2022年人教版九级数学《二次函数》知识点梳理与总结-副本精编版 .docx
最新资料举荐4一、二次函数的概念二次函数单元学问梳理与总结1、定义：一般地,假如yax 2bxca,b,c 是常数, a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 .2、留意点：（ 1）二次函数是关于自变量x 的二次式, 二次项系数 a 必需为非零实数, 即 a 0,而 b、c 为任意实数；2（2）当 b=c=0 时,二次函数 yax 2 是最简洁的二次函数；（ 3）二次函数yax 2bxca, b, c 是常数, a0) 自变量的取值为全体实数（ axbxc 为整式）3、三种函数解析式：（1） 一般式： y=ax 2+bx+c （ a 0）,bb4acb 2对称轴：直线 x=2a顶点坐标： ,2a4a（2） 顶点式： ya xh 2k （ a 0）,对称轴：直线x= h顶点坐标为（ h , k）（3）交点式： y=a（ x-x1）（ x-x 2）（a 0） ,x1x2对称轴 :直线 x=2其中 x 1、x 2 是二次函数与 x 轴的两个交点的横坐标.二、二次函数的图象1、二次函数yax2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .2、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：yax2 ； yax 2k ； y2a xh；ya xh 2k ； yax 2bxc .注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数 yax 2bxc 的图像的画法由于二次函数的图像是抛物线,是轴对称图形,所以作图经常用简化的描点法和五点法,其步骤是：(1) 先找出顶点坐标,画出对称轴；(2) 找出抛物线上关于对称轴的四个点如与坐标轴的交点等 ；(3) 把上述五个点按从左到右的次序用平滑曲线连结起来.三、二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax 2yax 2k当 a0 时开口向上x0（ y 轴）（ 0,0 ）x0（ y 轴）0,k ya xh 2ya xh 2k当 a0 时xh开口向下xh h ,0 h , k 2bb4acb2yaxbxcx,2a2 a4a注：常用性质：1、增减性：当 a>0 时,在对称轴左侧, y 随着 x 的增大而削减；在对称轴右侧,y 随着 x 的增大而增大； 当 a<0 时,在对称轴左侧, y 随着 x 的增大而增大；在对称轴右侧,y 随着 x 的增大而削减；2、最大或最小值：当 a>0 时,函数有最小值,并且当x=当 a<0 时,函数有最大值,并且当x=b, y 最小 2ab, y 最大 2a4acb2 4a4acb 24a四、.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标； a 的符号打算抛物线的开口方向对称轴平行于y 轴（或重合）的直线记作xh . 特殊地, y 轴记作直线 x0.顶点打算抛物线的位置.几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同 .五、抛物线 yax 2bxc 中 a、b、c 的作用1 、a 打算抛物线的开口方向和开口大小a 的符号打算抛物线的开口方向：当a>0 时,函数开口方向向上；当 a<0 时,函数开口方向向下；a 的大小打算抛物线的开口大小：当a 越大时,开口越小；当 a 越小时,开口越大；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同.2、a 和 b 共同打算抛物线的对称轴位置； （x=b ）2a左同右异：假如对称轴在Y 轴左侧,就 a、b 符号相同；假如对称轴在 Y 轴右侧,就 a、 b 符号相反；留意点： b0 时,对称轴为 y 轴； b0 （即 a 、 b 同号）时,对称轴在y 轴左侧；a b0 （即 a 、 b 异号）时,对称轴在y 轴右侧 .a3、c 的大小打算抛物线于y 轴的交点位置；当 x0 时, yc ,抛物线 yax2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：留意点： c0 ,抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就六、抛物线的平移方法：左加右减,上加下减b0 .a抛物线的平移实质是顶点的平移,由于顶点打算抛物线的位置,所以,抛物线平移时第一化为顶点式yax 2y向上（ k>0 ）向下（ k<0）平移 k个单位ax2kya xh2ya xh 2k向上（ k>0 ）向下（ k<0 ）平移 k个单位七、二次函数最大值和最小值的求法二次函数是否有最值,由a 的符号确定；1、当 a>0 时,抛物线有最低点,函数有最小值,当x=b, y 最小 2a4acb 24a2、当 a<时,抛物线有最高点,函数有最大值,当x=八、用待定系数法求二次函数的解析式b, y 最大 2a4 acb 24 a（ 1）一般式： yax 2bxc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式.（ 2）顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴或最值,通常挑选顶点式.（ 3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1、x2 ,通常选用交点式：ya xx1xx2 .九、抛物线 yax 2bxc （ a0 ）与 x 轴的交点个数与 x 轴交点,令 y0,就有ax 2bxc0 即解一元二次方程 当 >0 时,方程ax 2bxc0 有两个不相等的实数根,即抛物线yax2bxc 与 x 轴有两个不同的交点； 当 0 时,方程ax 2bxc0 有两个相等的实数根,即抛物线 yax 2bxc 与 x 轴有一个交点；当 < 0 时,方程ax 2bxc0 没有实数根,即抛物线 yax 2bxc与 x 轴没有交点；十、抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线 yax 2bxc与 x 轴两交点为A x ,0 , Bx ,0,由于x 、x 是方程ax 2bxc0 的两个1212根,故bcx1x2, x1x2aa十一、直线与抛物线的交点问题（1） y 轴与抛物线 yax2bxc 得交点为 0,c .（ 2）抛物线与 x 轴的交点二 次 函 数 yax2bxc的 图 像 与 x 轴 的 两 个 交 点 的 横 坐 标x1 、x2 , 是 对 应 一 元 二 次 方 程ax2bxc0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 .
