2022年二次函数(最全的中考二次函数知识点总结.docx

第一部分 二次函数基础学问相关概念及定义22二次函数的概念：一般地,形如yaxbxcyaxbxc（ a ,b ,ca ,b ,c 是常数, a0 a0 ）的函数,叫做二次函数；这里需要强22调：和一元二次方程类似,二次项系数次函数的定义域是全体实数a0 a0 ,而 b ,cb ,c 可以为零二二次函数yaxbxcyaxbxc 的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量x x 的二次式, x x 的最高次数是 2 a ,b ,c项a ,b ,c 是常数, a a 是二次项系数, b b 是一次项系数, c 是常数二次函数各种形式之间的变换二次函数hbyax2bx2, k4acbc 用配方法可化成：2ya xhk 的形式,其中ax2a4a.2二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：y； yax2k ya x2h； y2；a xhk ； yax2bxc .二次函数解析式的表示方法一般式：2yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；顶点式：2yaxhk （ a , h , k 为常数, a0 ）；两根式：yaxx1 xx2 （ a0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b24ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数2yaxbxc 图象的画法五 点 绘 图 法 ： 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数2yaxbxc化 为 顶 点 式ya xh 2k , 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左 右 对 称 地 描 点 画 图 . 一 般 我 们 选 取 的 五 点 为 ： 顶 点 、 与 y 轴 的 交 点0 ,c0 ,c、以及 0,c0 ,c关于对称轴对称的点2h ,c、与 x 轴的交点x1 ,0的点） .x1 ,0 ,x2 ,0x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .二次函数 yax2 的性质a a 的符号开口方向对称顶点坐标性质轴a0 a00 ,00 ,0y y 轴x0 x0 时, y y 随 x x 的增大而增大； x向上0 x0 时, y y 随 x x 的增大而减小； x0 x0 时, y y 有最小值a0 a00 ,00 ,0y y 轴x 0 x0 0 0 时, y y 随 x x 的增大而减小； x向下0 x0 时, y y 随 x x 的增大而增大； x0 x0 时, y y 有最大值二次函数y ax2c yax2c 的性质0 0 a a 的符号开口方向对称顶点坐标性质轴a0 a00 ,c0 ,cy y 轴x0 x0 时, y y 随 x x 的增大而增向上大； x0 x0 时, y y 随 x x 的增大而减小； x0 x0 时, y y 有最小值c c a0 a00 ,c0 ,cy y 轴x 0 x0 时, y y 随 x x 的增大而减向下小； x0 x0 时, y y 随 x x 的增大而增大； x0 x0 时, y y 有最大值c c 二次函数y a xh2的性质：a a 的符号开口方向对称顶点坐标性质轴a0 a0向上a0 a0向下h ,0h ,0h ,0h ,0X=hX=hxh xh 时, y y 随 x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 有最小值0 0 xh xh 时, y y 随 x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 有最大值二次函数2ya xhk 的性质0 0 a a 的符号开口方向对称顶点坐标性质轴a0 a0向上a0 a0向下h ,kh ,kh ,kh ,kX=hX=hxh xh 时, y y 随 x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 有最小值k k xh xh 时, y y 随 x x 的增大而减小； xh xh 时, y y 随 x x 的增大而增大； xh xh 时, y y 有最大值抛物线2yaxbxc2yaxk k bxc 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0 时,开口向上；当a0 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同.xb对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2 a . 特殊地, y 轴记作直线x0 .（顶点坐标：b4acb 2,）2a4a顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.抛物线 yax2bxc 中,a,b, c 与函数图像的关系二次项系数 a二次函数2yaxbxc2yaxbxc 中, a a 作为二次项系数,明显a0 a0 当 a0 a开口越大； 当 a0 a0 时,抛物线开口向上,a a 越大,开口越小,反之a a 的值越小,0 时,抛物线开口向下,a a 越小,开口越小,反之a a 的值越大,开口越大总结起来, a a 打算了抛物线开口的大小和方向,a a 的正负打算开口方向,aa的大小打算开口的大小一次项系数 b b在二次项系数 a a 确定的前提下, b b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 a0 的前提下,b0b0当 b0b当 b0b当 b0b在 a0a0 时,2a2a,即抛物线的对称轴在y y 轴左侧；b0b00 时,2a2a,即抛物线的对称轴就是y y 轴；b0b00 时,2a2a,即抛物线对称轴在y y 轴的右侧0 的前提下,结论刚好与上述相反,即b0b0当 b0 b0 时,2a2a,即抛物线的对称轴在y y 轴右侧；b0b0当 b0 b0 时,2a2a,即抛物线的对称轴就是yy 轴；b0b0当 b0 b0 时,2a2a,即抛物线对称轴在y y 轴的左侧总结起来,在a a 确定的前提下, b b 打算了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c c 当 c0 c的纵坐标为正； 当 c0 c0 时,抛物线与 y y 轴的交点在 x x 轴上方,即抛物线与y y 轴交点0 时,抛物线与 y y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y y 轴交点的纵坐标为 0 0 ； 当 c0 c的纵坐标为负0 时,抛物线与 y y 轴的交点在 x x 轴下方,即抛物线与y y 轴交点总结起来, c c 打算了抛物线与 y y 轴交点的位置总之,只要 a,b ,ca ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法22b4acby公 式 法 ：ax 2bxca x2a4a, 顶 点 是b4ac（,2a4ab ）x2,对称轴是直线b 2a .配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为2ya xhk 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 xh .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴 的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式2一般式：yax式.bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般顶点式： y2a xhk . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.交 点 式 ： 已 知 图 像 与 x 轴 的 交 点 坐 标x1 、x2 , 通 常 选 用 交 点 式 ：ya xx1xx2 .直线与抛物线的交点y 轴与抛物线 yax 2bxc 得交点为 0,c .与 y 轴 平 行 的 直 线 xh 与 抛 物 线 yax2bxc有 且 只 有 一 个 交 点 h ,ah 2bhc .抛物线与 x 轴的交点 : 二次函数yax2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ,是对应一元二次方程ax2bxc0 的两个实数根 . 抛物线与 x轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点EMBED Equation.30抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）EMBED Equation.30抛物线与 x 轴相切；没有交点EMBED Equation.30抛物线与 x 轴相离 .平行于 x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .一次函数ykxn k0 的图像 l 与二次函数yax2bxc a0 的图ykxn像 G 的交点,由方程组yax2bxc 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时EMBED Equation.3l 与 G 有两个交点 ;方程组只有一组解时EMBED Equation.3l 与 G 只有一个交点；方程组无解时EMBEDEquation.3l 与 G 没有交点 .抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax2bxc 与 x 轴两交点为A x1,0 ,Bx1x2x2,01b , x,由于x2x1 、 x2 是方程cax 2bxc0 的两个根,故aaEMBEDEquation.3ABx1x22x1x22x1x24x1x22b4caab24acaa二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达关于 x 轴对称2yaxbxc22yaxbxc关 于 xx轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2yaxbxcyaxbxc ；2yaxh2kya xhk关 于 xx轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k ya xhk ；2关于 y y 轴对称22yaxbxcyaxbxc关 于yy轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2yaxbxcyaxbxc ；2yaxh2kya xhk关 于 yy轴 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k yaxhk ；关于原点对称2yaxbxc2yaxbxc关 于 原 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2yaxbxc2yaxbxc；2ya xh2kyaxhk关 于 原 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k ya xhk ；2关于顶点对称2yaxbxcyaxbxc关 于 顶 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2yax2bxcbyax2bxcb22 a2ya xhk2yaxh2a ；k关 于 顶 点 对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2k ya xhk 关于点 m,nm ,n 对称2ya xh2kya xhk 关 于 点 m ,nm ,n对 称 后 , 得 到 的解 析 式 是2ya xh2m2nk2ya xh2m2nk总结：依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 aa 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xh2kya xhk ,确定其顶点坐标 h ,kh,k；2 保持抛物线平移方法如下：yax2hky,ax的外形不变,将其顶点平移到h,k处,详细y=ax2向上k>0【或向下k<0】平移|k|个单位y=ax 2+k向右h>0【或左h<0】平移|k|个单位y=ax-h2向右h>0【或左h<0】平移 |k|个单位向上k>0【或下k<0】平移|k|个单位向上k>0【或下k<0】平移|k|个单位向右h>0【或左h<0】平移|k|个单位y=ax-h2+k平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移” 概括成八个字“左加右减,上加下减”依据条件确定二次函数表达式的几种基本思路；三点式；1 ,已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A（ 33 , 0）, B（ 2点,求抛物线的解析式；3 23 , 0 ）, C（ 0, -3 ）三222,已知抛物线 y=ax-1+4 , 经过点 A（ 2, 3）,求抛物线的解析式；顶点式；1,已知抛物线 y=x-2ax+a+b 顶点为 A（2, 1）,求抛物线的解析式；2,已知抛物线 y=4x+a2-2a的顶点为（ 3, 1）,求抛物线的解析式；交点式；1 ,已知抛物线与x轴两个交点分别为（3, 0 ） ,5,0,求抛物线y=x-ax-b的解析式；12,已知抛物线线与x轴两个交点（ 4, 0）,（ 1, 0）求抛物线y= 212 ax-2ax-b的解析式；定点式；1, 在直 角坐 标系 中,不论a取 何值 ,抛物线y1 x225ax2a2 y21 x225a x 22a2经过 x 轴上肯定点 Q,直线ya2 x2 ya2 x2 经过点 Q,求抛物线的解析式；22,抛物线 y= x+2m-1x-2m与 x 轴的肯定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式；3,抛物线 y=ax 2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2上的定点 A,求抛物线的解析式；平移式；21, 把抛物线 y= -2x向左平移 2 个单位长度,再向下平移1 个单位长度,得到抛物线2y=a x-h+k, 求此抛物线解析式；2, 抛物线 yx 2x3 yx 2x3 向上平移 , 使抛物线经过点C0,2,求抛物线的解析式 .距离式；1,抛物线 y=ax2+4ax+1a 0 与 x 轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式；22,已知抛物线 y=m x求此抛物线的解析式；对称轴式；2+3mx-4mm 0 与 x 轴交于 A、B 两点,与 轴交于 C 点,且 AB=BC,21、抛物线 y=x -2x+m-4m+4 与 x 轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍,求抛物线的解析式；22、 已知抛物线 y=-x +ax+4,交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点,交 y轴于点 C,且3OB-OA=434 OC,求此抛物线的解析式；对称式；21, 平行四边形 ABCD对角线 AC在 x 轴上,且 A（ -10 , 0）, AC=16,D（ 2, 6）；AD交 y 轴于 E,将三角形ABC沿 x 轴折叠,点B 到 B1 的位置,求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式；2, 求与抛物线 y=x切点式；+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式；1,已知直线 y=ax-a22a 0与抛物线 y=mx有唯独公共点,求抛物线的解析式；22, 直线 y=x+a与抛物线 y=ax+k的唯独公共点 A（ 2, 1） , 求抛物线的解析式；判别式式；1、已知关于X 的一元二次方程（ m+1） x 2+2m+1x+2=0有两个相等的实数根,求抛物线2y=-x +m+1x+3 解析式；22、 已知抛物线 y=a+2x-a+1x+2a的顶点在 x 轴上, 求抛物线的解析式；23、已知抛物线 y=m+1x +m+2x+1 与 x 轴有唯独公共点,求抛物线的解析式；