2022年九级数学下册整册内容回顾与思考.pdf

回眸知识要点领悟思想方法解析热点题型同学们好！时光飞逝，转瞬间一个学期就要过去了，在这个学期我们都学习了哪些知识？领会了哪些方法？掌握了哪些题型？就让我们共同回顾一下，寻回那些逝去的记忆吧！一、知识要点回眸（一）直角三角形的边角关系1锐角三角函数的概念锐角三角函数：在ABC中， C90，三边长分别为a，b，c。（1） A的正弦 sinA ；（2） A的余弦 cosA；（3） A的正切 tanA ；2、30、 45、 60的各三角函数值三角函数304560SinCostan3、互余的两个锐角的三角函数关系在直角三角形ABC中，设角C为直角，则AB=90，得一组公式：cos（90 A）；sin （90 A） . 说明：直角三角形的两个锐角的三角函数可以转化一个大于45的锐角三角了函数可以转化为一个小于45的锐角三角函数值4三角函数的性质重点掌握当锐角在0到 90内逐渐增大时正弦值由 0 逐渐增大到1，即 sin ；余弦值由1 逐渐减少到0，即 cos；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 正切值由0 逐渐增向无穷大，即tan 同一个锐角的正、余弦大小的比较0 45时， sin cos；45 90时， sin cos；5锐角三角函数的关系：sin2a+cos2= .tana=_. 6解直角三角形解直角三角形有以下四种类型：（1）已知两边，先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角（2）已知一边和一锐角，先求另一锐角，再由边角关系求其余两边（3）实际问题中有关名词、术语的意义：仰角与俯角： 在进行测量时， 从下往上看， 视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 如图 1. 坡角与坡度：坡面与水平面的夹角叫做坡角，图2 中的 是坡角；坡面的垂直高度 h 和水平距离l 的比叫做坡度 . 即坡度alhitan. 7应用解直角三角形知识解决实际问题在实际问题中， 把所研究的问题转化到一些直角三角形中去解决，是一种重要的方法与途径， 特别是使用割补法，将图形分割或拼补成一些直角三角形，再注意寻找公共边与公共角进行过渡， 是应用解直角三角形知识解决实际问题的一种行之有效的方法常见的实际问题有：坡度问题；测量问题，航海问题等（二）二次函数1. 二次函数的定义精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 一般地，如果 _（a、b、c 是常数， a0），那么 y 叫 x 的二次函数 . 2. 二次函数的图象及性质图象：二次函数y=ax2+bx+c （a0 ）的图象是，它是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点. 性质： （ 1）开口方向由 a确定： a0时，开口；a0时，当 x=ab2时，y有最小值；a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴右侧，y随x的增大而；当a0时，抛物线与 x轴有个交点；当 0时，抛物线与x轴有个交点；当 =0时，抛物线与x 轴交点. （三）圆1. 圆的特征（1）圆是轴对称图形，它的任意一条所在的直线都是对称轴. （2）圆是中心对称图形，并且绕旋转任意大小的角度，都能与原图形重合. 2. 垂径定理垂直于弦的直径，并且平分这条弦所对的. 3. 圆心角的特征圆心角的度数和它所对的弧的. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 4. 圆周角的性质特征（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等；反之，在同圆或等圆中相等圆周角所对的弧也相等. （2）半圆或直径所对的圆周角是；90的圆周角所对的弦是. （3）一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧. 5. 点和圆的位置关系点与圆的位置关系的判定与性质: 若点在圆外 , 则有性质d r ；若点在圆上 , 则有性质 d r ；若点在圆内 , 则有质d r. 反之也成立 . 6. 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系判定与性质: 当直线 l 和 O相离时 , 有性质 d r ； 当直线 l 和 O相切时 , 则有性质d r ；当直线 l 和 O相交时 , 则有性质d r. 其中 l 表示直线 ,d 是 O与直线l 的距离 ,r是 O的半径 . 反之亦然 . 判定切线的方法有三种方法: 利用切线的定义: 与圆有唯一的直线是圆的切线. 与圆心的距离等于是圆的切线. 经过半径外端并且_是圆的切线 . 圆的切线垂直于过切点的；经过圆心垂直于切线的直线必过；经过切点垂直于切线的直线必过. 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长, 这一点和圆心的连线平分这两条切线的. 7. 圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系设两圆半径分别为R和 r, 圆心距为d, 那么 : 两圆外离Rdd_R+r 两圆外切Rdd_R+r; 两圆相交 R-r_Rdd_R+r; （Rr ）两圆内切Rdd_R-r;(R r) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 两圆内含)(rRrRd, 同心圆0d相交两圆的连心线两圆的公共弦. 相切两圆的连心线经过.8、正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的. 9、在弧长公式l= .10、扇形的面积公式：或11、若圆锥 的底面半径为r，母线长为a，则它的侧面积：；圆锥全面积： . （四）统计与概率1、常见的统计图分、等：条形统计图： 能清楚地表示出每个项目的具体；折线统计图： 能清楚地反映事物的；扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的。2、如果有 n 个数 x1、x2， xn，那么x=叫做这n 个数据的平均数。如果在 n 个数中，有些数出现不止一次，如x1出现 f1次， x2出现 f2次， xk出现 fk次( 这里 f1+f2+fk=n) ，那么这n 个数的平均数可以表示为。我们把这个平均数叫做加权平均数，其中f1，f2， fk叫做权。3、中位数是把一组数据从小到大排列，如果数据的个数为，那么位于的数称为这组数据的。如果数据的个数为，那么位于中间的两个数的称为这组数据的。4、在一组数据中，把出现次数的数据叫这组数据的。5、总体中所有个体的平均数叫做，样本中所有个体的平均数叫做。6、方差：设在一组数据x1，x2， xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别叫做这组数据的，记作S2=。7、标准差：通常我们取方差的来表示一组数据的标准差。8游戏对双方公平是指ABOMRnrna精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 9不确定事件（）事件-（）确定事件-（）10P （必然事件） = ，P（不可能事件）= 若 A表示不确定事件，则P （A）的取值范围是11一般地，若一次试验中所有可能结果出现的可能性一样，那么事件E发生的概率P（E）= （0P（E） 1）二、思想方法领悟数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学学习的全过程下面就和同学们谈谈八年级上册中所体现出来的数学思想方法，请同学们认真体会（一）直角三角形三边关系的思想方法数学的思想和方法是数学的灵魂，是学习数学的通法， 具有“四两拨千斤”之效。因此，同学们在学习任何数学知识时，要注意学习和积累数学思想方法，把书学“薄”。1数形结合的思想数形结合的思想是最重要的数学思想和数学方法之一。本章在锐角三角函数概念的建立、推理论述、 计算化简、解决实际问题时，都应该通过画图来帮助分析解决问题，通过数形结合的思想加深对直角三角形本质的理解。2转化的思想将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想。同学们在遇到不熟悉的数学问题要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、 “分”等方法将之转化为熟悉问题来解决。运用本章知识解决有关数学问题，就是要通过添加辅助线将图形转化为直角三角形来解决，而且要转化成两个最为熟悉的（锐角为30和 45）直角三角形来解决。3方程的思想在现实生活中有许多问题存在等量关系，利用等量关系来解决数学问题是数学中的基本方法。方程的思想就是把未知的量用字母表示，和已知量一起参与建立等式。从而通过构造方程（组）的方法来解决问题。方程的思想体现了已知与未知的统一。4建模的思想将实际问题抽象成纯数学问题。这是数学建模的主要内容之一。同学们在学习中要注意数学应用题的建模锻炼，将实际问题数学化，以达到提高自己解决实际问题的能力，强化自己用数学的意识。（二） 、二次函数的思想方法本章主要研究的是二次函数的图象和性质，建立了不等式、 方程和函数的联系运用的数学思想、数学方法较多，如转化思想、方程思想、分类讨论思想、由特殊到一般的思想、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 以及数形结合思想、数学建模思想等在本章中都得到了充分体现；涉及的主要方法有：待定系数法、配方法等，特别是数形结合的思想方法，在画函数图象， 研究图象信息等方面得到充分运用，它是研究函数及其图象的重要的思想方法，是架设代数与几何联系的桥梁和纽带这几种数学思想方法的运用不是孤立的，而是紧密联系的，它渗透在问题的研究之中，只是侧重点不同而已由此可见，数学思想方法是数学的精髓和灵魂. （三）圆中的思想方法1、转化思想：遇到直径时,一般要引直径上的圆周角, 将直径这一条件转化为直角的条件. 遇到有切线时, 一般要引过切点的半径, 以便利用切线的性质定理; 或连结过切点的弦,以便利用弦切角定理. 遇到过圆外一点作圆的两条切线时, 常常引这点到圆心的连线, 以便利用切线长定理及其推论 . 遇两圆相交,要添加公共弦, 或者连心线 , 特别是公共弦, 它在相交两圆中起着桥梁作用. 遇两圆相切,一般要引两圆的公切线, 如果两圆外切, 常引内公切线; 如果两圆内切,就引外公切线 , 公切线的引出构造了弦切角, 利用弦切角便可把两圆的圆周角联系起来. 2、割补思想：求周长和面积要注意利用割补思想.3、 “化曲为直”思想方法：圆柱和圆锥的侧面展开图是研究“化曲为直”的一条重要的思想方法 . （四）统计与概率的思想方法1. 数形结合的思想方法数形结合是统计内容的一个很突出的特点. 获取了一个科学样本后，需要对样本数据进行整理分析，为了使样本的数据特征更直观，我们经常需要做图、读图，并精确地做出样本数据的频率分布直方图、折线图、扇形图等，还能理解各种图所包含的意义，通过图看出样本数据的分布状况、数据的变化趋势、变量间的关系，进而估计总体的状况2、转化与化归的思想方法统计中充分体现了转化与化归的思想方法，如部分与整体的转化，数与图的转化， 随机性问题与确定性问题的转化等. 统计的基本思想是用样本去估计总体，也就是用有代表性的一部分来估计整体的情况，这就反映出由部分向整体转化. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 3、概率中的思想方法这部分所涉及的数学思想主要有：分类讨论思想、等价转化思想、整体思想、 数形结合思想， 在概率和概率与统计中又体现了概率思想、统计思想、 数学建模的思想等。在复习中应有意识用数学思想方法指导解题，不可就题论题， 将问题孤立， 片面强调单一知识和题型。能力方面主要考查：运算能力、 逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决实际问题的能力。 在中考中本部分以考查实际问题为主，解决它不能机械地套用模式，而要认真分析，抽象出其中的数量关系，转化为数学问题，再利用有关的数学知识加以解决。三、热点考题解析纵观 2009 年全国各地的中考试题，涉及本章内容的常见题型有：填空题、选择题、作图题、计算题、 证明题 作为基础知识在综合题中也时有出现主要考查的内容有数式计算、立体图形的认识、简单几何体的展开图及视图、直线的位置关系，平行线的判定和性质，角的计算、 收集数据与表示等本文将近年来中考试题中涉及七年级上学期知识内容的热点命题采撷数例，供读者复习参考例 1（江苏中考题）已知sin =135( 为锐角 )，则 tan 的值是（）（A）512(B)125(C)1312(D)1213分析本题根据同角的平方关系求解。解sin2+cos2=1, cos=1312)135(1sin122, tan 125cossin. 故选 (B) 。点评本题考察三角函数间的关系。例 2（安徽中考题）计算22sin45 +sin60 -2cos45 。分析本题考查特殊角的三角函数值的计算。解原式=2222+2322=22231。点评30、 45、60角的三角函数值需熟记，要能够根据30、 45、 60角的三角函数值，说出相应的锐角的大小. 例 3（广西玉林中考题）阅读下列材料，并解决后面的问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 在锐角 ABC中， A、 B 、 C的对边分别是a、b、c过A作 AD BC于 D(如图) ，则 sinB=cAD，sinC=bAD，即 AD=csinB，AD=bsinC，于是 csinB=bsinC ，即CcBbsinsin同理有AaCcsinsin，BbAasinsin所以CcBbAasinsinsin (*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等(1) 在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、 A，运用上述结论(*) 和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、 B 、 C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a、b、 A B；第二步：由条件A、 B C；第三步：由条件c(2) 一货轮在 C处测得灯塔A在货轮的北偏西30的方向上，随后货轮以284 海里时的速度按北偏东45的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西 70的方向上 ( 如图 11) ，求此时货轮距灯塔A的距离 AB(结果精确到01参考数据：sin40 =0643，sin65 =0906，sin70 =0940，sin75 =0966) 分析： 本题是材料阅读题，在了解了定理的推导过程以及应用定理解题的过程后，要求会应用定理解三角形问题。主要考察阅读理解能力和应用知识解决问题的能力。解： (1)BbAasinsin, A+B+C=180， a、 A、 C或 b、 B、 C，AaCcsinsin或CcBbsinsin(2) 依题意，可求得ABC=65 ，A=40. BC=14 2AB 213答：货轮距灯塔A的距离约为213 海里点评： 本题考察的三角形中的正弦定理，通过构造治安角三角形，转化为解直角三角形问题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 例 4 （泰安市中考题） 在同一直角坐标系中，函数ymxm和222ymxx（m是常数，且0m）的图象可能是（）解析根据抛物线y=ax2bxc 的图象与 a,b,c的关系可以判断出结果对于选项 A，直线向由下降，k=m0，当抛物线开口向下；故正确的选A. 点评解答此类问题时应注意：a 的符号确定开口方向，c 的符号确定与y 轴哪个半轴相交， a 与 b 配合确定对称轴在y 轴的左侧还是右侧并结合直线上升、下降的变化趋势综合分析例 5、 （永州市中考题）如图所示是永州八景之一的愚溪桥，桥身横跨愚溪，面临潇水，桥下冬暖夏凉， 常有渔船停泊桥下避晒纳凉已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽 24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB为 x 轴， AB的中点为原点建立坐标系求此桥拱线所在抛物线的解析式桥边有一船浮在水面部分高4m ，最宽处 122m的河鱼餐船，试探索此船能否开到桥下 ?说明理由解析： 题目已将实际问题（建立了平面直角坐标系）抽象成了二次函数的数学模型的雏形. 欲求二次函数的解析式，观察图形及条件（主拱离水面的最大高度为8 米，主拱宽为24 米） ，可知抛物线顶点的坐标为（0，8）因而可设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+8，又抛物线过原点（12，0） ，所以有0= a122+8，故181a，所以抛物线的关系式为y=81812x；x y Ox y Ox y Ox y O精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 欲判断船能否开到桥下，因为河鱼餐船最宽处为122m ， 船如果沿主拱中间不能通行，则其它的方式则更无法开到桥下. 现在我们来探究沿桥拱中央行驶的情形. 当 x=62时，代入抛物线的关系式为y=81812x得 y=8)26(1812=4 米，所以从理论上讲，河鱼餐船刚好能驶入桥拱下纳凉. 点评解决具有实际问题情境的应用题，首先要将实际问题转化为数学问题，建立起相应的数学模型，然后在将实际问题中提供的数据转化为数学模型中的相关的数据. 比如：实际问题中“主拱离水面的最大高度为8 米， 跨度为 24 米”可转化为抛物线顶点的坐标为（ 0，8） ，抛物线与x 轴交点坐标为（ -12 ，0） ， （12，0）”等 .最后利用学过相关的数学知识求得问题的答案 . 求解抛物线的解析式时，借助待定系数法常常有3 种设法：顶点式y=a(x-m)2+n其中（m ，n）为抛物线顶点的坐标；交点式y=a(x-x1)(x-x2) 其中 x1、x2为抛物线与x 轴交点的横坐标；一般式y=ax2+bx+c 是已知抛物线上任意（无特殊的关系）3 点的坐标时采用.另外在解题过程中还要充分发挥待定系数法、配方法、 数形结合思想、 方程思想等数学思想的指导作用 . 典例 6（成都中考题）为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年全县中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前5 次测验成绩的折线统计图（1）分别求出甲、乙两名学生5 次测验成绩的平均数及方差（2）如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次数学竞赛请结合所学统计知识说明理由解析： （ 1）通过计算可得甲、乙的平均数分别是80 x甲分，80 x乙分，甲、乙的方差分别是270s甲，250s乙；（2）观察（ 1）中计算的结果，可知甲、乙两人5 次的测试成绩的平均数一样，平均数相同并不能说明甲、乙两人的成绩一样优秀，还应比较他们的方差和优秀率以及发展趋势，从方差看甲的方差大于乙的方差，说明乙这五次的成绩比较稳定，不能说明乙的成绩就一定比甲的成绩好； 从成绩的发展趋势来看甲有三次成绩直线上升，而乙的成绩有所下降，所以从发展趋势来看应选择甲参加数学竞赛点评方差是反映一组数据波动大小的特征数，当一组数据的方差较小时，说明这组数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 据较稳定典例 7 如图 2，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置 A、B的转盘分别被平均分成三部分，装置 A上的数字是3、6、8；装置 B上的数字是4、5、 7；这两个装置除了表面数字不同外，其他构造均相同，小东和小明分别同时转动A、B两个转盘（一人转一个），如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜（如：若 A、B 两个转盘的箭头分别停在6、4 上，则小东获胜，若箭头恰好停在分界线上，则重新转一次），请用树状图或列表加以分析说明这个游戏公平吗？解析： （方法一）画树状图：由上图可知， 所有等可能的结果共有9 种，小东获胜的概率为95， 小明获胜的概率为94，所以游戏不公平. （方法二）列表法如下: 转盘 A 转盘 B 3 6 8 4 小明胜小东胜小东胜5 小明胜小东胜小东胜7 小明胜小明胜小东胜由上表可知，所有等可能结果共有9 种，小东获胜的概率为95，小明获胜的概率为94，所以游戏不公平. 3 4 5 7 4 5 8 4 6 5 7 7 开始小明胜小明胜小明胜小东胜小东胜小明胜小东胜小东胜小东胜5 4 B 7 6 8 A 3 图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 点评 ：用树状图法或列表法列举出的结果一目了然, 当事件要经过多次步骤（三步以上 )完成时 , 用这两种方法求事件的概率很有效. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -