2022年《圆》章节知识点总结.docx

名师举荐细心整理学习必备圆章节学问点一、圆的概念1. 平面内到定点的距离等于定长的全部点组成的图形叫做圆；其中,定点称为圆心,定长称为半径,以点为圆心的圆记作“”, 读作“圆”；2. 确定圆的基本条件： （ 1 ）、圆心：定位置,具有唯独性,（2 ）、半径：定大小；3. 半径相等的两个圆叫做等圆,两个等圆能够完全重合；4. 连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做 直径, 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ,简称 弧,弧用符号“”表示,圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧 ,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧称为优弧 ,小于半圆的弧称为 劣弧 ； 在同圆或等圆 中, 能过重合的两条弧叫做等弧 ；懂得 ：弧在圆上,弦在圆及圆上：弧为曲线形,弦为直线形；5. 不在同始终线上的三个点确定一个圆且唯独一个；6. 三角形的三个顶点确定一个圆,经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的 外心 ,这个三角形叫做这个圆的内接三角形； 与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角 平分线的交点, 叫做三角形的 内心 ；三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆,圆心是三个角的角平分线的交点,他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角；（补充 ）圆的集合概念1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d 与半径 r 的大小关系打算的；1、点在圆内dr点 C 在圆内；Ad2、点在圆上dr点 B 在圆上；rO Bd3、点在圆外dr点 A在圆外；C解题留意点和圆的位置不确定性；圆的对称性圆是轴对称图形, 他有很多条对称轴,每一条过圆心的直线都是他的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原先的图形重合,这种性质叫做圆的旋转不变性；圆既是轴对称图形,又是中心对称图形；三、直线与圆的位置关系：相交,相切,相离假如圆 O 的半径为 r ,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么： 1 、直线与圆相离dr无交点 ；2 、直线与圆相切dr有一个交点；3 、直线与圆相交dr有两个交点；设两圆半径分别为外离（图 1 ）R 和 r,圆心距为无交点d,那么：dRr；外切（图 2 ）有一个交点dRr；相交（图 3 ）有两个交点RrdRr ；内切（图 4 ）有一个交点dRr；内含（图 5 ）无交点dRr；rdd=rrd四、圆与圆的位置关系dddRrRrRr图1图 2图 3ddRrrR图4图 5五、垂径定理（特别重要）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1 ：（1 ）平分弦（ 不是直径 ）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（ 2 ）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（ 3 ）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论,即： AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论；A推论 2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在 O 中, AB CD弧AC弧 BDCDOOEABCD B解题技巧：在圆中,解有关弦的问题时,经常需要做“垂直于弦的直径 ”作为帮助线；六、圆心角定理顶点在圆心的角叫做 圆心角 ；圆心角的度数与他所对的弧的度数相等；圆心角定理：在 同圆或等圆 中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的EF弧相等,弦心距相等；此定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中,OD只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的3 个结论,ACB即：AOBDOE ； ABDE ； OCOF ； 弧 BA弧 BD七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 ；1 、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的C度数）的一半；BO即： AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角A AOB2ACB2 、圆周角定理的推论：推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, 相等的圆DC周角所对的弧是等弧；即：在 O 中,C 、D 都是所对的圆周角BOA CD推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是C半圆,所对的弦是直径；BA即：在 O 中, AB 是直径或 C90O C90AB 是直径推论 3 ：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是C直角三角形；BA即：在 ABC 中,OCOAOBOABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；注：忽视一条弦所对的弧有两条,所对的圆周角边有两种不同的角；八、圆内接四边形一般的,假如一个多边形的全部顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形, 这个圆叫做多边形的外接圆；圆的内接四边形 定理 ：圆的内接四边形的对角互补；推论 ：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角；D CBAE即：在 O 中,四边形 ABCD 是内接四边形 CBAD180BD180DAEC九、切线的性质与判定定理直线和圆有唯独公共点（即直线和圆相切）时,这条直线叫做圆的切线,这个唯独的公共点叫做切点；（ 1 ）切线的判定定理： 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行O即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端MN 是 O 的切线（ 2 ）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1 ：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2 ：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：MAN即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题经常用的帮助线,通常表达为： “见切点连半径得垂直 ”；解决与圆的切线有关的问题时,常需要补充的线是作过切点的半径 ；九、切线长定理在经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 ；切线长 定理 ：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线 长BOPA相等,圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角；即： PA 、 PB 是的两条切线PAPBPO 平分BPA十一、圆幂定理（ 1 ） 相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等；即：在 O 中,弦 AB 、 CD 相交于点 P ,PA PBPCPD（ 2 ）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；即：在 O 中,直径 ABCD ,DBOPCACBOEA DCE 2AE BE（ 3 ） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；A即：在 O 中, PA 是切线, PB 是割线DE PO PA2PCPBCB（ 4 ）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）；即：在 O 中, PB 、 PE 是割线PCPBPDPE十二、两圆公共弦定理两圆相切时, 连心线必过切点, 这一性质是由圆的对称性打算,两个圆组成的图形是轴对称图形,对称轴是经过两圆圆心的直线；圆公共弦 定理 ：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；A如图：O1O2 垂直平分 AB ；O1O2即：O1 、 O2 相交于 A、 B 两点BO1O2 垂直平分 AB注：两圆相交时,依照两圆圆心和公共弦的位置,可分为两种情形： 两圆圆心在公共弦同侧, 两圆圆心在公共弦异侧；AB十三、圆的公切线CO1两圆公切线长的运算公式：O2（ 1 ）公切线长：RtO O C 中, AB2CO 2O O 2CO 2 ；121122（ 2 ）外公切线长：CO2 是半径之差；内公切线长：CO2 是半径之和；十四、圆内正多边形的运算各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形 ；把一个圆分成相等的弧, 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做正多边形的外接圆； 经过各分点做圆的切线, 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形,这个圆叫做多边形的内切圆；正多边形的外接圆 （或内切圆） 的圆心叫做正多边形的 中心 ；正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 半径 ；正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角 ,正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距 ；正 n 边形的半径 R 与边心距 r 把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形；关系式：中心角n = 18003600n；边长180 0an =2 Rsin; n1边心距rRcos; R2r 2a 2; 周长 Cna ;nnnnn2面积 Sn =11nanrnn=Crn.22（ 1 ） 正三角形在 O 中 ABC 是正三角形,有关运算在RtBOD 中进行：COD :BD: OB1:3 : 2；OBDA（ 2 ） 正四边形同 理 , 四 边 形 的 有 关 计 算 在 R tO A E中 进 行 ,O E:A E:O A 1 : 1 : ：2BCOAED（ 3 ） 正六边形同 理 , 六 边 形 的 有 关 计 算 在 R tO A B中 进 行 ,AB : OB : OA1:3 : 2 .OBAA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式nR1 、扇形：（ 1 ）弧长公式：l；180OSl（ 2 ）扇形面积公式：nR21SlRB3602n ： 圆心角R：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2 、圆柱：（ 1 ）圆柱侧面绽开图2DA底面圆周长D1母线长B1S表S侧2S底 = 2rh2rBC1 C（ 2 ）圆柱的体积：Vr 2hO（ 2 ）圆锥侧面绽开图（ 1 ） SSS =RRrr 2表侧底C12ArB（ 2 ）圆锥的体积：Vr h3补充：圆中四心：外心：各边垂直平分线的交点内心：各角角平分线的交点垂心：各边高线的交点重心：各边中线的交点