2022年人教版九级下册数学知识点归纳总结.docx

其次十六章 反比例函数26.1 学问点 1 反比例函数的定义24一般地,形如y方面来懂得：（k 为常数, kkx0 ）的函数称为反比例函数,它可以从以下几个 x 是自变量, y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范畴是 x0的一切实数,函数值的取值范畴是y0 ；比例系数 k0 是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式： yk （ kx0 ）, ykx1（ k0 ）, xyk （定值）（ k0 ）；函数 yk （ kx0 ）与 xk （ ky0 ）是等价的, 所以当 y 是 x 的反比例函数时,x 也是 y 的反比例函数；（ k 为常数, k了；0 ）是反比例函数的一部分,当k=0 时, yk,就不是反比例函数x26.2 学问点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数 yk （ kx0 ）中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出 k 的值,从而确定反比例函数的表达式；26.3 学问点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支, 这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量x 0 ,函数值y 0 ,所以它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永久达不到坐标轴；反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线；再作反比例函数的图像时应留意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多,画的图像越精确；连线时, 必需依据自变量大小从左至右（或从右至左） 用光滑的曲线连接,切忌画成折线；画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交；26.4 学问点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质,主要讨论它的图像的位置及函数值的增减情形,如下表：反比例函数yk （ k0 ）xk 的符号k0k0图像 x 的取值范畴是x 0 ,y 的取值范畴是y 0 x 的取值范畴是x 0 ,y 的取值范畴是y 0性质当 k0 时,函数 当 k0 时,函数图像的两个分支分别在 第一、第三象限,在每 个象限内, y 随 x 的增大而减小；图像的两个分支分别在 其次、第四象限,在每 个象限内, y 随 x 的增大而增大；留意：描述函数值的增减情形时,必需指出“在每个象限内”否就,笼统地说,当k0时, y 随 x 的增大而减小“,就会与事实不符的冲突；反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k 的符号打算的, 反过来,由反比例函数图像 （双曲线） 的位置和函数的增减性, 也可以推断出 k 的符号； 如 yk 在x第一、第三象限,就可知k0 ；反比例函数yk （ kx0 ）中比例系数k 的肯定值 k 的几何意义；如下列图,过双曲线上任一点P（ x, y）分别作 x 轴、 y 轴的垂线, E、F 分别为垂足,就 kxyxyPFPES矩形 OEPF反比例函数 yk （ k0）中, k 越大, 双曲线 y xk 越远离坐标原点； kx越小,双曲线 yk越靠近坐标原点；x双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点； 双曲线又是轴对称图形, 对称轴是直线 y=x 和直线 y= x；习题1. 以下函数中,不是反比例函数的是3 31A y xB y 2xC y x1D 3xy 22. 已知点 P 1,4在反比例函数y k 0的图象上,就 k 的值是 k x11A 4B.4C 4D 43. 如 P（ 2, 2）和 Q（ m,）是反比例函数图象上的两点, 就一次函数 y=kx+m 的图象经过（）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D其次、三、四象限4已知函数和（k0）,它们在同一坐标系内的图象大致是（）A BCDx5. 当 a 0 时,函数 y ax 1 与函数 y a在同一坐标系中的图象可能是6. 如图 26-1-10,直线 x tt>0 与反比例函数y A 为 y 轴上的任意一点,就 ABC 的面积为 2,yx1的图象分别交于 B,C 两点,x图 26- 1-1033A 3B. 2tC.2D 不能确定7. 已知反比例函数的图象与直线 y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点, 就当 x0 时,这个反比例函数的函数值y 随 x 的增大而 （填 “增大 ”或“减小 ”）8. 如正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（ 2,m）,就 m= , k=,它们的另一个交点为 已知函数是反比例函数,如它的图象在其次、四象限内,那么k= 如 y 随 x 的增大而减小,那么k=9. 如图 26-1-9,直线 y 2x 6 与反比例函数 y kx>0 的图象交于点A4,2,与 x 轴交x于点 B.(1) 求 k 的值及点 B 的坐标；(2) 在 x 轴上是否存在点 C,使得 ACAB ？如存在,求出点 C 的坐标；如不存在,请说明理由图 26-1-910. 如图在 RtABO 中,顶点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点,AB x 轴于 B 且 SABO=求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和 AOC 的面积其次十七章相像图形的相像概述假如两个图形外形相同 ,但大小不肯定相等,那么这两个图形相像；（ 相像的符号： ）判定假如两个多边形满意对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相像；相像比相像多边形的对应边的比叫相像比；相像比为1 时,相像的两个图形全等；性质相像多边形的对应角相等,对应边的比相等；相像多边形的周长比等于相像比；相像多边形的面积比等于相像比的平方；比例线段有关概念及性质1、比和比例的有关概念：（1） 表示两个比相等的式子叫作比例式,简称比例.（2） 第四比例项：如acbd或 a:b=c:d ,那么 d 叫作 a、b、c 的第四比例项 .（3） 比例中项：如 abbc或 a:b=b:c ,b 叫作 a,c 的比例中项 .（ 4）黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段,使其中较长线段（AC）是原线段AB与 较 短 线 段 （ BC） 的 比 例 线 段 , 就 叫 作 把 这 条 线 段 黄 金 分 割 . 即 AC2=AB· BC,AC=51 AB20.618 AB ；一条线段的黄金分割点有两个.2. 比例的基本性质及定理（1） acadbc bd（2） acabcd bdbd（3） （3）acm bdn0acmabdnbdnb3. 平行线分线段成比例定理(1) 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.(2) 平行于三角形一边截其他两边 或两边的延长线 ,所得的对应线段成比例；(3) 假如一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 ,所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边；(4) 平行于三角形的一边,并且和其他两边 或两边的延长线 相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例4. 相像三角形 .相像三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相像三角形相像比：相像三角形的对应边的比,叫做两个相像三角形的相像比相像三角形定义 ：假如两个三角形中,三角对应相等,三边对应成比例,那么这两个三角形叫做相像三角形；几种特别三角形的相像关系：两个全等三角形肯定相像；两个等腰直角三角形肯定相像；两个等边三角形肯定相像；两个直角三角形和两个等腰三角形不肯定相像；补充： 对于多边形而言,全部圆相像；全部正多边形相像（如正四边形、正五边形等等）； 判定1. 两个三角形的两个角对应相等2. 两边对应成比例 ,且夹角相等3. 三边对应成比例4. 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相像；直角三角形相像判定定理:1 .斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相像；2 .直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相像,并且分成的两个直角三角形也相像；性质1. 相像三角形的一切对应线段对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相像比；2. 相像三角形周长的比等于相像比；3. 相像三角形面积的比等于相像比的平方补充一 ：直角三角形中的相像问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相像.射影定理 ：CD 2=AD ·BD , AC 2=AD ·AB , BC2=BD ·BA（在直角三角形的运算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相像的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相像； 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相像；推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相像；推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相像；推论五：假如一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相像；位似假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边相互平行, 那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相像比又称为位似比；性质位似图形的对应点和位似中心在同始终线上,它们到位似中心的距离之比等于相像比；位似多边形的对应边平行或共线；位似可以将一个图形放大或缩小；位似图形的中心可以在任意的一点,不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变；依据一个位似中心可以作两个关于已知图形肯定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧 ,并且关于位似中心对称；留意1、位似是一种具有位置关系的相像,所以两个图形是位似图形,必定是相像图形, 而相像图形不肯定是位似图形；2 、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相像比利用位似图形的定义可判定两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形位似；习题b1、已知 a513 ,就abab 的值是（）2394A 3B 2C 4D 92、如图,已知 AB 、CD 、EF 都与 BD 垂直,垂足分别是B、D 、F,且 AB 1,CD 3,那么 EF 的长是 1A 、3B 、23C、 34D 、 45CAEBFD第7题图3、如图, ABC 中,点 D、E 分别在边 AB , BC 上, DE/AC ,如 DB=4 ,DA=2 , BE=3 ,就 EC=AD.ADEBE第 1 题C第 4 题BC4、已知 ABC DEF,ABC 与 DEF 的相像比为 4:1,就 ABC 与 DEF 对应边上的高之比为.5、将一副三角板按图叠放,就AOB与 DOC的面积之比等于6、在.ABCD中,M,N是 AD边上的三等分点, 连接 BD,MC相交于 O点,就 S MOD：S COB=7、如图, ABFC,D 是 AB 上一点, DF 交 AC于点 E,DE=FE,分别延长 FD 和 CB 交于点 G（ 1）求证： ADE CFE；（ 2）如 GB=2, BC=4, BD=1,求 AB 的长8、如图,已知 B、C、E 三点在同一条直线上,ABC 与 DCE 都是等边三角形 .其中线段BD 交 AC 于点 G,线段 AE 交 CD 于点 F.求证 ：（ 1） ACE BCD ；（ 2） AGAF .GCFE9、如图,已知AB 是 O 的直径, BC 是 O 的弦,弦 ED AB 于点 F,交 BC 于点 G,过点 C 的直线与 ED 的延长线交于点 P, PCPG.(1) 求证： PC 是 O 的切线；(2) 当点 C 在劣弧 AD 上运动时,其他条件不变,如BG2 BF·BO. 求证：点 G 是 BC 的中点（ 3）在满意（ 2）的条件下, AB=10 ,ED=46 ,求 BG 的长其次十八章锐角三角函数一、 锐角三角函数的定义在 Rt ABC中, C 90°, AB c, BC a, AC b正弦： sinA A的对边 a斜边c A的邻边b余弦： cosA斜边 c A的对边a正切： tanA A的邻边 b二、特别角的三角函数值sin costan 30°13322345°2212260°31322三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在 Rt ABC中, C 90°,就：2221 三边关系： a b c ；2 两锐角关系： A B 90°；3 边与角关系： sinA cosB a , cosA sinB b , tanA a ；ccb224sinA cos A 1四、解直角三角形的应用常用学问1. 仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角2. 坡度和坡角坡度：坡面的铅直 高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度 或坡比 ,记作 i 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 , i tan 坡度越大, 角越大,坡面 3. 方向角 或方位角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角习题解直角三角形聚焦考点温习懂得一、 锐角三角函数的定义在 Rt ABC 中, C 90°, AB c, BCa, AC b A 的对边正弦： sinA 斜边 ca A 的邻边余弦： cosA 斜边 cb余切： tanA A 的邻边 b二、特别角的三角函数值 A 的对边asin costan 30°12323345°2222160°32123三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在 Rt ABC 中, C 90°,就：1 三边关系： a2 b2 c2；2 两锐角关系： A B 90°；(3) 边与角关系： sinA cosB a , cosA sinB b , tanA a ；ccb(4) sin 2A cos2A 1四、解直角三角形的应用常用学问1. 仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直 高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度 或坡比 ,记作 i 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 , i tan 坡度越大, 角越大,坡面 3.方向角 或方位角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角考点典例一、锐角三角函数的定义【例 1】ABC 中, a,b, c 分别是 A , B, C 的对边,假如a2b2 c2,那么以下结论正确选项 A csinAaB bcosB cC atanAbD ctanBb【举一反三】2022. 山东日照,第10 题, 3 分 如图,在直角 BAD 中,延长斜边BD到点 C,使 DC= BD, 连接 AC,如 tanB=,就 tan CAD的值（）A.B.C.D.考 点典例二、锐角三角函数的运算【例 2】在 ABC 中,假如 A 、 B 满意 |tanA-1|+ （ cosB- 12）2 =0,那么 C=【举一反三】在 ABC 中,如 |cosA- 122|+（ 1-tanB ） =0,就 C 的度数是（）A 45° B 60° C 75° D 105°考点典例三、解直角三角形【例 3】在 ABC 中, AD 是 BC 边上的高, C=45°, sinB= 1 , AD=1 求 BC 的长3【举一反三】如图,在 ABC 中, A=30 °, B=45 °, AC=23 ,求 AB 的长考点典例四、解直角三角形的实际运用【例 4】小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ,并测得 B ,C 两点的俯角分别为45°和 35°,已知大桥BC 与地面在同一水平面上,其长度为100m ；恳求出热 气 球 离地 面 的高 度 ；（ 结果 保留 整数, 参 考数 据 ：7sin 357 , cos 355 ,126tan3510考点：三角函数的应用.一、挑选题1.（ 2022 乐山）如图,已知 ABC的三个顶点均在格点上,就cosA 的值为（）A3 3B55C 233D 2552.（ 2022 ·辽宁大连）如图,在ABC 中, C=90 °, AC=2 ,点 D 在 BC 上, ADC=2 B , AD=5 ,就 BC 的长为（）A.3 -1B.3 +1C.5 -1D.5 +13.2022·湖北衡阳, 12 题, 3 分如图,为了测得电视塔的高度 AB ,在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD ,测得电视塔顶端 A 的仰角为 30°,再向电视塔方向前进 100 米到达 F 处,又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60°,就这个电视塔的高度 AB（单位：米）为（ ）A 503B 51C5031D 1014. （ 2022. 山东泰安,第 14 题）（3 分）如图,轮船从 B 处以每小时 60 海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行, 在 B 处观测灯塔 A位于南偏东 50°方向上, 轮船航行 40 分钟到达 C处, 在 C处观测灯塔 A 位于北偏东 10°方向上,就 C处与灯塔 A的距离是（）A 20 海里B 40 海里C 20 33海里D 40 3 海里3二、填空题5. （ 2022 内江）在 ABC中, B=30°, AB=12, AC=6,就 BC=6. 2022·黑龙江哈尔滨）如图,点D 在ABC 的边 BC 上, C+ BAD= DAC , tanBAD= 47, AD=65 , CD=13 ,就线段 AC 的长为.7.（ 2022·辽宁大连）如图,从一个建筑物的A 处测得对面楼 BC 的顶部 B 的仰角为 32°, 底部 C 的俯角为 45°,观测点与楼的水平距离AD 为 31cm,就楼 BC 的高度约为 m 结果取整数） .（参考数据： sin32° 0.5, cos32° 0.8, tan32° 0.6）三、解答题8.（ 2022 ·辽宁丹东） 23.如图,线段AB ,CD 表示甲、乙两幢 居民楼的高,两楼间的距离BD 是 60 米.某人站在 A 处测得 C 点的俯角为 37°,D 点的俯角为 48°（人的身高忽视不计）,求乙楼的高度 CD.9.（ 2022. 河南省,第 20 题, 9 分）（ 9 分）如下列图,某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度, 他们在斜坡上D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30o,朝大树方向下坡走6 米到达坡底 A 处,在 A 处测得大树顶端B 的仰角是 48° . 如坡角 FAE=30 °,求大树的高度 .（ 结果保留整数,参考数据：sin48° 0.74, cos48° 0.67, tan48° 1.11, 3 1.73）其次十九章投影与视图29.1 投影一般地,用光线照耀物体,在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection ）,照耀光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面；有时间线是一组相互平行的射线,例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线；由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection.由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection ；投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影；投影线平行于投影面产生的投影叫做平行投影；物体正投影的外形、大小与它相对于投影面的位置有关；29.2 2三视图三视图是观测者从三个不同位置观看同一个空间几何体而画出的图形；将人的视线规定为平行投影线,然后正对着物体看过去, 将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图；一个物体有六个视图：从物体的前面对后面投射所得的视图称主视图能反映物体的前面外形,从物体的上面对下面投射所得的视图称俯视图能 反映物体的上面外形, 从物体的左面对右面投射所得的视图称左视图能反映物体的左面外形,仍有其它三个视图不是很常用；三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称；特点： 一个视图只能反映物体的一个方位的外形,不能完整反映物体的结构外形；三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果,另外仍有如剖面图、 半剖面图等做为帮助,基本能完整的表达物体的结构；主视、俯视 长对正物体的投影主视、左视 高平齐左视、俯视 宽相等在很多情形下, 只用一个投影不加任何注解,是不能完整清楚地表达和确定形体的外形和结构的； 如下列图, 三个形体在同一个方向的投影完全相同, 但三个形体的空间结构却不相同； 可见只用一个方向的投影来表达形体外形是不行的； 一般必需将形体向几个方向投影,才能完整清楚地表达出形体的外形和结构；一个视图只能反映物体的一个方位的外形,不能完整反映物体的结构外形；三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果,另外仍有如剖面图、 半剖面图等做为帮助, 基本能完整的表达物体的结构；画法：依据各形体的投影规律,逐个画出形体的三视图；画形体的次序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓,后画细节；画每个形体时,要三个视图联系起来画,并从反映形体特点的视图画起,再按投影规律画出其他两个视图；对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线,回转体肯定要画出轴线；对称中心线和轴线用细点划线画出；习题考点典例一、辨别立体图形的三种视图【例 1】（ 2022·湖北鄂州, 5 题, 3 分）如下列图的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形,就这个几何体的俯视图是（）考点：简洁组合体的三视图【举一反三】1. （山东泰安,第3 题）（ 3 分）以下四个几何体：其中左视图与俯视图相同的几何体共有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个考点：简洁几何体的三视图2. （山东潍坊,第 2 题, 3 分）如右图所示几何体的左视图是（）考点：几何体的左视图3.（山东济南,第 5 题,3 分）如图,一个几何体是由两个小正方体和一个圆锥构成,其主视图是（）A BCD 考点：简洁组合体的三视图考点典例二、利用三视图求几何体的面积【例 2】一个立体图形的三视图如下列图,依据图中数据求得这个立体图形的侧面积为（）A 12B 15C 18D 24主左4视4视图图6俯视图【举一反三】已知某几何体的三视图（单位：cm）,就这个圆锥的侧面积等于（）A 12 cm2B 15 cm2C 24 cm2D 30 cm2考点典例三、由三视图确定物体的外形【例 3】（ 2022·湖南益阳）一个几何体的三视图如下列图,就这个几何体是（）A. 三棱锥B.三棱柱C.圆柱D.长方体考点：由三视图判定几何体【举一反三】1. 以下几何体 中,有一个几何体的主视图与俯视图的外形不一样,这个几何体是（）2.2022·湖北孝感）如图是一个几何体的三视图,就这个几何体是 A 正方体B 长方体C三棱柱D三棱锥第4题考点：三视图 .考点典例四、由 视图确定立方体的个数【例 4】小颖同学到学校领来n 盒粉笔,整齐地摞在讲桌上, 其三视图如图, 就 n 的值是（）A 6B 7C 8D 9【举一反三】1.（ 2022·辽宁营口） 如右图, 是由如干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图, 就小立方体的个数有可能是.A 5 或 6B 5 或 7C 4 或 5 或 6D 5 或 6 或 7俯视图第 2 题图左视图考点：物体的三视图 .2. 在桌上摆着一个由如干个相同正方体组成的几何体,其主视图和左视图如下列图,设组成这个几何体的 小正方体的个数为n,就 n 的最小值为考点典例 五、利用三视图求几何体的体积【例 5】 下图是某几何体的三视图,依据图中数据,求得该几何体的体积为（）A 60B 70C 90D 160 【举一反三】某几何体的主视图、左视图和俯视图分别如下图所示,就该几何体的体积为（）A 3B.2C.D.12