2022年Puofcs重点小学数学思想方法.docx

秋风清，秋月明 ,落叶聚仍散 ,寒鸦栖复惊；学校数学思想方法训练2021-12-16 23:07阅读 32评论 0字号： 大中小1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，学校数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想；如直线上的点（数轴）与表示详细的数是一一对应；2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后依据题中的已知条件进行推算，依据数量显现的冲突， 加以适当调整，最终找到正确答案的一种思想方法；假设思想是一种有意义的想象思维，把握之后可以使要解决的问题更形象、详细，从而丰富解题思路；3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进同学思维进展的手段；在教案分数应用题中，老师善于引导同学比较题中已知和未知数量变化前后的情形，可以帮忙同学较快地找到解题途径；4、符号化思想方法用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想；如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息；如定律、公式、等；5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相像性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想；如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式；类比思想不仅使数学学问简洁懂得，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁；6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的；如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在运算中也常用到甲÷乙=甲×1/ 乙；7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法表达对数学对象的分类及其分类的标准；如自然数的分 类，如按能否被 2 整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数；又如三角形可以按边分，也可以按角分；不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念 ；对数学对象的正确 、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学学问的分类有助于同学对学问的梳理和建构；8、集合思想方法集合思想就是运用集合的概念、规律语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法；学校采纳直观手段，利用图形和实物渗透集合思想；在表达公约数和公倍数时采纳了交集的思想方法；9、数形结合思想方法数和形是数学争论的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简洁化；另一方面复杂的形体可以用简洁的数量关系表示；在解应用题中经常借助线段图的直观帮忙分析数量关系；10、统计思想方法：学校数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是表达出数据处理的思想方法；11、极限思想方法：事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变；在讲“圆的面积和周长 ”时， “化圆为方 ”化“曲为直 ”的极限分割思路，在观看有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使同学把握公式仍能从曲与直的冲突转化中萌发了无限靠近的极限思想；12、代换思想方法：7 / 7它是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换；如学校买了4 张桌子和 9 把椅子，共用去504 元，一张桌子和 3 把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？13、可逆思想方法：它是规律思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推；如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/7，其次小时比第一小时多行了16 千 M，仍有94 千 M，求甲乙之距；14、化归思维方法：把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归 ”；而数学学问联系紧密，新学问往往是旧学问的引申和扩展；让同学面对新知会用化归思想方法去摸索问题，对独立获得新知才能的提高无疑是有很大帮忙；化归的方向应当是化隐为显、化繁为简、化难为易、化未知为已知；15、变中抓不变的思想方法：在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解；如：科技书和文艺书共630 本，其中科技书 20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本？16、数学模型思想方法：所谓数学模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型动身，充分运用观看、试验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程 ，得到简化和假设 ，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法；培育同学用数学的眼光熟悉和处理四周事物或数学问题乃数学的最高境域，也是同学高数学素养所追求的目标；17、整体思想方法：对数学问题的观看和分析从宏观和大处着手，整体把握化零为整，往往不失为一种更便利更省时的方法；一、前言：我们的教案实践说明：中学校数学训练的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想及训练手段的现代化，加强数学思想的教案是基础数学训练现代化的关键；特殊是对才能培育这一问题的探讨与摸索，以及社会对数学价值的要求，使我们更进一步地熟悉到数学思想的重要性，因此，学校教案的教案过程中，数学思想的渗透是至关重要的；二、下面介绍几种学校数学中常用的思想方法符号思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想；符号思想是将全部的数据实例集为一体，把复杂的语言文字表达用简洁明白的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用；把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从详细到表象再抽象符号化的过程；用符号来表达的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映；在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，如乘法安排律 a b ×c a×c b×c ；又如在 “有余数的除法”教案中， 最终显现一道摸索题：“六一 ”联欢会上，小明依据3 个红气球、 2 个黄气球、 1 个蓝气球的次序把气球串起来装饰教室； 你能知道第 24 个气球是什么颜色的吗？解决这个问题可以用书写简便的字母a、b 、c 分别表示红、黄、蓝气球，就依据题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc 从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24 个气球是蓝色的；这是符号思想的详细表达；化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解；一般是指不行逆向的“变换 ”；它的基本形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等；如求组合图形的面积时先把组合图形割补成学过的简洁图形，然后运算出各部分面积的和或差，均能使同学体会化归法的本质；分解思想分解思想就是先把原问题分解为如干便于解决的子问题，分解出如干便于求解的范畴，分解出如干便于层层推动的解题步骤，然后逐个加以解决并达到最终顺当解决原问题的目的的一种思想方法；如在五年级解决问题的策略教案中 “倒退着想 ”的解题策略就表达了这种思想；转换思想转换思想是一种解决数学问题的重要策略，是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，这里的变换是可逆的双向变换；在解决数学问题时,转换是一种特别有用的策略；对问题进行转换时,既可转换已知条件 ,也可转换问题的结论；转换可以是等价的,也可以是不等价的,用转换思想来解决数学问题,转换仅是第一步 ,其次步要对转换后的问题进行求解,第三步要将转换后问题的解答反演成问题的解答；如果采纳等价关系作转换,可直接求出解而省略反演这一步；如运算： 2.8 ÷113÷17÷0.7 ，直接运算比较麻烦，而分数的乘除运算比小数便利，故可将原问题转换为： 28/10 ×3/4 ×7/1 ×10/7 ，这样，利用约分就能很快获得此题的解；再如：某班上午缺席人数是出席人数的1/7 ，下午因有 1 人请病假，故缺席人数是出席人数的1/6 ；问此班有多少人？此题因上下午出席人数起了变化，解题遇到了困难；如将上午缺席人数转换成是全班人数的 1/7 1=1/8 ，下午缺席人数是全班人数的1/6 1=1/7 ，这样，很快发觉其本质关系：1/7 与 1/8 的差是由于缺席1 人造成的，故全班人数为：1÷（ 1/7-1/8 ） =56 （人）；分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法表达对数学对象的分类及其分类的标准；如自然数的分类，如按能否被 2 整除分奇数和偶数；按因数的个数分素数和合数；又如三角形可以按边分，也可以按角分； 不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念；对数学对象的正确、合理的分类取决于分类标准的正确、合理性，数学学问的分类有助于同学对学问的梳理和建构归纳思想数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在全部自然数范畴内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的；有一种用于数理规律和运算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式，这就是闻名的结构归纳法类比思想数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相像性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题；类比思想不仅使数学学问简洁懂得，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起同学的制造力，正如数学家波利亚所说： “我们应当争论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发觉的宏大源泉；” 如由加法交换律 a b b a 的学习迁移到乘法安排律 a×b=b×a 的学习又如长方形的面积公式为长×宽 a×b ，通过类比，三角形的面积公式也可以懂得为长（底）×宽（高）÷2 a×b（ h ） ÷2 ；类似的，圆柱体体积公式为底面积×高，那么锥体的体积可以懂得为底面积×高 ÷3假设思想假设思想是一种常用的估计性的数学摸索方法.利用这种思想可以解一些填空题、判定题和应用题. 有些题目数量关系比较隐藏，难以建立数量之间的联系，或数量关系抽象，无从下手.可先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后依据题中的已知条件进行推算，依据数量显现的冲突，最终找到正确答案的一种思想方法；假设思想是一种有意义的想象思维，把握之后可以使得要解决的问题更形象、详细，从而丰富解题思路；比较思想人类对一切事物的熟悉，都是建筑在比较的基础上，或同中辨异，或异中求同；俄国训练家乌申斯基说过： “比较是一切懂得和一切思维的基础；”学校生学习数学学问，也同样需要通过对数学材料的比较，懂得新知的本质意义，把握学问间的联系和区分；在教案分数应用题中，老师要善于引导同学比较题中已知和未知数量变化前后的情形，可以帮忙同学较快地找到解题的途径；极限思想事物是从量变到质变，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变；教案 “圆的面积和周长 ”中， “化圆为方 ”化“曲为直 ”的极限分割思路，在观看有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使同学把握公式，仍能从曲与直的冲突转化中萌发了无限靠近的极限思想；战国时代的庄子·天下篇中的 “一尺之棰，日取其半，万世不竭；”布满了极限思想；古代杰出的数学家刘徽的 “割圆术 ”就是利用极限思想来求得圆的周长的，他第一作圆内接正多边形，当多边形的边数越多时，多边形的周长就越接近于圆的周长；刘徽总结出：“割之弥细，所失弥少；割之又割以至于不行割，就与圆合体无所失矣；”正是用这种极限的思想，刘徽求出了，即 “徽率 ”；现行学校教材中有很多处留意了极限思想的渗透: 在“自然数 ”、 “奇数 ”、 “偶数 ”这些概念教案时，老师可让同学体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让同学初步体会“无限 ”思想；在循环小数这一部分内容，在教案1 ÷3 = 0 ； 333 是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教案时，可让同学体会线的两端是可以无限延长的；演绎思想：演绎也是理智的活动，但是和直观不同，它们不是理智的单纯活动，必需先假定了某些真理（或定义之后，然后再凭借这些定义推出一些结论；譬如：我们知道了三角形的定义和定理之后，可以推出一个三角形内角的总和等于两直角之和；所以直观的功用是在于供应科学和哲学的最新原就；而演绎就是应用这些原就来建立一些定理和命题；演绎并不要求像直观所拥有的那种直接出现出来的证明，它的的确性在某种程度上宁可说是记忆给予它的；它通过一系列的间接论证就能得出结论，这就像我们握着一根长链条的第一节就可以熟悉它的最终一节一样；这就是说， 直观是创造的基本原就，演绎是导致最基本的结论；不过也有哲学家认为演绎是有缺陷的， 由于由同一个原就往往会演绎出不同的结论，所以应当有另一个方法来订正它；这个订正的方法就是体会，即所谓的诉诸事实；总之，直观就是找到最简洁、最无可怀疑、最无须辩护的人类学问元素， 即发觉最简洁和最牢靠的观念或原理；然后对它们进行演绎推理，导出全部的确牢靠的解决方案；例如数学定理证明就是一种演绎推理模型思想是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型动身，充分运用观看、试验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法；培育同学用数学的眼光熟悉和处理四周事物或数学问题乃数学的最高境域，也是同学高数学素养所追求的目标；数学模型方法不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理自然科学、社会科学、工程技术和社会生产中各种实际问题的一般数学方法；用数学方法解决某些实际问题，通常先把实际问题抽象成数学模型；所谓数学模型，是指从整体上描述现实原型的特性、关系及规律的一种数学方程式；按广义的说明，从一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种数学方程以及由公式系列构成的算法系统都称之为模型；但按狭义的说明，只有那些反应特定问题或特定的详细事物系统的数学关系结构，才叫数学模型；比如依据详细问题中的数量关系，建立数学模型，列出方程进行求解；对应思想 :对应指的是一个系统中的某一项在性质、作用、位置上跟另一系统中的某一项相当；对应思想可懂得为两个集合元素之间的联系的一种思想方法；在学校数学教案中渗透对应思想，有助于提高同学分析问题和解决问题的才能；“对应 ”的思想由来已久，比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”，将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2”；随着学习的深化，我们仍将“对应 ”扩展到对应一种形式，对 应一种关系，等等；再如：数轴上的点与实数之间的一一对应，函数与其图象之间的对应 .另外 ,在 “多和少 ”这一课中 , 一个茶杯盖与每一个茶杯对应，直观看到 “茶杯与茶杯盖相比，一个对一个，一个也不多，一个也不少 ”，我们就说茶杯与茶杯盖同样多；使同学初步接触一一对应的思想，初步感知两个集合的各元素之间能一一对应，它们的数量就是 “同样多 ”. “对应 ”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用；集合思想 :把如干确定的有区分的（不论是详细的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.通俗地说就是 :把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合集合思想的特点 :（ 1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 就是说依据明确的判定标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（ 2）互异性：集合中的元素肯定是不同的. 即集合中的元素没有重复（ 3）无序性：集合中的元素没有固定的次序.依据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（ 1）把不含任何元素的集合叫做空集；（ 2）含有有限个元素的集合叫做有限集；（ 3）含有无穷个元素的集合叫做无限集；集合的表现形式：列举法；框图法；描述法；比如 :能被 2 整除的数为一个集合.数形结合思想：就是依据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式奇妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想；其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化；数形结合的思想，包含“以形助数 ”和 “以数辅形 ”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,如四年级数学下册P60 分数的基本性质就是借助图形的生动和直观来阐明分数中分子和分母相互变化的关系；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性；在学校教案中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图开的直观特点发觉数量之间存在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决；通常是将数量关系转化为线段图，这是基本的、自然的手段；如一年级认数时数轴与对应点之间的关系.对于某些题，如线段图不能清楚地显示其数量关系，就可以通过对线段图的分析、改造、设计、构造出能清楚显示其数量关系的几何图形；如六年级数学下册P72 试一试 , 运算 :1/2+1/4+1/8+1/16,可以通过正方形图形来解决.在数学教案中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观出现的优点，有利于加深同学对学问的识记和懂得；在解答数学题时，数形结合，有利于同学分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启发思维，拓宽思路，快速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的才能；抓住数形结合思想教案，不仅能够提高同学数形转化才能，仍可以提高同学迁移思维才能；统计思想在学校数学中增加统计与概率课程的意义在于形成合懂得读数据的才能、提高科学熟悉客观世界的能 力、进展在现实情境中解决实际问题的才能；统计与概率初步学问的构成主要有如下一些基本内容： 第一，知道数据在描述、分析、猜测以及解决一些日常生活中的现象与问题的价值；其次，学会一些 简洁的数据收集、整理、分析、处理和利用的基本的才能；第三，会解读和制作一些简洁的统计图表； 第四，熟悉一些随机现象，并能运用适当的方法来猜测这些随机现象发生的可能性；系统思想系统思想是由如干想到关联、想到作用的要素（或成分）构成具有特定功能的有机整体；系统思想的方法便是要求人们从系统要素相互关系的观点，从系统与要素之间、要素与要素之间，以及系统与外部环境之间的相互关联和相互作用中考察对象，以得出争论和解决问题的正确方案；系统是由相互联系，相互依靠，相互制约和相互作用的如干事物和过程所组成的一个具有整体功能和综合行为的统一体；要素是构成系统的基本单位，系统内各要素之间是相互联系，相互影响的有机整体，假如一个要素发生变化，其他要素也会相应变化；例如：应用题教案中的“购物问题 ”；物品的 “单价 ”、 “数量 ”和 “总价 ”这三个要素就组成了一个系统；数量不变，单价提高，总价变大；单价不变，数量增加，总价变大；单价不变，总价增加，数量变多；“单价、数量、总价”这三个要素之间具有以下关系：单价 ×数量 = 总价；总价 ÷单价 =数量；总价 ÷数量 = 单价把几个概念通过联系来整体把握，由详细到抽象，再由抽象到详细，发觉其规律，更好地懂得和把握概念及其相互关系；这些要素不是孤立的、零散的，而是有联系的，有影响的，在教案过程中要引导同学学会懂得概念，找到联系，发觉规律，只有这样才能更好地把握所学学问，做到融会贯穿，事半功倍；三、几点说明中国数学科学方法论争论沟通中心主任周春荔教授在其习作中说：习惯上人们常用数学思想来指称某些具有重要意义、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果；数学思想和数学方法究竟有什么区分？一般来说，数学思想是人们对数学内容的本质熟悉，是对数学学问和数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性熟悉的范畴，而数学方法就是解决数学问题的手段，具有 “行为规章 ”的意义和肯定的可操作性，同一个数学成果，当用它去解决别的问题时， 就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为思想；要将数学思想和数学方法严格区分开来是困难的，因此，人们经常对这两者不加区分，而统称为数学思想方法，这样会显得更为便利；