2022年二次函数知识点总结和典型例题.docx

精品学习资源二次函数学问点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念欢迎下载精品学习资源一般地，假如 yax2bxc a, b, c是常数， a0 ，那么 y 叫做 x 的二次函数 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源yax 2bxca,b, c是常数， a0 叫做二次函数的一般式；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x抛物线的主要特点：b对称的曲线，这条曲线叫抛物线 ；2a欢迎下载精品学习资源有开口方向；有对称轴；有顶点；3、二次函数图像的画法-五点法： 二、二次函数的解读式二次函数的解读式有三种形式：欢迎下载精品学习资源（ 1） 一般式： yax 2bxca,b, c是常数， a0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2） 顶点式： ya xh 2ka, h, k是常数， a0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3 ） 当 抛 物 线 yax2bxc与x轴 有 交 点 时 ， 即 对 应 二 次 好 方 程欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ax 2bxc0 有 实 根x1 和x2 存 在 时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ax 2bxcaxx1 xx2 ， 二 次 函 数 yax2bxc可 转 化 为 两 根 式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ya xx1 xx2 ；假如没有交点，就不能这样表示；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源三、抛物线 yax2bxc 中，a, b, c 的作用欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1） a 打算开口方向及开口大小，这与yax 2 中的 a 完全一样 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax2bxc 的对称轴是直线欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xb ，故： b 2a0 时，对称轴为 y 轴所在直线； ba0 （即 a 、 b 同号）欢迎下载精品学习资源时，对称轴在 y 轴左侧； ba0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .欢迎下载精品学习资源当 x0时， yc ，抛物线 yax2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 c0 ，抛物线经过原点； c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，就四、二次函数的性质b0 .a欢迎下载精品学习资源1、二次函数的性质函数yax 2二次函数bxca,b, c是常数， a0欢迎下载精品学习资源a>0a<0yy图像0x0x欢迎下载精品学习资源（1） 抛物线开口向上，并向上无限延长；（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延长；b欢迎下载精品学习资源（2） 对称轴是 x=b，顶点坐标是（ 2）对称轴是 x=，顶点坐标是2a欢迎下载精品学习资源2ab4acb 2（，）；2a4ab4acb 2（，）；2a4ab欢迎下载精品学习资源（3） 在对称轴的左侧，即当x<b时， y 随 x2a（ 3）在对称轴的左侧，即当x<随 x 的增大时， y2a欢迎下载精品学习资源性质的增大而减小；在对称轴的右侧，即当b而 增 大 ； 在 对 称 轴 的 右 侧 ， 即 当b欢迎下载精品学习资源x>时， y 随 x 的增大而增大，简记左减2a右增；b（4） 抛物线有最低点，当x=时，2 ax>时， y 随 x2a的增大而减小，简记左增右减；（ 4）抛物线有最高点，当x=b 时，欢迎下载精品学习资源y 有最小值，y最小值4acb 24ay 有最大值，y最大值2a24acb4a欢迎下载精品学习资源五、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标；欢迎下载精品学习资源因此一元二次方程中的b 24ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点；欢迎下载精品学习资源当 >0 时，图像与 x 轴有两个交点； 当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当 <0 时，图像与 x 轴没有交点；补充： 函数平移规律： 左加右减、上加下减六、二次函数的最值假如自变量的取值范畴是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即欢迎下载精品学习资源当 xb 时，2ay最值4acb 2；4 ab欢迎下载精品学习资源假如自变量的取值范畴是x1xx2 ，那么，第一要看是否在自变量取值范畴2a欢迎下载精品学习资源b4acb 2欢迎下载精品学习资源x1xx2内，如在此范畴内，就当x=时， y最值；2a4 a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如不在此范畴内，就需要考虑函数在x1xx2范畴内的增减性，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假如在此范畴内， y 随 x 的增大而增大，就当xx2 时，y最大ax 2bx2c ，当欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1xx1 时，y最小ax2bx1c ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12假如在此范畴内，y 随 x 的增大而减小，就当xx1 时，y最大ax2bx1c ，当欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2xx2 时，y最小ax 2bx 2c ；欢迎下载精品学习资源典型例题欢迎下载精品学习资源1. 已知函数 y2x112x 51x3 x3，就使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，就k 的值为（）欢迎下载精品学习资源A 0B 1C 2D 3欢迎下载精品学习资源2. 如 图为抛 物 线y ax2bxc 的 图 像 ， A 、 B 、 C 为抛物 线与 坐 标 轴 的 交点 ，且欢迎下载精品学习资源OA=OC=1 ，就以下关系中正确选项（）A a b= 1B ab= 1C b<2aD ac<0欢迎下载精品学习资源3. 二次函数yaxbxc的图象如下列图，就反比例函数ya 与一次函数 ybxc x欢迎下载精品学习资源2在同一坐标系中的大致图象是（） .欢迎下载精品学习资源4. 如图，已知二次函数yx 2bxc 的图象经过点（ 1， 0），（ 1， 2），当 y 随 x 的欢迎下载精品学习资源增大而增大时， x 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源yyx 2bxc欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1- 1 O1x（ 1,- 2）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 在平面直角坐标系中，将抛物线yx22x3 围着它与 y 轴的交点旋转180 °，所得抛欢迎下载精品学习资源物线的解读式是（）A y x122By x124C yx122D y x124欢迎下载精品学习资源26. 已 知 二 次 函 数 yaxbxc的 图 像 如 图 ， 其 对 称 轴 x1 ， 给 出 下 列 结 果欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 b24ac abc0 2ab0 abc0 abc0 ，就正确的结论是欢迎下载精品学习资源（ ）A B C D 欢迎下载精品学习资源7. 抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x ，纵坐标 y 的对应值如下表：欢迎下载精品学习资源x2 1012y04664欢迎下载精品学习资源从上表可知，以下说法中正确选项（填写序号）抛物线与 x 轴的一个交点为（ 3,0）； 函数1yax2bxc 的最大值为 6；欢迎下载精品学习资源抛物线的对称轴是x；在对称轴左侧，y 随 x增大而增大2欢迎下载精品学习资源8. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（2， 4），过点A 作AB y 轴，垂足为 B，连结 OA 1求 OAB 的面积；22如抛物线 yx2xc 经过点 A求 c 的值；将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB 的内部（不包括 OAB 的边界），求 m 的取值范畴（直接写出答案即可）欢迎下载精品学习资源1 23欢迎下载精品学习资源9. 已知二次函数 y=4x +2x 的图像如图欢迎下载精品学习资源（ 1）求它的对称轴与x 轴交点 D 的坐标；（ 2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴、 y 轴的交点分别为 A、B、C 三点，如 ACB=90°，求此时抛物线的解读式；（ 3）设（ 2）中平移后的抛物线的顶点为M，以 AB 为直径， D 为圆心作 D，试判定直线 CM 与 D 的位置关系，并说明理由欢迎下载精品学习资源10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中， AB 在 x 轴上， AB 10，以 AB 为直径的 O与 y 轴正欢迎下载精品学习资源半轴交于点 C，连接 BC， AC.CD 是 O的切线， AD CD 于点 D， tan CAD 1 ，抛物2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源线 yax 2bxc 过 A，B， C 三点 .欢迎下载精品学习资源（ 1）求证： CAD CAB；（ 2）求抛物线的解读式；判定抛物线的顶点E 是否在直线 CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形 PBCA 是直角梯形 .如存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；如不存在，请说明理由.欢迎下载精品学习资源11. 如下列图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形， BC AD， BAD = 90°，BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点， A、B、D 三点的坐标分别是 A（ -1， 0）， B - 1， 2， D 3 ， 0，连接 DM ，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON，如抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D 、M、N（ 1）求抛物线的解读式（ 2）抛物线上是否存在点P使得 PA= PC 如存在，求出点P 的坐标；如不存在请说明理由；（ 3）设抛物线与 x 轴的另 个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点，当点Q 在什么位置时有QEQC 最大？并求出最大值；yNBMCEAODx图欢迎下载精品学习资源112. 如图，抛物线 y=20）x2+bx 2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（一 1，欢迎下载精品学习资源求抛物线的解读式及顶点D 的坐标；判定 ABC的外形，证明你的结论；点 Mm， 0是x 轴上的一个动点，当 CM +DM 的值最小时，求 m的值欢迎下载精品学习资源13. 在平面直角坐标系中，如图1，将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+ca<0 过矩形顶点 B、 C.（1） 当 n 1 时，假如 a= 1，试求 b 的值；（2） 当 n 2 时，如图 2，在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN ，使 EF 在线段CB 上，假如 M， N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解读式；（3） 将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使得点B 落到 x 轴的正半轴上，假如该抛物线同时经过原点 O，试求出当 n=3 时 a 的值； 直接写出 a 关于 n 的关系式 .yyCDy= 1.1 厘MNCBCFEBCBOAxOAOxxA图 1图 2图 3欢迎下载