2022年《经济数学基础》春期末复习文本.docx

精品学习资源经济数学基础 12期末复习文本2021-06-11考核方式： 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合，成果由形成性考核作业成果和期末考试成果两部分组成，其中形成性考核作业成果占考核成绩的 30%，期末考试成果占考核成果的 70%课程考核成果满分 100 分， 60 分以上为合格，可以获得课程学分试卷类型： 试卷类型分为单项挑选题、填空题和解答题三种题型分数的百分比为：单挑选题 15%，填空题 15，解答题 70内容比例： 微积分占 58%，线性代数占 42%考核形式 ：期末考试采纳闭卷笔试形式，卷面满分为100 分 考试时间： 90 分钟复习建议：1. 复习依据：（1） 重点是本复习文本中的综合练习题（与期末复习小蓝本中的综合练习题基本一样，只是删去了部分非考试重点内容，把这部分内容把握了，考试就没有问题）（2） 作业 1-4（隐函数求导、微分方程考试不做重点，可略去，作业讲评栏目中有作业册供复习用）（3） 往届考试卷（在考试指南栏目中）留意：以上三方面的内容重复的较多，所以复习量并不大；2. 虽然试卷中给出了导数、积分公式，但要在复习时通过文本中的练习题有意识的记记，要把公式中的 x 念成 u，并留意幂函数有两个特例1x =2，x1xx21 ;1 dx x2xC,x21 dx1x（ C ）当公式记，考试时才能尽快找到公式并娴熟应用；导数的运算重点要把握导数的四就运算法就和复合函数求导法就；积分的运算重点是凑微分和分部积分法（要记住常见凑微分类型、分部积分公式）；3. 代数中的两道运算题要赐予足够的重视，关键是要娴熟把握矩阵的初等行变换（求逆矩阵，解矩阵方程，方程组的一般解，必需要动手做题才能把握！）欢迎下载精品学习资源微分学部分考核要求与综合练习题第 1 章函数1. 懂得函数概念；（1） ）把握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范畴；同学要把握常见函数的自变量的变化范畴，如分式的分母不为0，对数的真数大于 0，偶次根式下表达式大于 0，等等；（2） ）懂得函数的对应关系 f 的含义： f 表示当自变量取值为 x 时，因变量 y 的取值为 f x；（3） ）会判定两函数是否相同；（4） ）明白分段函数概念，把握求分段函数定义域和函数值的方法；2. 把握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点；判定函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判定，即欢迎下载精品学习资源(1) 如 f x数；f x ，就f x 为偶函数； 2如 f xf x ，就f x 为奇函欢迎下载精品学习资源也可以依据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数 ±奇函数、奇函数 ×偶函数仍为奇函数；偶函数 ±偶函数、偶函数 ×偶函数、奇函数 ×奇函数仍为偶函数 ”的性质来判定；3. 明白复合函数概念，会对复合函数进行分解；4. 知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解读表达式、定义域、主要性质；基本初等函数的解读表达式、定义域、主要性质在微积分中常要用到，肯定要娴熟把握；5. 明白需求、供应、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；第 2 章极限、导数与微分1. 知道一些与极限有关的概念（1） ）知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；（2） ）明白无穷小量的概念，知道无穷小量的性质；欢迎下载精品学习资源（3） ）明白函数在某点连续的概念，明白 “初等函数在定义区间内连续 ”的结论；会判定函数在某点的连续性，会求函数的间断点；2. 知道一些与导数有关的概念（1） ）会求曲线的切线方程（2） ）知道可导与连续的关系 可导的函数肯定连续，连续的函数不肯定可导 3娴熟把握求导数或微分的方法；（ 1）利用导数（或微分）的基本公式（ 2）利用导数（或微分）的四就运算（3）利用复合函数微分法4会求函数的二阶导数；第 3 章导数的应用1把握函数单调性的判别方法，把握极值点的判别方法，会求函数的极值；通常的方法是利用一阶导数的符号判定单调性，也可以利用已知的基本初等函数的单调性判定；2. 明白一些基本概念；（1） ）明白函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，知道函数的极值点与驻点的区分与联系；（2） ）明白边际概念和需求价格弹性概念；3. 娴熟把握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等），会求几何问题中的最值问题；把握求边际函数的方法，会运算需求弹 性；欢迎下载精品学习资源一、单项挑选题微分学部分综合练习欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1. 函数 yxlg x的定义域是（）1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A x1 B x0 C x0 D x1且 x0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 以下各函数对中，（）中的两个函数相等x 21欢迎下载精品学习资源A. f xx 2 ，g xxB. f x， g xx1x + 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C. yln x2 ，g x2 ln xD. f xsin 2 xcos2x ， g x1欢迎下载精品学习资源3. 设f x1，就 f xf x（）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A 1B 1xx 2C xD x欢迎下载精品学习资源24. 以下函数中为奇函数的是（）欢迎下载精品学习资源A yx2x B yexe x C yln x x1 D y1x sin x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 已知f xx tan x1 ，当（）时，f x 为无穷小量 .欢迎下载精品学习资源A. x0B. x1 C. xD. x6. 当x时，以下变量为无穷小量的是（）欢迎下载精品学习资源x 2AB ln1x1C e x2D sin x欢迎下载精品学习资源x1xsin x , x0欢迎下载精品学习资源7. 函数f xxk, x0在 x = 0 处连续，就 k = 欢迎下载精品学习资源A-2B-1C1D2欢迎下载精品学习资源8. 曲线 y1在点（ 0, 1）处的切线斜率为（）x1欢迎下载精品学习资源A 1B 1C1D1欢迎下载精品学习资源222 x1 32 x13欢迎下载精品学习资源9. 曲线ysinx在点0, 0处的切线方程为（）欢迎下载精品学习资源A. y = xB. y = 2xC. y =1 xD. y = -x2欢迎下载精品学习资源10. 设 ylg2x ，就 d y（）欢迎下载精品学习资源A 12 xdxB1dx x ln10C ln10 dxxD 1 dxx欢迎下载精品学习资源11. 以下函数在指定区间 ,上单调增加的是（）AsinxBe xCx 2D 3 - x欢迎下载精品学习资源12. 设需求量 q 对价格 p 的函数为q p32p ，就需求弹性为 Ep=（）欢迎下载精品学习资源pA32ppB32p32pCp32pDp欢迎下载精品学习资源二、填空题1. 函数 f xx2 ,x 21,05x0的定义域是x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 函数f xln x51的定义域是2x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 如函数f x1x22x5 ，就f x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 设f xx10102x，就函数的图形关于对称欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. lim xxsin x.x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 已知f x1sinxx ，当时，f x 为无穷小量欢迎下载精品学习资源7. 曲线 yx 在点 1, 1 处的切线斜率是留意：肯定要会求曲线的切线斜率和切线方程，记住点斜式直线方程2yy0f x0 xx0欢迎下载精品学习资源8. 函数 y3 x1 的驻点是 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9. 需求量 q 对价格 p 的函数为q p100pe 2 ，就需求弹性为 Ep欢迎下载精品学习资源三、运算题（ 通过以下各题的运算要娴熟把握导数基本公式及复合函数求导法就！ 这是考试的 10 分类型题 ）欢迎下载精品学习资源1已知 y2 xcos x ，求xy x 2已知f x2x sin xln x ，求 f x 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3已知 ycos2xsin x 2 ，求y x 4已知 yln 3 xe 5 x ，求y x 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5已知 y52 cos x ，求y 2；6设 yecos2 xxx ，求 dy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7设 yesin xcos5x，求 dy 8设 ytanx32 x ，求 dy 欢迎下载精品学习资源四、应用题（ 以下的应用题必需娴熟把握！这是考试的20 分类型题 ）欢迎下载精品学习资源1. 设生产某种产品 x 个单位时的成本函数为：Cx1000.25x26x （万元） ,欢迎下载精品学习资源求：（ 1）当 x10 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量 x 为多少时，平均成本最小？欢迎下载精品学习资源2. 某厂生产一批产品，其固定成本为2000 元，每生产一吨产品的成本为 60 元，对这种产品的市场需求规律为 q100010 p （ q 为需求量， p 为价格）试求：（1）成本函数，收入函数；（ 2）产量为多少吨时利润最大？ 3某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为 Cq = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（ 2）最大利润是多少？欢迎下载精品学习资源4. 某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为C q0.5q 236q9800 （元） .为使平均欢迎下载精品学习资源成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？欢迎下载精品学习资源25. 已知某厂生产 q 件产品的成本为 C q25020qq（万元）问：要使平均成欢迎下载精品学习资源本最少，应生产多少件产品？一、单项挑选题10参考解答欢迎下载精品学习资源1D2D3C4C5A6 D7 C8 A9A10 B11 B12B二、填空题欢迎下载精品学习资源1 -5， 22 -5, 2 3 x 26 4 y 轴 516 x0 7y 10.5 8 x19 p2欢迎下载精品学习资源三、运算题欢迎下载精品学习资源1. 解：y x2 xcos x2x ln 2x sin xcos x2x ln 2x sin xcos x欢迎下载精品学习资源xx2x2欢迎下载精品学习资源2. 解f x2 x ln 2sin x2 x cos x1 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 解y xsin 2 x 2 x cosx 2 x 2 2 x sin 2 x ln 22 x cos x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 解： y x3ln2e5xxln x5x3ln 2 x5 x5e欢迎下载精品学习资源5. 解： 由于 y52 cos x 52cos x ln 5 2cosxx2 sin x52cosx ln 5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 y 22 sin 2 cos 522ln 52 ln 5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 解： 由于 y2ecos2 x sin 2 x13 x 22所以 dy 2ecos 2 x sin 2 x13 x 2 dx2欢迎下载精品学习资源7. 解： 由于 yesin x sin x5 cos4xcos xesin xcos x5 cos4x sin x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 dyesin x cosx5cos41xsin xdx3 x2欢迎下载精品学习资源8. 解： 由于 y3 x2cos2x x3 x32 x ln 2xcos 2 x 32 x ln 2欢迎下载精品学习资源所以 dy23cosx2ln 2dx欢迎下载精品学习资源四、应用题1. 解 （1）由于总成本、平均成本和边际成本分别为：欢迎下载精品学习资源Cx1000.25x 26x C x100x0.25x6 ， C x0.5 x6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，C101000.25102610185欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C 10100100.2510618.5 ， C100.510611欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2）令 C x100x 20.250 ，得 x20 （ x20 舍去）欢迎下载精品学习资源由于 x20 是其在定义域内唯独驻点，且该问题的确存在最小值，所以当x20 时，平均成本最小 .2解 （1）成本函数 Cq = 60 q +2000欢迎下载精品学习资源由于 q100010 p ，即 p1001 q ， 10欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以收入函数 R q = pq = 100110q q =100 q1 q 2 10欢迎下载精品学习资源1212欢迎下载精品学习资源（ 2）利润函数 L q = Rq - C q =100qq - 60 q +2000 = 40 q -1010q -2000欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1且 L q =40 q -10q 2 -2000 =40-0.2 q欢迎下载精品学习资源令 L q = 0，即 40- 0.2 q = 0，得q = 200，它是 L q 在其定义域内的唯独驻点所以， q = 200 是利润函数 L q 的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大欢迎下载精品学习资源3. 解（1）由已知 Rqpq140.01q14q0.01q 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源利润函数 LRC14q0.01q 2204q0.01q 210q200.02q 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 L100.04q ，令 L100 .04q0 ，解出唯独驻点 q250 .欢迎下载精品学习资源由于利润函数存在着最大值，所以当产量为250 件时可使利润达到最大，（2）最大利润为欢迎下载精品学习资源L25010250200.02250225002012501230（元）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 解 由于 CqCq0.5 q369800 q0欢迎下载精品学习资源qq欢迎下载精品学习资源C q0.5 q369800 0.598002欢迎下载精品学习资源qq212令 C q0 ，即 0 .59800 =0，得 q =140， q= -140（舍去） .欢迎下载精品学习资源qq1=140 是Cq 在其定义域内的唯独驻点，且该问题的确存在最小值.所以 q1 =140 是平均成本函数 C q 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为欢迎下载精品学习资源140 件. 此时的平均成本为C 1400.5140369800140176 （元/件）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5解 由于 Cq = C q = 25020q ， C q = 25020q =2501欢迎下载精品学习资源qq10q10q10欢迎下载精品学习资源22令 C q =0，即 25010 ，得 q150， q2 =-50（舍去），欢迎下载精品学习资源q10q1=50 是 Cq 在其定义域内的唯独驻点所以， q1 =50 是 C q 的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50 件产品积分学部分考核要求与综合练习题第 1 章 不定积分1. 懂得原函数与不定积分概念；欢迎下载精品学习资源（1） ）如函数原函数；F x 的导数等于f x ，即 F xf x ，就称函数F x 是f x 的欢迎下载精品学习资源（2） ）原函数的全体F xc （其中 c是任意常数）称为f x 的不定积分，记为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xdx= F xc ；欢迎下载精品学习资源（3） ）知道不定积分与导数（微分）之间的关系不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身； 先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即欢迎下载精品学习资源f xdx= f x , df xdx =f x dx ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xdxf xc ， dfxf xc欢迎下载精品学习资源2. 娴熟把握不定积分的运算方法；（ 1）第一换元积分法（凑微分法）（ 2）分部积分法第 2 章 定积分1明白定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果要区分不定积分与定积分之间的关系；定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式；a如 f x 是奇函数，就有f xdx0a2娴熟把握定积分的运算方法；3会求简洁的无穷限积分；第 3 章 积分应用娴熟把握用不定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；积分学部分综合练习一、单项题1. 以下等式不成立的是（） 正确答案： A欢迎下载精品学习资源A exdxdex Bsinxdxdcosx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C1dxdx2xD lnxdxd 1 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 如f xdxxe 2c ，就 f x=（）. 正确答案： D欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xA. e 2B. 1 e2x2 C.x1 e 2 D.4x1 e 24欢迎下载精品学习资源留意：主要考察原函数和二阶导数3. 以下不定积分中，常用分部积分法运算的是（）正确答案： C欢迎下载精品学习资源A cos2x1dx B x1x2 dx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C x sin 2xdx Dxdx1x 2欢迎下载精品学习资源4. 如1f xex dx1e xc ，就 f x =（） 正确答案： C欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A 1 B -x1 C 1xx2D- 1x 2欢迎下载精品学习资源5. 如 F x 是 f x 的一个原函数，就以下等式成立的是 正确答案： B欢迎下载精品学习资源xAf xdxaF x Bxf xdxaF xF a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bCF xdxaf bf a Dbf xdxaF bFa欢迎下载精品学习资源6. 以下定积分中积分值为 0 的是（） 正确答案： A欢迎下载精品学习资源1 exA1edx Bx21 ex 1edxx2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C x3cos xdx D x 2sin xdx欢迎下载精品学习资源7. 以下定积分运算正确选项（） 正确答案： D欢迎下载精品学习资源1A2xdx162 Bdx15欢迎下载精品学习资源11欢迎下载精品学习资源2Csin2x dx0 Dsin xdx0欢迎下载精品学习资源8. 以下无穷积分中收敛的是（）正确答案： C欢迎下载精品学习资源Aln xdx B10e dx Cx11 dx D2x1dx13 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9. 无穷限积分11x 3 dx=（） 正确答案： C欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A0B二、填空题1C21D.2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1. d2e x dx 应当填写：e x2 dx欢迎下载精品学习资源留意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，肯定要留意是先积分后求导（微分）仍是先求导（微分）后积分；欢迎下载精品学习资源2. 函数f xsin 2 x 的原函数是 应当填写： -1 cos2x + c2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 如 fx 存在且连续，就 df x 应当填写：f x欢迎下载精品学习资源留意：此题是先微分再积分最终在求导；欢迎下载精品学习资源x4. 如f xdx x1 2c ，就f x.应当填写：2x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 如f xdxF xc ，就e x f ex dx =.应当填写：F ec欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源留意：f d FC, 凑微分e x dxde x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. d dxe ln x 2 11) dx.应当填写： 0欢迎下载精品学习资源留意：定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0欢迎下载精品学习资源17 积分21 xx1) 2 dx 应当填写： 0欢迎下载精品学习资源留意：奇函数在对称区间的定积分为0欢迎下载精品学习资源8 无穷积分01dx是 应当填写：收敛的 x1 2欢迎下载精品学习资源三、运算题（ 以下的运算题要娴熟把握！这是考试的10 分类型题）欢迎下载精品学习资源x 241x2dx 解：x24x2dx =x2dx = 1 x222 xc欢迎下载精品学习资源2. 运算sin 1x dx 解：sin 1x dx1 1cos 1c欢迎下载精品学习资源x22 x dxx 22 x dxsindxxx2欢迎下载精品学习资源3. 运算解：2xx2 x dx2 xcln 2欢迎下载精品学习资源4. 运算x sinxdx 解：x sin xdxx cosxcosxdxx cosxsin xc欢迎下载精品学习资源5. 运算 x1ln xdx欢迎下载精品学习资源2解： x1ln xdx = 1 x21 2 ln x1 x21 2dxx= 1 x222xlnxxxc 4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 运算12 e xdx 解：12 e xdx =121e xd1 21e xee 2欢迎下载精品学习资源1 x2e2171 x 2e2dx 解：1x1e2dx =11d1lnx = 2 1e2ln x= 2 3 1欢迎下载精品学习资源1x 1ln x1x1ln x11ln x1欢迎下载精品学习资源8 2 x cos 2 xdx 解： 2 x cos2xdx= 1 x sin 2x 2 -12 sin 2xdx= 1 cos2x 2 =1欢迎下载精品学习资源00202 0402欢迎下载精品学习资源e 19ln x01dx解：e 1ln x01dxx ln x1 0e 1xdx1e10x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源= e1e 1110xdx= e 11 xln x1 e欢迎下载精品学习资源0ln e =1留意：娴熟解答以上各题要留意以下两点（1） 常见凑微分类型肯定要记住欢迎下载精品学习资源1dxd kxC , xdx1 dx 2 , ex dxdex , 111dxd,dx2dx ,欢迎下载精品学习资源k1dxd lnxx,sin2xdxd cos x,cosx2xxxdxd sin x欢迎下载精品学习资源bbbb（2） 分部积分：uv dxudvuvvdu ，常考的有三种类型要清晰；aaaa四、应用题（ 以下的应用题必需娴熟把握！这是考试的 20 分类型题 ）欢迎下载精品学习资源1投产某产品的固定成本为 36万元，且边际成本为C x=2x + 40万元/百台.欢迎下载精品学习资源试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 .解： 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为欢迎下载精品学习资源6C2x440dx = x2640x= 100（万元）4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又 C xxC xdx0xc0x2=40 x x36 = x4036x欢迎下载精品学习资源令 Cx136x 20 ， 解得 x6 . x = 6 是惟一的驻点，而该问题的确存在使平欢迎下载精品学习资源均成本达到最小的值；所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小 .2 已知某产品的边际成本 C x=2（元/件），固定成本为 0，边际收益 R x=12- 0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？欢迎下载精品学习资源解： 由于边际利润L xR xC x =12- 0.02x2 = 10- 0.02x欢迎下载精品学习资源令 L x = 0，得 x = 500；x = 500 是惟一驻点，而该问题的确存在最大值 .所以，当产量为 500 件时，利润最大 .当产量由 500 件增加至 550 件时，利润转变量为欢迎下载精品学习资源55