2022年人教版九级数学下册知识点总结 .docx
人教版九年级数学下册学问点总结其次十六章二次函数 .1261二次函数及其图像 .1262用函数观点看一元二次方程 .6263实际问题与二次函数 .6其次十七章相像.6271图形的相像 .6272相像三角形 .7273位似 .8其次十八章锐角三角函数 .9281锐角三角函数 .9282解直角三角形 .10其次十九章投影与视图 .12291投影 .12292三视图 .12其次十六章二次函数26.1 二次函数及其图像二次函数（ quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数；二次函数可以表示为fx=ax2+bx+ca不为 0 ；其图像是一条主轴平行于y 轴的抛物线；一般的,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： 一般式y=ax 2;+bx+ca 0,a 、 b、c 为常数 ,顶点坐标为 -b/2a, -4ac-b 2/4a；顶点式y=ax+m 2+ka 0,a 、 m、k 为常数 或 y=ax-h+ka 0,a 、 h、k 为常数 ,顶点坐标为（ -m, k）对称轴为 x=-m,顶点的位置特点和图像的开口方向与函数ax 的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=ax-x1x-x2 仅限于与 x 轴有交点 A（ x1 , 0）和 B （ x2 , 0）的抛物线 ；重要概念： a,b,c 为常数, a0,且 a 打算函数的开口方向,a>0 时, 开口方向向上, a<0 时,开口方向向下；a 的肯定值仍可以打算开口大小,a 的肯定值越大开口就越小,a 的肯定值越小开口就越大；牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）y=y3x-x1x-x2/x3-x1x3-x2+y2x-x1x-x3/x2-x1x2-x3+y1x-x2x-x3/x1-x2x1-x3；由此可引导出交点式的系数a=y1/x1*x2 y1为截距 求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式；求根公式x 是自变量, y 是 x 的二次函数x1,x2=-b± b2 -4ac/2a 即一元二次方程求根公式） （如右图） 求根的方法仍有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x 的平方 的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线；不同的二次函数图像假如所画图形精确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的；留意：草图要有1 本身图像,旁边注明函数；2 画出对称轴,并注明X=什么3 与 X 轴交点坐标,与Y 轴交点坐标,顶点坐标；抛物线的性质轴对称1. 抛物线是轴对称图形；对称轴为直线x = -b/2a；对称轴与抛物线唯独的交点为抛物线的顶点P；特殊地,当b=0 时,抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）顶点2. 抛物线有一个顶点P,坐标为 P -b/2a, 4ac-b2;/4a 当-b/2a=0时, P 在 y 轴上；当 = b2;-4ac=0时, P 在 x 轴上；开口3. 二次项系数 a 打算抛物线的开口方向和大小；当 a 0 时,抛物线向上开口；当a 0 时,抛物线向下开口；|a| 越大,就抛物线的开口越小；打算对称轴位置的因素4. 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同打算对称轴的位置；当 a 与 b 同号时（即 ab 0）,对称轴在 y 轴左； 由于如对称轴在左边就对称轴小于 0,也就是 - b/2a<0,所以 b/2a 要大于 0,所以 a、b 要同号当 a 与 b 异号时（即 ab 0）,对称轴在 y 轴右；由于对称轴在右边就对称轴要大于 0,也就是 - b/2a>0,所以 b/2a 要小于 0,所以 a、b 要异号可简洁记忆为左同右异,即当a 与 b 同号时（即 ab 0）,对称轴在 y轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab 0）,对称轴在y 轴右；事实上, b 有其自身的几何意义：抛物线与y 轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率 k 的值；可通过对二次函数求导得到；打算抛物线与 y 轴交点的因素5. 常数项 c 打算抛物线与 y 轴交点；抛物线与 y 轴交于（ 0, c）抛物线与 x 轴交点个数6. 抛物线与 x 轴交点个数= b2-4ac 0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点；= b2-4ac=0时,抛物线与 x 轴有 1 个交点；= b2-4ac 0 时,抛物线与 x 轴没有交点； X 的取值是虚数（x=- b± b2 4ac的值的相反数,乘上虚数 i ,整个式子除以2a）当 a>0 时,函数在x= -b/2a处取得最小值 f-b/2a=4ac-b²/4a； 在x|x<-b/2a上是减函数,在x|x>-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是y|y 4ac -b2/4a相反不变当 b=0 时,抛物线的对称轴是y 轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为 y=ax2+ca 0特殊值的形式7. 特殊值的形式当 x=时 y=a+b+c当 x=-1 时 y=a-b+c当 x=2 时 y=4a+2b+c当 x=-2 时 y=4a-2b+c二次函数的性质8. 定义域： R值域：（对应解析式,且只争论a 大于 0 的情形, a 小于 0 的情形请读者自行推断）4ac-b2/4a,正无穷）； t ,正无穷）奇偶性：当b=0 时为偶函数,当b0时为非奇非偶函数；周期性：无解析式：y=ax2+bx+c一般式 a0a 0,就抛物线开口朝上；a 0,就抛物线开口朝下；极值点：（ -b/2a , 4ac-b2/4a）； =b2-4ac, 0,图象与 x 轴交于两点：（-b- /2a , 0）和（ - b+ /2a , 0）； 0,图象与 x 轴交于一点：（ -b/2a , 0）； 0,图象与 x 轴无交点；y=ax-h2+k顶点式 此时,对应极值点为（h, k）,其中 h=-b/2a , k=4ac-b2/4a；y=ax-x1x-x2交点式（双根式） （a0）对称轴 X=X1+X2/2当 a>0 且 X X1+X2/2时,Y 随 X 的增大而增大, 当 a>0 且 X（ X1+X2） /2 时 Y 随 X的增大而减小此时, x1 、x2 即为函数与X 轴的两个交点,将X、Y 代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）；交点式是 Y=AX-X1X-X2知道两个 x 轴交点和另一个点坐标设交点式；两交点 X 值就是相应X1 X2 值；26.2 用函数观点看一元二次方程1. 假如抛物线 yax2bxc 与 x 轴有公共点,公共点的横坐标是 x ,那么当000xx 时,函数的值是 0,因此 xx 就是方程 ax 2bxc0 的一个根；2. 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点,有一个公共点, 有两个公共点； 这对应着一元二次方程根的三种情形： 没有实数根, 有两个相等的实数根,有两个不等的实数根；26.3 实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值；其次十七章相像27.1 图形的相像概述假如两个图形外形相同, 但大小不肯定相等 , 那么这两个图形相像； （相似的符号：）判定假如两个多边形满意对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相像；相像比相像多边形的对应边的比叫相像比；相像比为1 时,相像的两个图形全等；性质相像多边形的对应角相等,对应边的比相等；相像多边形的周长比等于相像比；相像多边形的面积比等于相像比的平方；27.2 相像三角形判定1. 两个三角形的两个角对应相等2. 两边对应成比例, 且夹角相等3. 三边对应成比例4. 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相像；例题 A= A'B= B' ABC A'B'C'性质1. 相像三角形的一切对应线段 对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相像比；2. 相像三角形周长的比等于相像比；3. 相像三角形面积的比等于相像比的平方27.3 位似假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边相互平行, 那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心, 这时的相像比又称为位似比；性质位似图形的对应点和位似中心在同始终线上,它们到位似中心的距离之比等于相像比；位似多边形的对应边平行或共线；位似可以将一个图形放大或缩小；位似图形的中心可以在任意的一点,不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变；依据一个位似中心可以作两个关于已知图形肯定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧, 并且关于位似中心对称；留意1、位似是一种具有位置关系的相像,所以两个图形是位似图形,必定是相像图形,而相像图形不肯定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相像比利用位似图形的定义可判定两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形位似；其次十八章锐角三角函数28.1 锐角三角函数锐角角 A 的正弦（ sin ）, 余弦（ cos ）和正切（ tan ）, 余切（ cot ）以及正割（ sec ）,（余割 csc ）都叫做角 A 的锐角三角函数；正弦（ sin ）等于对边比斜边,余弦（ cos ）等于邻边比斜边正切（ tan ）等于对边比邻边； 余切（ cot ）等于邻边比对边正割（ sec 等于斜边比邻边余割 csc等于斜边比对边 正切与余切互为倒数互余角的三角函数间的关系；sin 90 ° - =cos , cos90°- =sin ,tan 90 ° - =cot , cot90同角三角函数间的关系°- =tan .平方关系：sin2 +cos2 =1 tan2 +1=sec2 cot2 +1=csc2 ·积的关系：sin =tan ·cos cos =cot ·sin tan =sin ·sec cot =cos ·csc sec =tan ·csc csc =sec ·cot ·倒数关系： tan ·cot =1 sin ·csc =1cos ·sec =1直角三角形ABC中,角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边 ,余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边三角函数值（ 1）特殊角三角函数值（ 2）0° 90°的任意角的三角函数值,查三角函数表；（ 3）锐角三角函数值的变化情形（ i ）锐角三角函数值都是正值（ ii ）当角度在 0° 90°间变化时,正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（ iii ）当角度在 0° 90°间变化时,0sin 1, 1 cos 0,当角度在 0°< <90°间变化时, tan >0, cot >0.特殊的三角函数值0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °0 1/22/23/2 1 sin1 3/22/2 1/2 0 cos0 3/3 13 None tanNone 3 13/3 0 cot28.2 解直角三角形勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a2+b2=c2,其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边；勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数；比如：3, 4, 5；他们分别是 3, 4 和 5 的倍数；常见的勾股弦数有：3, 4, 5； 6, 8, 10；等等 .直角三角形的特点直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即：A在 Rt ABC中,如 C90°,就 a2 +b2=c2；D勾股定理的逆定理：假如三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,就这个三角形是直角三角形,即：在ABC中,如 a2+b2=c2,BC就 C90°；222射影定理： AC=AD AB, BC=BD AB, CD=DA DB锐角三角函数的定义：如图,在 RtABC中, C 90°, A, B, C所对的边分别为 a,b,c ,AcbCaBab就 sinAcosAabtanAcotA=,=,cc=,=ab特殊角的三角函数值： （并会观看其三角函数值随的变化情形）1. sincostancot301°245233323211°2260313°2233解直角三角形（ RtABC, C90°）三边之间的关系： a2+b2 =c2两锐角之间的关系： A B90°边角之间的关系： sinA =A的对边 a, cosA=A的邻边 b 斜边c斜边ctanA=A 的对边 a , cotA=A 的邻边 b A 的邻边bA 的对边a解直角三角形中常见类型：已知一边一锐角已知两边解直角三角形的应用其次十九章投影与视图29.1 投影一般地,用光线照耀物体,在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection）,照耀光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面；有时间线是一组相互平行的射线,例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线；由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection.由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection；投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影；投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影；物体正投影的外形、大小与它相对于投影面的位置有关；29.2 2三视图三视图是观测者从三个不同位置观看同一个空间几何体而画出的图形； 将人的视线规定为平行投影线,然后正对着物体看过去,将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图；一个物体有六个视图：从物体的前面对后面投射所得的视图称主视图能反映物体的前面外形,从物体的上面对下面投射所得的视图称俯视图能反映物体的上面外形,从物体的左面对右面投射所得的视图称左视图能反映物体的左面外形,仍有其它三个视图不是很常用；三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称；特点：一个视图只能反映物体的一个方位的外形,不能完整反映物体的结构外形；三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果,另外仍有如剖面图、半剖面图等做为帮助,基本能完整的表达物体的结构；主视、俯视长对正物体的投影主视、左视高平齐左视、俯视宽相等在很多情形下,只用一个投影不加任何注解,是不能完整清楚地表达和确定形体的外形和结构的；如下列图,三个形体在同一个方向的投影完全相同,但三个形体的空间结构却不相同；可见只用一个方向的投影来表达形体外形是不行的；一般必需将形体向几个方向投影,才能完整清楚地表达出形体的外形和结构；一个视图只能反映物体的一个方位的外形, 不能完整反映物体的结构外形；三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果,另外仍有如剖面图、半剖面图等做为帮助,基本能完整的表达物体的结构；画法： 依据各形体的投影规律,逐个画出形体的三视图；画形体的次序： 一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）； 先画轮廓,后画细节；画每个形体时,要三个视图联系起来画,并从反映形体特点的视图画起,再按投影规律画出其他两个视图；对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线,回转体肯定要画出轴线；对称中心线和轴线用细点划线画出；
