2022年九级数学上册反比例函数复习教案北师大版.pdf

反比例函数一. 教学内容：反比例函数教学目标： 1. 理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。 2. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。二. 重点、难点：重点： 1. 能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。2、反比例函数的图像特点及性质的探究3、通过观察图像，归纳总结反比例函数图像难点： 1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图像，并从图像中获取信息3、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质4. 反比例函数的应用。三、知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量x，y 之间的关系可以表示成y=xk（k 为常数， k 不等于 0）的形式，那么称y 是 x 的反比例函数 . 从 y=xk中可知， x 作为分母，所以不能为零3、画反比例函数图像时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线4、反比例函数的性质反比例函数0kxkyk 的取值范围0k0k图象性质x的取值范围是0 x，y的取值范围是0y函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小x的取值范围是0 x，y的取值范围是0y函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 注意： 1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；2）双曲线的两个分支都与x轴、y轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。5、反比例函数系数k的几何意义如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线 PM ，PN ，所得矩形的面积为PNPMSNMNMxkyyxkNMS，即过双曲线上任一点作x轴，y轴的垂线，所得矩形的面积为k注意：若已知矩形的面积为k，应根据双曲线的位置确定k 值的符号。在一个反比例函数图象上任取两点P，Q ，分别过P，Q作 x 轴、 y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有 S1S2。四、典例解析考点一、反比例函数的定义例 1、用电器的输出功率P与通过的电流I ，用电器的电阻R之间的关系是，下面说法正确的是（）A. P 为定值， I 与 R成反比例B. P 为定值，2I与 R成反比例C. P 为定值， I 与 R成正比例D. P 为定值，2I与 R成正比例本题的答案是：B 例 2、k为何值时，522kxky是反比例函数？解：15k02k2由2k2k得。x2k，y2k2k5k2是反比例函数时当常见的错误：1）不会把反比例函数的一般形式xky写成1kxy形式；2）忽略了02k这个条件。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 考点二：反比例函数的图象例 3、若321, 1,2,3yCyByA三点都在函数xy1的图象上，则321,yyy的大小关系是（）A. 321yyyB. 321yyy C. 231yyyD. 321yyy答案为 A 例 4、观察下面函数xy2和xy2的图像，请大家对比着探索它们的异同点相同点： a、图像都是由两条曲线组成b、它们都不与坐标轴相交c、它们都不过原点不同点：它们所在的象限不同，xy2的两条曲线在第一和第三象限，xy2的两条曲线在第二和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图像是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形？由此看来，反比例函数的图像是两条双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？可以，当 k 大于 0 时，图像的两条曲线在第一、三象限内，当k 小于 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限。考点三：反比例函数的性质例 5、已知反比例函数xky4，分别根据以下条件求出k的取值范围。（1）函数图象位于第一、三象限内；（2）在每一个象限内，y随x的增大而增大。解： （1）双曲线在第一、三象限内，04k4k（2）在每一个象限内y随x的增大而增大04k4k例 6、如图，反比例函数图像上任取两点P、Q，过点P 分别作x 轴， y 轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为1S，过点 Q分别作 x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S。（1）1S与2S有什么关系？为什么？（2）将反比例函数的图像绕原点旋转180 度后，能与原来的图像重合吗？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 解： （1）P、 Q两点在同一条曲线上：设 P （11,yx） ，过 P点分别作 x 轴、 y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为1S，则111yxS因为（11,yx）在反比例函数xky的图像上，所以11xky即kyx11所以kS1同理可知kS2所以1S=2SP 、Q分别在不同的曲线上：解法同 1 同理可知1S=2S因此只要是在同一个反比例函数图像上任取两点P、Q ，不管P、Q是在同一条曲线上，还是在不同的曲线上，过 P、Q分别作 x 轴， y 轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积1S、2S都有1S=2S（2）若将反比例函数的图像绕原点旋转180 度后，能与原来的图像重合. 因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。考点五：反比例函数的实际应用例 7、小明将一篇24000 字的社会调查报告录入电脑，打印成文. （1）如果小明以每分钟120 字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？（2）录入文字的速度v（字 /min ）与完成录入的时间t （min）有怎样的函数关系（3）小明希望能在3h 内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度录入时间解： （1）24000120=200（分钟）所以他需要用200 分钟才能完成录入工作。（2）函数关系式是：tv24000（3）3h=180min 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 3.133340018024000v由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入134 个字。例 8、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I （A）与电阻R（）之间的函数关系如图所示。（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？（2）完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？/R3 4 5 6 7 8 9 10 A/4 解： （1）设函数表达式为RUI，4,9A在图象上，36IRURI36蓄电池的电压是36 伏。（2）/R3 4 5 6 7 8 9 10 A/12 9 7. 2 6 7364. 5 4 3. 6 电流不超过10A，即I最大为10A，代入关系式中得R=3.6，为最小电阻，所用电器的可变电阻应控制在6 .3R这个范围内 . 例 9、反比例函数的图象上有一点P（ m ， n）其坐标是关于t 的一元二次方程032ktt的两根，且P到原点的距离为13，求该反比例函数的解析式. 分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出k，为此我们需要列出一个关于k 的方程 . 解： m， n 是关于 t 的方程032ktt的两根 m+n=3， mn=k，又 PO=13 1322nm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 1322mnnm 9 2k=13. k= 2 当 k= 2 时，=9+80， k= 2 符合条件，反比例函数的解析式为：x2y考点六：反比例函数与一次函数的应用例 10、如图，一次函数bkxy的图象与反比例函数xmy的图象相交于A、B 两点。（1）根据图象，写出B 点的坐标；（2）求出两函数的解析式；（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值。解：（ 1）由图象可得B（4，3）（2）把反比例函数上的点代入函数的关系式xmy得4m312m反比例函数的关系式为xy12由图可知一次函数与坐标轴的交点为（0，1）和（2， 0）把这两点代入一次函数关系式kxy+b 得：bkb201解得：211kb一次函数的关系式为：121xy（3）由图象可知，当4x0 x6或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。例 11、如图，平行于直线xy的直线l不经过第四象限，且与函数03xxy的图象交于点A，过点A 作 AB y轴于点B，AC x轴于点C，四边形ABOC的周长是8，求直线l的解析式。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 解：点A 在函数03xxy的图象上，设 A点的横坐标为a，由点 A的纵坐标为a3，即 A点的坐标为aa3,0aAB y轴于点 B，AC x轴于点 C，BOC=90 四边形ABOC是矩形，四边形ABOC的周长是8，832aa即0342aa解得3, 121aa当133, 331a，aa，a时当时A点坐标为（1， 3）或（ 3，1）（由题意可知xy）A点坐标为（1，3）设直线l的解析式为bxy把 A 点代入bxy得3=1+bb=2 直线l的解析式为2xy课后检测一、选择题1. 下列不是反比例函数图象的特点的是（）A. 图象是由两部分构成B. 图象与坐标轴无交点C. 图象要么总向右上方，要么总向右下方D. 图象与坐标轴相交而成的一对对顶角内2. 若点（ 3，6）在反比例函数xky（k0）的图象上，那么下列各点在此图象上的是（）A. （3，6）B. （2，9）C. （2，9）D. （3，6）*3. 当0 x时，下列图象中表示函数xy1的图象的是（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 4. 如果 x 与 y 满足01xy，则 y 是 x 的（）A. 正比例函数B. 反比例函数 C. 一次函数D. 二次函数5. 已知反比例函数的图象过（2， 2）和（ 1，n） ，则 n 等于（）A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 6. 已知某县的粮食产量为a（a 为常数）吨，设该县平均每人粮食产量为y 吨，人口数为x，则 y 与 x 之间的函数关系的图象可能是下图中的（）A. B. C. D. 7. 若 ab0，则函数axy与xby在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的（）A. B. C. D. 8、下列函数中，y是x反比例函数的是（）A. yx2B. yx12C. yx11D. yx129、函数 y1=kx 和xky2的图象如图所示，自变量x 的取值范围相同的是（）10、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 11、反比例函数xky2（k0）的图象的两个分支分别位于（）象限。A. 一、二B. 一、三C. 二、四D. 一、四12、当三角形的面积一定时，三角形的底和底边上的高成（）关系。A. 正比例函数 B. 反比例函数C. 一次函数D. 二次函数13、函数ykxb与ykxkb()0的图象可能是（）A B C D 14、如图，是三个反比例函数xkyxkyxky321,在 x 轴上的图像，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为（）A. k1k2k3B. k1k3k2 C. k2k3k1D. k3k2k115、已知双曲线上有一点P（m ，n），且 m 、n 是关于 t 的一元二次方程t23t+k=0 的两根， P 点到原点的距离为，则双曲线的表达式为（）A. B. C. D. 16、如图，正比例函数y=x 与反比例函数xy1的图象相交于A、C 两点， AB x 轴于 B，CD x 轴于 D，则四边形 ABCD 的面积为（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - A. 1 B. C. 2 D. 17、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B 在 x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么 AOB的面积为A. 2 B. C. D. 二、填空题1. 反比例函数xky（k0）的图象是_，当k 0 时，图象的两个分支分别在第_、_象限内，在每一个象限内，y 随x 的增大而 _；当k 0 时，图象的两个分支分别在第_、_象限内，在每一个象限内，y 随 x 的增大而 _；*2. 已知函数xy41，当 x0 时， y_0，此时，其图象的相应部分在第_象限；*3. 当_k时，双曲线y=xk过点（3，23） ；4. 已知xky（k0）的图象的一部分如图，则0_k；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 5. 如图，若反比例函数xky的图象过点A，则该函数的解析式为_；*6. 若 A（x1，y1） ， B（x2，y2） ，C（x3，y3）都是反比例函数xy1的图象上的点，且x10 x2x3，则 y1，y2，y3由小到大的顺序是；*14. 已知 y 与 x 成正比例， z 与 y 成反比例，则z 与 x 成_关系，当1x时，2y；当2y时，2z，则当2x时，_z；*7、已知 y 与（ 2x+1）成反比例且当x=0 时，y=2，那么当 x=1 时， y=_。8、如果反比例函数的图象经过点（3，1），那么 k=_。9、函数与 y=2x 的图象的交点坐标是_。10、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而 _。11、已知，那么 y 与 x 成_比例， k=_，其图象在第_象限。*12 、反比例函数2m2x) 1m2(y，当 x0 时， y 随 x 的增大而增大，则m的值是。三、解答题1. 已知反比例函数xky4，分别根据下列条件求k 的取值范围，并画出草图. （1）函数图象位于第一、三象限. （2）函数图象的一个分支向右上方延伸. 2. 已知 y 与 x 的部分取值满足下表：x 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 y 1 1.2 1.5 2 3 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）试猜想 y 与 x 的函数关系可能是你们学过的哪类函数，并写出这个函数的解析式. （不要求写x 的取值范围）（2）简要叙述该函数的性质. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 3、直线ykxb过 x 轴上的点 A（32， 0） ，且与双曲线ykx相交于 B、 C两点，已知B点坐标为（12，4） ，求直线和双曲线的解析式。4、已知一次函数yx2与反比例函数ykx的图象的一个交点为P（a，b） ，且P 到原点的距离是10，求a、b 的值及反比例函数的解析式。5、已知函数ymm xmm()21222是一次函数，它的图象与反比例函数ykx的图象交于一点，交点的横坐标是13，求反比例函数的解析式。6、已知反比例函数xky的图象经过点A （4，21），若一次函数y=x+1 的图象沿x 轴平移后经过该反比例函数图象上的点B（2，m ），求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 试题答案一 1、B 2 、C 3 、B 4、B 5 、B 6 、A7、D 8、C 9、C10、C 11.C 12. B13. C14. B15. B 16. A 17. B 二、 11、 2；12、3；13、；14、减小； 15、反， 6，二、四； 16、 1 二、 8. 双曲线一三减小二四增大 9. 二，点拔：函数的系数是4110. 6 ，把过曲线的点代入，可以求出K的值 11. 12 y=x2113. y2y3y1， 14. 反比例 1 三、 17、由题意知点A（32，0） ，点 B（12，4）在直线ykxb上，由此得032412kbkbkb23直线的解析式为3x2y点 B（12，4）在双曲线ykx上412k，k2双曲线的解析式为yx218、由题设，得babkaab210022abk116848，abk228648a6，b8或a8，b6yx4819、由已知条件得mmmm0221,或m1则yx32得：）代入，把（），交点坐标为（得：代入把xkyyxyx13113112331精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - k13反比例函数的解析式为：yx13 20、（ 1，0）三、 15. （1）k4 图略（ 2）k4 图略16. （1）反比例函数，y=x6. （2）该函数性质如下：图象与 x 轴、y 轴无交点；图象是双曲线，两分支分别位于第二、四象限；图象在每一个分支都朝右上方延伸，当x0 时，y 随 x 的增大而增大，当x 0 时， y 随 x 的增大而增大 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -