2022年二次函数应用题分类和解析.docx

精品学习资源二次函数应用题分类解读二次函数是中学学段的难点，同学学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类： 第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简洁的应用；解答的关键是娴熟运用待定系数法，精确求出函数关系式；例 1 某公司生产的 A 种产品，它的成本是2 元，售价是 3 元，年销售量为 100 万件，为了获得更好的效益，公司预备拿出肯定的资金做广告；依据体会，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系如下表：x（十万元）012y11.51.8（ 1）求 y 与 x 的函数关系式；（ 2）假如把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（ 3）假如投入的年广告费为10 30 万元，问广告费在什么范畴内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解： （ 1）由于题中给出了y 是 x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与 x 的函数关123yxx1系式为105欢迎下载精品学习资源（ 2）由题意得 S=10y3-2-xx 25x10欢迎下载精品学习资源S（ 3）由（ 2）x 25x10 x5 22654 及二次函数性质知，当1 x 2.5 ，即广告费在欢迎下载精品学习资源10 25 万元之间时， S 随广告费的增大而增大；二、分析数量关系型题设结合实际情形给出了肯定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用；解答的关键是仔细分析题意，正确写出数量关系式；例 2 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000 千克，购进价格为每千克30 元；物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于 30 元；市场调查发觉：单价定为70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低1 元，日均多售出2 千克；在销售过程中，每天仍要支出其它费用 500 元（天数不足一天时，按成天运算）；设销售单价为x 元，日均获利为 y 元；欢迎下载精品学习资源（ 1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明x的取值范畴；（ 2）将（ 1）中所求出的二次函数配方成欢迎下载精品学习资源ya xb 22a4acb 24a的形式，写出顶点坐标；在图 2 所示欢迎下载精品学习资源的坐标系中画出草图；观看图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？（ 3）如将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？析解： （ 1）如销售单价为 x 元，就每千克降低（ 70-x ）元，日均多售出2（70-x ）千克，日均销售量为 60+270-x千克，每千克获利为 x-30元；依据题意得欢迎下载精品学习资源yx30 60270x5002x 2260x6500 （ 30 x 70）；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2） y2 x 2130x65002x65 21950 ；顶点坐标为（ 65， 1950 ），草图略，欢迎下载精品学习资源当单价定为 65 元时，日均获利最多，是1950 元；（ 3）列式运算得，当日均获利最多时，可获总利195000 元；当销售单价最高时，可获总利221500 元；故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500 元；三、建模型即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题；这类问题建模要求高，有肯定难度；例 3 如图 4，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边 MN的距离是 4dm，要在铁皮上截下一矩形 ABCD，使矩形顶点 B、C 落在边 MN上， A、D 落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？析解： 由“抛物线”联想到二次函数；如图4，以MN所在的直线为 x 轴，点 M为原点建立直角坐标系；设抛物线的顶点为P，就 M（ 0，0）， N（ 4，欢迎下载精品学习资源0）， P（2， 4）；用待定系数法求得抛物线的解读式为yx 24x ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 A 点坐标为（ x， y），就 AD=BC=2x-4，AB=CD=y；于是 l2AB2AD2y22x42x 24x 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2AD2y22x42x 24x22x42x 212x8；且 x 的取值范畴是0<x<4（x 2）；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如 l=8 ，就2x 212x88 ，即 x 26x80 ；解得 x12， x 24 ；欢迎下载精品学习资源而 0<x<4（ x 2）；故 l 的值不行能取 8，即截下的矩形周长不行能等于8dm；注： 此题仍可在其它位置建立直角坐标系；例4. . 某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品, 已知每件产品的进价为40元, 经销过程中测出销售量 y 万件 与销售单价 x 元 存在如下列图的一次函数关系, 每年销售该种产品的总开支z 万元 不含进价 与年销量 y 万件 存在函数关系 z=10y+42.5.(1) 求y关于x的函数关系式；(2) 度写出该公司销售该种产品年获利w 万元 关于销售单价 x 元的函数关系式； 年获利 =年销售总金额 - 年销售产品的总进价 - 年总开支金额 当销售单价x为何值时 , 年获利最大 .最大值是多少 .(3) 如公司期望该产品一年的销售获利不低于57.5 万元, 请你利用 2 小题中的函数图象帮忙该公司确定这种产品的销售单价的范畴在此条件下要使产品的销售量最大, 你认为销售单价应定为多少元. 解:1由题意 , 设 y=kx+b, 图象过点 70,5,90,3,欢迎下载精品学习资源 570 kb, 解得k1 , y=1x+12. 3分欢迎下载精品学习资源390 kb.1010b12.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 由题意 , 得w=y x-40-z=y x-40-10y+42.5=1210x+12 x-10-10110x+12-42.5欢迎下载精品学习资源=-0.1 x2+17x-642.5=110 x-85+80.欢迎下载精品学习资源22当85元时 , 年获利的最大值为80万元 .6分3 令w=57.5, 得 -0.1 x +17x-642.5=57.2.整理 , 得x -170 x+7000=0.解得 x1=70, x2=100.由图象可知 , 要使年获利不低于57.5 万元 , 销售单价应在 70元到100元之间 . 又由于销售单价越低 , 销售量越大 , 所以要使销售量最大 , 又使年获利不低于 57.5 万元 , 销售单价应定为 70 元. 10分四：利润 最大 小 值问题欢迎下载精品学习资源学问要点：二次函数的一般式yax2bxc a0 化成顶点式 yaxb4acb 22，假如自变量的取2a4a欢迎下载精品学习资源值范畴是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）欢迎下载精品学习资源b4acb 2欢迎下载精品学习资源即当 a0 时，函数有最小值，并且当x， y最小值；2a4a欢迎下载精品学习资源b4acb 2欢迎下载精品学习资源当 a0 时，函数有最大值，并且当x， y最大值2a4 a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假如自变量的取值范畴是x1xx2，假如顶点在自变量的取值范畴x1xx2内，就当欢迎下载精品学习资源b4acb 2x， y最值，假如顶点不在此范畴内，就需考虑函数在自变量的取值范畴内的增减性；2a4 a欢迎下载精品学习资源假如在此范畴内y 随 x 的增大而增大，就当xx2 时，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1y最大ax 2bx2c，当 xx1时，y最小ax 2bx1c ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源212假如在此范畴内 y 随 x 的增大而减小，就当x x1 时，y最大ax 2bx1c ，当 xx2 时，欢迎下载精品学习资源y最小ax2bx2c欢迎下载精品学习资源商品定价一类利润运算公式：常常显现的数据： 商品进价；商品售价1；商品销售量；商品售价2；商品 定价；（商品调价）；商品销售量 1； 销售量变化率； 其他成本；单价商品利润 =商品定价商品售价1（价格变动量）=商品定价商品售价2（或者直接等于商品调价）； 销售量变化率 =销售变化量 ÷ 引起销售量变化的单位价格；商品总销售量 =商品销售量 1±×销售量变化率；总利润（ W） =单价商品利润×总销售量其他成本欢迎下载精品学习资源总利润（W）（商品定价商品售价 1）商品销售量 1销售量变化单位价格变动其他成本欢迎下载精品学习资源 例 1 ：求以下二次函数的最值：欢迎下载精品学习资源（ 1）求函数 yx 22x3的最值欢迎下载精品学习资源 例 2 ：某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？ 练习 ： 1某商店购进一批单价为20 元的日用品，假如以单价30 元销售，那么半个月内可以售出400件依据销售体会，提高单价会导致销售量的削减，即销售单价每提高1 元，销售量相应削减20 件如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？实际问题与二次函数习题精选及解读欢迎下载精品学习资源填空题：1. 当炮弹从炮口以30o角射出后，飞行高度hM 与飞行时间 t 秒 之间的函数关系式是h= 12v 0t -欢迎下载精品学习资源225t ，其中 v0 是炮弹发射的初速度，当v 0=300M/秒时，炮弹飞行的最大高度是 ；答案： 1125M；欢迎下载精品学习资源说明：把 v0=300 代入 h= 12v 0t - 5t得 h=150t - 5t2，由公式4 acb 24 a得 h 最大 =1125M；欢迎下载精品学习资源2. 王师傅想在一块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做其他用途，其图形和数据如下列图，请你运算王师傅所取得最大矩形料的面积 ，这时 CE=，CF=；欢迎下载精品学习资源答案：3 m2，423 m， 1 m；2说明：设 CF=x，就 BF=1- x， BD=21- x ， FD=3 1 - x ， S 矩形 FCED=3 1 - x .x=-3 x +233 x - 1 2+3 ； S21矩形 FCED最大为3 m，这时 CF=m， CE=3 m；x=-24422解答题：1. 某旅社有客房 120 间，每间房间的日租金为50 元，每天都客满，旅社装修后，要提高租金；经市场调查，假如 1 间客房的日租金每提高5 元，就客房每天出租数会削减6 间；不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？分析：这是函数学问在日常生活中的实际应用题，此题中各量之间的等量关系为：每天客房日租金的总收入 =每间客房的日租金×客房每天出租的间数；解：设每间客房的日租金提高x 个 5 元 即 5x 元 ，就每天客房出租数会削减6x 间，依据题意可得2y=50+5x120- 6x ，即 y=- 30x - 5 +6750；当 x=5 时， y 最大 =6750；这时每间客房日租金为50+5× 5=75 元 ，客房日租金的总收入最高，为6750 元；装修前的日租金120× 50=6000 元 ，6750- 120× 50=750 元 ；故将每间客房的日租金提到75 元时总收入最高，比装修前的日租金总收入增加750 元；2. 某商场经销一种销售成本为每千克40 元的水产品；据市场调查，如按每千克50 元销售，一个月能销售出 500 千克，销售单价每涨1 元，月销售量下降10 千克，针对这种水产品的销售情形，请探究以下问题：(1) 当销售单价定为每千克55 元时，月销售利润为多少？2(2) 设月销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，写出 y 与 x 之间的函数关系式；解： 1 月销售利润为： 500 - 55 - 50 ×10 × 55 - 40=6750 元2y=500- x - 50 ×10 × x - 40 ，即 y=- 10x +1400x- 4000欢迎下载精品学习资源3. 火车进站刹车滑行的距离s 单位： m与滑行时间 t 单位： s 的函数关系式是 s=30t - 1.5t离站台多远开头刹车，才能使火车票刚好停在站台位置上？2；火车欢迎下载精品学习资源2解：由 s=30t - 1.5t得 s=-32t - 102+150欢迎下载精品学习资源所以当 t=10 时， s 最大=150所以当火车从离站台150M处开头刹车，火车才能刚好在站台停下； 4南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25 万元；市场调研说明，当销售价为29 万元时，平均每周能售出8 辆，而销售价每降低0.5 万元时，平均每周能多售出4 辆；设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元；(1) 求 y 与 x 的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范畴；(2) 假设这种汽车平均每周的销售利润为z 万元，试写出 z 与 x 之间的函数关系式；2(3) 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 解： 1y=29 - 25- x=- x+40 x 4欢迎下载精品学习资源2z=8+x 0.5× 4 .y=8x+8- x+4= - 8x+24x+32欢迎下载精品学习资源3 由 z=- 8x2+24x+32，配方得 z=- 8x - 3 2+502欢迎下载精品学习资源所以当 x= 32时， z 最大 =50欢迎下载精品学习资源所以当定价为29- 1.5=27.5万元 时，有最大利润，最大利润为50 万元；5. 小店张老板批发进货，其中有一种商品进价为每件 9 元，按每件 15 元出售，每天可销售 40 件； 现在他想采纳降价促销的方法来增加利润，已知这种商品每件每降价 1 元，日销售量就增加 10 件，那么他把售价定为多少时，才能使每天获利最大？每天最大利润是多少？解：设降价 x 元，就零售价为 15 - x 元，日销量为 40+10x 件2设每日利润为y 元，就由题意得：y=15 - x- 940+10x=- 10x +20x+240，2配方得 y=- 10x - 1 +250所以当 x=1 时， y 最大 =250，这时 15- x=14所以把售价定为每件14 元时，每天获利最大，最大利润是250 元；6. 在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来暂时，价格呈上升趋势；设这种时装开头时定价为 20 元，并且每周 7 天 涨价 2 元，从第 6 周开头保持 30 元的价格平稳销售；从第12 周开头，当季节即将过去时，平均每周减价2 元，直到第 16 周周末，该服装不再销售；1 试建立销售价 y 与周次 x 之2间的关系式； 2 如这种时装每件进价Z 与周次 x 之间的关系为 Z=- 0.125x - 8 +121 x 16，且 x 为整数 ，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润是多少？欢迎下载精品学习资源解： 1 由题意，可以建立函数关系式如下： 当 1x 6 时， y=20+2x - 1 ；当 6x 11 时， y=30 ；当 12 x 16 时， y=30- 2x - 11即 y=(2) 设销售利润为 W元，就 W=售价 - 进价所以 W=化简得 W=欢迎下载精品学习资源1当 1 x 6 时， W=82x +14欢迎下载精品学习资源由于对称轴为直线x=0 ，a>0所以由图象不难得出在1 x 6 范畴内，当 x=6 时， W有最大值欢迎下载精品学习资源21W最大=8×6 +14=18.5欢迎下载精品学习资源21当 6 x 11 时， W=8x - 2x+26欢迎下载精品学习资源由于对称轴为直线x=8 ，在 6 x11 范畴内，由图象可看出在x=11 时， W有最大值欢迎下载精品学习资源W最大= 18×11 - 2× 11+26=19 128欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源W=当 12 x 16 时，182x - 4x+48欢迎下载精品学习资源对称轴为直线x=162由图象可以看出在12x 16 范畴内， x=12 时， W有最大值欢迎下载精品学习资源W最大= 18×12 - 4× 12+48=18欢迎下载精品学习资源1综上所述，当x=11 时销售利润最大，最大值为19元；8二次函数经典应用题练习题1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100 元，售价为130 元，每星期可卖出80 件. 商家打算降价促销，依据市场调查，每降价5 元，每星期可多卖出20 件.（ 1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（ 2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？欢迎下载精品学习资源2、某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出8 台，为了协作国家“家电下乡”政策的实施，商场打算实行适当的降价措施. 调查说明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多售出 4 台（1） 假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出 y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范畴）（2） 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3） 每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？3、张大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为 32M的篱笆恰好围成围成的花圃是如下列图的矩形 ABCD设 AB 边的长为 xM矩形 ABCD的面积为 S 平方 M（ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）欢迎下载精品学习资源（ 2）当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最大值欢迎下载精品学习资源（参考公式：二次函数y ax2bxc （ a0 ），当 xb时， y最大 小 值2 a4acb24a欢迎下载精品学习资源4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份 x 之间满意函数关系y50 x2600 ，去年的月销售量p（万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情形如下表：月份1 月5 月销售量3.9 万台4.3 万台（ 1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（ 2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12 月份下降了 m% ，且每月的销售量都比去年12 月份下降了 1.5m%国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%赐予财政补贴受此政策的影响，今年3 至 5 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2 月份的售价不变的情形下，平均每月的销售量比今年2 月份增加了欢迎下载精品学习资源1.5 万台如今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共赐予了财政补贴936 万元，求 m 的值（保留一位小数）（参考数据：34 5.831， 35 5.916， 37 6.083，38 6.164）5、某商场试销一种成本为每件60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发觉，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数ykxb ，且 x65 时，欢迎下载精品学习资源y 55 ； x75 时， y45 欢迎下载精品学习资源（ 1）求一次函数 ykxb 的表达式；（ 2）如该商场获得利润为W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（ 3）如该商场获得利润不低于500 元，试确定销售单价x 的范畴欢迎下载精品学习资源6、某商场在销售旺季接近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开头时的售价为每件 20 元，并且每周（ 7 天）涨价 2 元，从第 6 周开头，保持每件30 元的稳固价格销售，直到11 周终止， 该童装不再销售；（ 1）请建立销售价格 y（元）与周次 x 之间的函数关系；（ 2）如该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次 x 之间的关系为欢迎下载精品学习资源z 1 x 88 212 ， 1 x 11，且 x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最欢迎下载精品学习资源大？并求最大利润为多少？欢迎下载精品学习资源7、茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答以下问题：价品目出厂价成本价排污处理费种甲种塑料2100（元 /吨）800（元 /吨）200（元 / 吨）100（元 / 吨）乙种塑料2400（元 /吨）1100（元 /吨）每月仍需支付设备管理、保护费 20000 元欢迎下载精品学习资源（ 1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x 吨，利润分别为y1 元和y2 元，分别求y1 和 y2与 x 的函欢迎下载精品学习资源数关系式（注：利润 =总收入 - 总支出）；（ 2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400 吨，如某月要生产甲、乙两种塑料共700 吨， 求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？欢迎下载精品学习资源8、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情形进3欢迎下载精品学习资源行了调查调查发觉这种水产品的每千克售价y1 （元）与销售月份x （月）满意关系式yx36 ，8欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源而其每千克成本y2 （元）与销售月份 x （月）满意的函数关系如下列图欢迎下载精品学习资源（ 1）试确定 b、c 的值；（ 2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份 x （月）之间的函数关系式；（ 3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？欢迎下载精品学习资源y2y218x2bxc221 2 3 4 5 6 7 8 9x第 8欢迎下载