2022年“消元──二元一次方程组的解法”教学设计.docx

精品学习资源“消元二元一次方程组的解法”教案设计北京五中分校曹自由摘要：明确概念的核心，以“使同学体会概念、方法的生成过程”为主导思想，设计教案过程；同学自主的运用所学过的等式性质，把没学过的方程组问题转化为学过的一元 一次方程来解决，体会消元思想、转化思想；同学经受观看发觉问题、类比解决问题、归纳形成方法这一过程，思维发而不散，更好的感悟数学；关键词 ：转化思想；消元思想；程序化思想一、内容和内容解读本节主要内容为二元一次方程组的解法，“消元”是解二元一次方程组的基本思路， 代入消元和加减消元是“消元”的最基本的方法探究解二元一次方程组的通解通法，即把解法程序化也是本节应渗透的内容；（ 1）中学代数讨论的中心问题是各类方程，中学代数中的函数是初步的，它只起到一个启蒙的作用对函数较全面、深化的讨论仍有待于在高中进行；可以说，中学代数中， 中学以方程为主，高中以函数为主，但中学的教案必需为高中进一步讨论函数打好基础而二元一次方程组恰恰是联系方程和函数的一个很好的纽带，二元方程就刻画了两个变量之间的函数关系，而待定系数法求函数解读式、函数的交点问题等，又需要利用解方程组来进行运算在近代数学数值运算和工程应用中，求解线性方程组是重要的课题，以Gauss 消元法为首的各种消元法的程序化仍旧是大家不断讨论的重点内容（ 2）解方程组过程中包蕴的化归思想，不仅在解方程组过程中具有指导作用，更贯穿了数学学习、讨论的始终；不仅应用于数学解题，而且是一种最基本的思维策略在讨论和解决有关问题时，如何将复杂问题转化为简洁问题；将难解的问题转化为简洁求解的问题；将未解决的问题转化为已解决的问题，正是数学课所要教给同学的基本摸索方法在本章的教案和学习中，不能仅着眼于详细题目的详细解题过程，而应不断加深对以上思想方法的领悟，从整体上熟悉问题的本质数学思想方法是通过数学学问的载体来表达的，对于它们的熟悉需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要老师的点拨，仍需要学因此，学好二元一次方程组的解法，体会消元、转化思想，是同学完善认知的必要支柱，也是本节课的教案重点欢迎下载精品学习资源生自身的感受和懂得假如熟悉了消元思想，那么同学对于代入法、加减法的详细步骤就不会仅是死记硬背，而能够顺势自然地懂得，并能够敏捷运用从而确立方程、不等式、函数这一结构体系中重要的一环这种思想的逐步形成也恰恰表达了“学习数学使人聪 明”因此，化归思想是本节课教案中所要重点突出的数学思想（ 3）算法是一个全新的课题，已经成为运算机科学的核心，它在科学技术和社会进展中起着越来越重要的作用学习算法的基本思想和初步学问，也成为高中必修课程中的内容算法一方面具有详细化、程序化、机械化的特点，同时又具有高度的抽象性、概括性和精确性算法学习使我们更加全面地懂得运算才能，仍能够进展规律思维才能本节课在对二元一次方程组解法的探究过程中，可以很好地表达上述内容一方面引导同学探究解二元一次方程的步骤，进而体会解二元一次方程组的通解通法，并通过框图初步感受程序化的思想；同时又在各个详细步骤中，关注某些细节，如“变形后的方程应代入哪一个方程才能连续求解”、“对比先消哪一个未知数使运算更加简洁”等培育同学的思维才能同学的认知水平有限，仍不能完全懂得程序化的思想，对二元一次方程组解法的探究，也仍只能停留在解给定详细系数的方程组，仍不能探究公式化的解法，对同解方程的懂得也只能停留在满意等式性质，不能全面地摸索方程组有唯独确定解所满意的条件，因此只能定位在渗透程序化思想上，而不应把算法的学习作为本节课的重点二、目标和目标解读教案目标（ 1）懂得解二元一次方程组的基本思路“消元”，经受从未知向已知转化的过程，培育观看分析才能，体会化归思想；初步体会解方程组过程中表达的程序化思想；（ 2）能用代入消元法、加减消元法解简洁的二元一次方程组，会依据方程组特点挑选适当的方法，体会简化思想，培育运算才能；（ 3）在探究过程中，培育合作沟通意识与探究精神，增强学习爱好，感受数学美 教案重点懂得解二元一次方程组的基本思路“消元”，会用代入、加减消元法解简洁的二元一次方程组教案难点同学探究并懂得为什么能通过代入、加减消元把二元一次方程组转化为一元一次方程第一，这是二元一次方程组解法的第一节课，同学初次接触方程组的解法，同时思维的重点也集中在如何把未知问题转化为已知问题，把二元问题转化为一元问题；因此，教欢迎下载精品学习资源案的重点是对转化思想、消元方法的懂得，而不是对解法的娴熟运用，故在目标中设定为“能用代入、加减消元法解简洁的二元一次方程组”其次，程序化思想虽然重要，但同学在本节课接触的例题仍比较少，缺少大量积存后的感悟，同时又没有探讨二元一次方程组的标准方程的解法（即二元一次方程组的求解公式）， 所以只能在几个主要步骤环节让同学“初步体会解方程组过程中表达的程序化思想”最终，化归思想是化难为易、化繁为简、化未知为已知代入、加减是方法，消元是目的，转化是本质所以本节课探究利用代入、加减消元法解二元一次方程组的基本步 骤，立足于化归思想的逐步形成三、教案问题诊断分析（ 1）同学对代数思想的熟悉不够，缺乏用字母表示数的意识，发觉式的变形和依据的才能不强如用代入法解二元一次方程组时，需要先把其中一个方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，再利用整体代换的方式替换出一元这其中所包蕴的式的变形及整体代入思想，都是需要同学懂得的（ 2）同学对解法的关注点往往集中在不同的方法上，而忽视相同的思想；集中在不同的变形技巧上，而忽视相同的程序化过程；集中在答案的对与错，而忽视解题过程的简与繁因此，在本节课的教案过程设计中，时刻留意引导同学思维聚焦的方向，通过合理设置有梯度的承接性问题，激发同学的思维，深化同学的摸索并且准时进行阶段性小结， 不断完善同学的认知结构，力争做到使同学的思维“发而不散”四、教案过程设计先行组织者：在上一节课，我们通过对一道与篮球竞赛得分有关的实际问题的讨论， 学习了二元一次方程组，以及二元一次方程组的解当我们列出二元一次方程组后，所关心的就是如何求出这个方程组的解在此之前, 我们学习了如何解一元一次方程，解一元一次方程的主要依据是等式性质今日我们就来共同探究，能否利用等式性质和一元一次方程的相关学问，解二元一次方程组（一）探究新知例题在上一节课，通过对实际问题的分析，我们列出了二元一次方程组欢迎下载精品学习资源你会解这个方程组吗？（老师不加任何说明和引导，让同学自主探究方程组的解法） 预案 1解： 由得把代入，得解这个方程，得（这时老师可以提出问题：为什么可以代入？代入可不行以？得到的方程是什么方程？）把代入，得（这时老师可以提出问题：代入或行不行？好不好？） 所以原方程组的解为（ 1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？【设计意图】引导同学懂得等量代换在代入消元法解方程组过程中的应用体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程（在“为什么可以代入”这一问题的解决过程中，引导同学回忆二元一次方程组的定义，和二元一次方程组的解的定义，再一次懂得定义中的“相同未知数”、“公共解”）（ 2）引申问题：有没有方法得到关于的一元一次方程？ 解：由得把代入，得解这个方程，得（这时老师可以提出问题：代入可不行以？） 把代入，得欢迎下载精品学习资源（这时老师可以提出问题：代入或可不行以？）所以原方程组的解是（ 3）小结：这种解二元一次方程组的方法，我们称之为代入消元法 问题 1：你认为哪一步是最重要的？为什么.（“代入”，把二元一次方程组转化为一元一次方程） 问题 2：应用代入消元法前，需要先做的预备工作是什么？（用含一个未知数的式子表示另一个未知数）问题 3：除了代入法，仍有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案 2 ）？ 预案 2解： 由 - ，得（这时老师可以提出问题：这一步的依据是什么？） 把代入，得（这时老师可以提出问题：代入可以吗？） 所以原方程组的解是（ 1）提出问题：在这种解法中，哪一步是最关键的？为什么？【设计意图】引导同学懂得等式性质在加减消元法解方程组过程中的应用，体会解二元一次方程组的关键是把二元一次方程组转化为一元一次方程（ 2）引申问题：能不能先消？解： × 2，得 - ，得（这时老师可以提出问题： - 可以吗？好吗？） 把代入，得欢迎下载精品学习资源所以原方程组的解是（ 3）小结：这种解二元一次方程组的方法我们称之为加减消元法 问题 1：你认为哪一步是最重要的？为什么.（“加减”，把二元一次方程组转化为一元一次方程）问题 2：应用加减消元法前，方程组中的两个方程要先具备什么特点？（两方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数）问题 3：除了加减法，仍有没有其他方法来实现消元这一目的呢（引入预案 1 ） ？ 对比预案 1、预案 2，进行总结问题 1：两种方法的共同点（共同目的）是什么？（通过消元，使二元问题先转化为一元问题，求出一个未知数后再求另一个） 问题 2：两种方法的不同点是什么？（消元的方法不同，一个是“代入”，一个是“加减”） 问题 3：哪一种方法更简洁？（依据方程组特点，详细问题详细分析）预案 3解： 把方程变形成把代入，得（后续步骤略）【说明】整体代入也实现了“消元”这一目的；（二）运用新知练习： 欢迎下载精品学习资源答案： （同学分组解答，然后汇报、沟通不同的解法留意订正同学解题步骤中的细节问题）（三）归纳总结摸索：这节课我们学习了什么？问题 1：这节课我们讨论的主要内容是什么？（代入、加减消元法解二元一次方程组；） 问题 2：解法的主要步骤是什么？（变形、代入（加减）、求解、回代、结论；）我们以练习、练习为例，通过框图（如图 1 、图 2 ），再次回忆解二元一次方程组的基本步骤代入消元法解方程组的基本步骤图 1代入消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示欢迎下载精品学习资源代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解：求出一元一次方程的解回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解结论：写出方程组的解加减消元法解方程组的基本步骤图 2加减消元法解二元一次方程组的几个关键步骤是什么？变形：使两个方程中某个相同未知数的系数相等或互为相反数加减：将两个方程相加减，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程求解：求出一元一次方程的解回代：将其代入到变形后的方程中，求出另一个未知数的解结论：写出方程组的解问题 3：你觉得其中最关键的一步是什么？为什么？表达了什么思想？（代入消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程，转化思想；）问题 4：在解题过程中我们仍应留意哪些问题？（分析如何消元能简化运算等；）（四）布置作业教材 P107 页练习 2、32用代入法解以下方程组：12欢迎下载精品学习资源3张翔从学校动身骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1 5 小时后到达县城他骑车的平均速度是15 千 M/ 时，步行的平均速度是5 千 M/ 时，路程全长20 千M他骑车与步行各用多少时间？教材 P111 页练习 1 1用加减法解以下方程组：12选做题1. 已知2. 已知是方程组的解，求 a、 b 的值【说明】教材上的作业既是对代入法的一次练习，同时也是对代入法适合情形的一次懂得；摸索题作业是对方程组问题的一次提高练习，有肯定的思维难度五、目标检测设计1. 解以下方程组；（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）2. 有 48 个队 520 名运动员参与篮、排球竞赛，其中每支篮球队10 人，每支排球队12 人，每名运动员只参与一项竞赛篮、排球队各有多少队参赛？注： 本文指导：北京东城老师研修中心：吴晓燕、雷晓莉；北京22 中：张玉梅；北京宏志中学：王芝平；欢迎下载精品学习资源北京课题组成员：张韬，沈秀玉，马岳，宫颖，范方兵，杨哲赢，靳荷艳，王志明， 李红晶等；参考文献：曹才翰，章建跃 . 老师训练心理学 M. 北京：北京师范高校出版社，2006.本文发表于中国数学训练中学版2021 年第 1 、2 期欢迎下载