON 是等腰三角形？如存在,恳求出点Q 的坐标；如不存在,请说明理由考点 ： 二次函数综合题；分析： （ 1）第一求得 A、B 点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式,并求出抛物线与x 轴另一交点 C的坐标；（ 2）关键是求出线段PE 长度的表达式,设D 点横坐标为 t,就可以将 PE 表示为关于 t 的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出PE 长度的最大值；（ 3）依据等腰三角形的性质和勾股定理,将直线l 的存在性问题转化为一元二次方程问题,通过一元二次方程的判别式可知直线l 是否存在,并求出相应Q 点的坐标留意 “ MON 是等腰三角形 ”,其中包含三种情形,需要逐一争论,不能漏解解答： 解：（ 1） 直线 y=x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点, A（ 4, 0）, B（ 0, 4）抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、 B 两点,可得,解得, 抛物线解析式为 y= x2 3x+4 令 y=0,得 x2 3x+4=0,解得 x1= 4, x2=1, C（ 1, 0）（ 2）如答图 1 所示,设 D （ t, 0） OA=OB, BAO =45 °, E（ t, t）, P（ t, t2 3t+4）PE=yPyE= t2 3t+4 t= t2 4t=（ t+2） 2+4, 当 t= 2 时,线段 PE 的长度有最大值 4,此时 P（ 2, 6）（ 3）存在如答图 2 所示,过 N 点作 NH x 轴于点 H 设 OH=m（ m 0）, OA=OB, BAO =45°, NH =AH =4m, yQ=4 m 又 M 为 OA 中点, MH =2 m MON 为等腰三角形： 如 MN =ON,就 H 为底边 OM 的中点, m=1, yQ=4 m=3由 x 2 3xQQ+4=3,解得 xQ =, 点 Q 坐标为（, 3）或（,3）； 如 MN =OM =2,就在 Rt MNH 中,依据勾股定理得：MN 2=NH 2+MH 2,即 22=（ 4m） 2+（ 2m） 2, 化简得 m2 6m+8=0 ,解得： m1=2, m2=4 （不合题意,舍去） yQ=2,由 xQ2 3xQ+4=2 ,解得 xQ=, 点 Q 坐标为（, 2）或（,2）； 如 ON=OM=2,就在 Rt NOH 中,依据勾股定理得：ON 2=NH 2+OH 2,即 22=（ 4 m） 2+m2, 化简得 m2 4m+6=0 , = 8 0, 此时不存在这样的直线l,使得 MON 为等腰三角形 综上所述,存在这样的直线l,使得 MON 为等腰三角形所求 Q 点的坐标为（, 3）或（, 3）或（,2）或（,2）点评： 此题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、一元二次方程的解法及判别式、等腰三角形以及勾股定理等方面学问,涉及考点较多,难度较大第（3）问中,留意等腰三角形有三种情形,需要分类争论,防止因漏解而导致失分2（2022.连云港）如图,抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,点 O 为坐标原点,点 D 为抛物线的顶点,点E 在抛物线上,点 F 在 x 轴上,四边形 OCEF 为矩形,且 OF=2, EF=3,（ 1）求抛物线所对应的函数解析式；（ 2）求 ABD 的面积；（ 3）将 AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°,点 A 对应点为点 G,问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由考点 ： 二次函数综合题；专题 ： 代数几何综合题；分析： （ 1）在矩形 OCEF 中,已知 OF、 EF 的长,先表示出 C、E 的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的解析式（ 2）依据（ 1）的函数解析式求出A、B、D 三点的坐标,以 AB 为底、 D 点纵坐标的肯定值为高,可求出 ABD 的面积（ 3）第一依据旋转条件求出G 点的坐标,然后将点G 的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可 解答： 解：（ 1） 四边形 OCEF 为矩形, OF =2, EF=3, 点 C 的坐标为（ 0, 3）,点 E 的坐标为（ 2, 3）把 x=0, y=3； x=2, y=3 分别代入 y= x2+bx+c 中,得,解得, 抛物线所对应的函数解析式为y=x2 +2x+3 ；（ 2） y= x2+2 x+3= （ x 1） 2+4, 抛物线的顶点坐标为D（ 1, 4）, ABD 中 AB 边的高为 4, 令 y=0,得 x2+2x+3=0 , 解得 x1= 1, x2=3,所以 AB=3（ 1）=4 , ABD 的面积 =×4 ×4=8；（ 3） AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°, CO 落在 CE 所在的直线上,由（ 2）可知 OA=1 , 点 A 对应点 G 的坐标为（ 3, 2）,当 x=3 时, y= 32+2× 3+3=0 ,2所以点 G 不在该抛物线上点评： 这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等学问,考查的学问点不多,难度适中3（ 2022.丽水）在直角坐标系中,点A 是抛物线 y=x2 在其次象限上的点,连接OA,过点 O 作 OB OA,交抛物线于点 B,以 OA、OB 为边构造矩形AOBC（ 1）如图 1,当点 A 的横坐标为1时,矩形 AOBC 是正方形；（ 2）如图 2,当点 A 的横坐标为时, 求点 B 的坐标； 将抛物线 y=x2 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线y= x2,试判定抛物线 y=x2 经过平移交换后,能否经过A, B, C 三点？假如可以,说出变换的过程；假如不行以,请说明理由考点 ： 二次函数综合题；专题 ： 代数几何综合题；分析： （ 1）过点 A 作 AD x 轴于点 D ,依据正方形的对角线平分一组对角可得 AOC=45°,所以 AOD=45°,从而得到 AOD 是等腰直角三角形,设点 A 坐标为（ a,a）,然后利用点 A 在抛物线上,把点的坐标代入解析式运算即可得解；（ 2） 过点 A 作 AE x 轴于点 E,过点 B 作 BF x 轴于点 F,先利用抛物线解析式求出 AE 的长度,然后证明 AEO 和 OFB 相像, 依据相像三角形对应边成比例列式求出 OF 与 BF 的关系, 然后利用点 B 在抛物线上,设出点 B 的坐标代入抛物线解析式运算即可得解； 过点 C 作 CGBF 于点 G,可以证明 AEO 和 BGC 全等,依据全等三角形对应边相等可得 CG=OE, BG=AE,然后求出点 C 的坐标,再依据对称变换以及平移变换不转变抛物线的外形利用待定系数法求出过点 A、B 的抛物线解析式,把点C 的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C,假如经过点 C,把抛物线解析式转化为顶点式解析式,依据顶点坐标写出变换过程即可 解答： 解：（ 1）如图,过点 A 作 AD x 轴于点 D, 矩形 AOBC 是正方形, AOC=45 °, AOD =90 ° 45 °=45 °, AOD 是等腰直角三角形,设点 A 的坐标为（ a,a）（ a0）,就（ a） 2=a,解得 a1=1, a2=0（舍去）, 点 A 的坐标 a= 1, 故答案为： 1；（ 2） 过点 A 作 AE x 轴于点 E,过点 B 作 BF x 轴于点 F, 当 x= 时, y=（ ） 2=,即 OE=, AE=, AOE+ BOF =180 ° 90 °=90 °, AOE+ EAO=90 °, EAO= BOF ,又 AEO = BFO=90°, AEO OFB,=,设 OF=t,就 BF=2t, t2=2t,解得： t1=0（舍去）, t2=2 , 点 B（ 2, 4）； 过点 C 作 CGBF 于点 G, AOE+ EAO=90 °, FBO +CBG =90 °, AOE=FBO , EAO= CBG ,在 AEO 和 BGC 中, AEO BGC（ AAS）, CG =OE=, BG=AE= xc=2 =,yc=4+=, 点 C（ ,）,设过 A（ , ）、B（ 2, 4）两点的抛物线解析式为y= x2+bx+c,由题意得,解得, 经过 A、B 两点的抛物线解析式为y=x2 +3x+2 ,当 x=时, y=（） 2+3× +2=,所以点 C 也在此抛物线上,故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为y= x2+3x+2= （ x ） 2+平移方案：先将抛物线y= x2 向右平移个单位,再向上平移个单位得到抛物线y=（ x） 2+点评： 此题是对二次函数的综合考查,包括正方形的性质,相像三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,待定系数法求抛物线解析式,综合性较强,难度较大,要留意利用点的对称、平移变换来说明抛物线的对称平移变换,利用点争论线也是常用的方法之一4（ 2022.乐山）如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为（ m, m）,点 B 的坐标为（ n, n）,抛物线经过 A、 O、B 三点,连接 OA、OB、AB,线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（ m n）分别是方程x2 2x 3=0 的两根（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）如点 P 为线段 OB 上的一个动点 （不与点 O、B 重合）,直线 PC 与抛物线交于D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧）, 连接 OD 、BD 当 OPC 为等腰三角形时,求点P 的坐标； 求 BOD面积的最大值,并写出此时点D 的坐标考点 ： 二次函数综合题；分析： （ 1）第一解方程得出A, B 两点的坐标