2022年九级数学复习专题动态几何问题.pdf

九年级数学复习专题动态几何问题中考数学专题动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图 ,在梯形中,梯形的高为.动点从点出发沿线段以每秒2 个单位长度的速度向终点运动 ;动点同时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运动 .设运动的时间为(秒). DNCMBA(1)当时,求的值 ; (2)试探究 : 为何值时 ,为等腰三角形 . 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学瞧到可能就会无从下手。但就是解决动点问题,首先就就是要找谁在动,谁没在动 ,通过分析动态条件与静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言,M,N 就是在动 ,意味着 BM,MC 以及 DN,NC 都就是变化的。 但就是我们发现,与这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都就是给定的,而且动态条件之间也就是有关系的。所以当题中设定MN/AB时,就变成了一个静止问题。由此,从这些条件出发,列出方程 ,自然得出结果。【解析】解:(1)由题意知 ,当、运动到秒时 ,如图 , 过作交于点 ,则四边形就是平行四边形. ,. . ( 根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将MN放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题) . ( 这个比例关系就就是将静态与动态联系起来的关键) .解得. 【思路分析2】第二问失分也就是最严重的, 很多同学瞧到等腰三角形, 理所当然以为就是MN=NC 即可, 于就是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形 , 一定不要忘记分类讨论的思想, 两腰一底一个都不能少。具体分类以后, 就成为了较为简单的解三角形问题, 于就是可以轻松求解【解析】(2)分三种情况讨论: 当时,如图 作交于,则有即.( 利用等腰三角形底边高也就是底边中线的性质) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题, , , 解得. 当时,如图,过作于 H. 则, . . 当时, 则. . 综上所述 ,当、或时,为等腰三角形. 【例 2】在 ABC中,ACB=45o. 点 D(与点 B、C不重合 )为射线 BC上一动点 ,连接 AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形ADEF. (1)如果 AB=AC.如图 ,且点 D 在线段 BC上运动 .试判断线段CF与 BD之间的位置关系,并证明您的结论 . (2)如果 ABAC, 如图 ,且点 D 在线段 BC上运动 .(1)中结论就是否成立,为什么？(3) 若 正 方 形ADEF 的 边DE 所 在 直 线 与 线 段CF 所 在 直 线 相 交 于 点P ,设AC,CD=,求线段 CP的长 .(用含的式子表示 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题【思路分析1】本题与上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给出那个“静止点”,所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中,什么条件就是不动的。由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系就是不动的,于就是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。【解析】 : (1)结论:CF与 BD 位置关系就是垂直; 证明如下 :AB=AC , ACB=45o, ABC=45o. 由正方形 ADEF得AD=AF , DAF=BAC =90o, DAB=FAC, DABFAC , ACF= ABD. BCF= ACB+ ACF= 90o. 即 CF BD. 【思路分析2】这一问就是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于就是我们与上题一样找AC的垂线 ,就可以变成第一问的条件,然后一样求解。(2)CFBD.(1)中结论成立 . 理由就是 :过点 A 作 AGAC交 BC于点 G,AC=AG 可证:GAD CAF ACF= AGD=45o BCF= ACB+ ACF= 90o. 即 CFBD 【思路分析3】这一问有点棘手,D 在 BC之间运动与它在BC延长线上运动时的位置就是不一样的 ,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底就是4+X还就是 4-X。 分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP 、(3)过点 A 作 AQBC交 CB的延长线于点Q, 点 D 在线段 BC上运动时 , BCA=45o, 可求出 AQ= CQ=4.DQ=4-x, 易证 AQD DCP , , . 点 D 在线段 BC延长线上运动时, BCA=45o, 可求出 AQ= CQ=4,DQ=4+x. 过 A 作交 CB延长线于点G,则.CFBD, AQD DCP , , . 【例3】 已知如图 ,在梯形中 ,点就是的中点,就是等边三角形. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题(1)求证 :梯形就是等腰梯形 ; (2) 动 点、分 别 在 线 段与上 运 动 , 且保 持 不 变 . 设求与的函数关系式 ; (3)在(2)中,当取最小值时 ,判断的形状 ,并说明理由 . 【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但就是对二次函数要求不算太高,重点还就是在考察几何方面。第一问纯静态问题,自不必说 ,只要证两边的三角形全等就可以了。第二问与例1 一样就是双动点问题,所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西就是不变的。题目给定MPQ=60,这个度数的意义在哪里？其实就就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来、因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系、怎么证相似三角形呢? 当然就是利用角度咯、于就是就有了思路、【解析】(1)证明 :就是等边三角形就是中点梯形就是等腰梯形 . (2)解:在等边中,(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) 【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数,很A D C B P M Q 60精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2, 求 PQC形状”的问题了。由已知的BC=4,自然瞧出P就是中点 ,于就是问题轻松求解。(3)解:为直角三角形当取最小值时 ,就是的中点 ,而以上三类题目都就是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例如某边相等 ,某角固定时 ,将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中哪些条件就是保持不变的。当动的不就是点,而就是一些具体的图形时,思路就是不就是一样呢?接下来我们瞧另外两道题、【例4】 已知正方形中,为对角线上一点 ,过点作交于,连接,为中点 ,连接. (1)直接写出线段与的数量关系 ; (2)将图 1 中绕点逆时针旋转,如图 2 所示 ,取中点,连接,. 您在(1)中得到的结论就是否发生变化？写出您的猜想并加以证明. (3)将图 1中绕点旋转任意角度,如图 3所示 ,再连接相应的线段,问(1)中的结论就是否仍然成立？ (不要求证明 ) 图3图2 图1FEABCDABCDEFGGFEDCBA【思路分析1】这一题就是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度 ,要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题线自然相等。第二问将BEF旋转 45之后 ,很多考生就想不到思路了。事实上,本题的核心条件就就是G就是中点 ,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG 之后 ,抛开其她条件,单瞧 G 点所在的四边形ADFE,我们会发现这就是一个梯形,于就是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法,自然想到过G点做 AD,EF的垂线。于就是两个全等的三角形出现了。(1)(2)(1)中结论没有发生变化,即. 证明:连接,过点作于,与的延长线交于点. 在与中, , . . 在与中, , . 在矩形中,在与中, , . . MN图2 ABCDEFG【思路分析2】第三问纯粹送分, 不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但就是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也就是出于此原因, 如果 BEF任意旋转 , 哪些量在变化 , 哪些量不变呢？如果题目要求证明, 应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下 , 笔者在这里提供一个思路供参考: 在 BEF的旋转过程中, 始终不变的依然就是 G点就是 FD的中点。可以延长一倍EG到 H,从而构造一个与EFG全等的三角形, 利用 BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH就是一个等腰直角三角形, 就需要证明三角形 EBC与三角形 CGH 全等 , 利用角度变换关系就可以得证了。(3)(1)中的结论仍然成立. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题G图3FEABCD【例 5】已知正方形ABCD的边长为6cm,点 E就是射线BC 上的一个动点 ,连接 AE交射线 DC于点 F, 将ABE沿直线 AE翻折 ,点 B 落在点 B处.(1)当=1 时,CF=_cm, (2)当=2 时,求 sinDAB的值 ; (3)当= x 时(点 C与点 E不重合 ),请写出 ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积 y 与 x 的关系式 ,(只要写出结论 ,不要解题过程 ). 【思路分析】 动态问题未必只有点的平移,图形的旋转 ,翻折 (就就是轴对称)也就是一大热点。这一题就是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意,所以也就是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化 ,哪些条件没有发生变化。一般说来,翻折中 ,角,边都就是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的就是,本题中给定的比例都就是有两重情况的,E 在 BC 上与 E 在延长线上都就是可能的,所以需要大家分类讨论,不要遗漏。【解析】(1)CF= 6 cm; (延长之后一眼瞧出,EAZY) (2) 如图 1,当点 E在 BC上时 ,延长 AB交 DC于点 M, ABCF, ABE FCE, .C A D B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题=2, CF=3. ABCF, BAE=F. 又 BAE= B AE, B AE=F. MA=MF. 设 MA=MF=k,则 MC=k -3,DM=9-k. 在 RtADM 中,由勾股定理得 : k2=(9- k)2+62, 解得k=MA=. DM=.(设元求解就是这类题型中比较重要的方法) sinDAB=; 如图 2,当点 E在 BC延长线上时 ,延长 AD 交 B E 于点 N, 同可得 NA=NE. 设 NA=NE=m,则 B N=12- m. 在 RtAB N 中,由勾股定理 ,得m2=(12- m)2+62, 解得 m=AN=. B N=. sinDAB=. (3)当点 E在 BC上时 ,y=; (所求 A B E的面积即为ABE的面积 ,再由相似表示出边长) 当点 E在 BC延长线上时 ,y=. 【总结】通过以上五道例题, 我们研究了动态几何问题当中点动, 线动 , 乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出, 所以难度不言而喻, 但就是希望考生拿到题以后不要慌张, 因为无论就是题目以哪种形态出现, 始终把握的都就是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析, 一个个将条件抽出来, 将大问题化成若干个小问题去解决, 就很轻松了、为更好的帮助考生, 笔者总结这种问题的一般思路如下: 第一、仔细读题,分析给定条件中那些量就是运动的, 哪些量就是不动的。针对运动的量,要分析它就是如何运动的, 运动过程就是否需要分段考虑, 分类讨论。针对不动的量,要分析它们与动量之间可能有什么关系, 如何建立这种关系。第二、画出图形, 进行分析 , 尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态, 通过比例 , 相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论, 不同的情况下题目就是否有不同的表现, 很多同学丢分就丢在没有讨论, 只就是想当然瞧出了题目所给的那一种图示方式, 没有想到另外的方式, 如本讲例 5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况, 就是否能想到就成了关键。图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题第二部分发散思考【思考 1】 已知 :如图 (1),射线射线,就是它们的公垂线,点、分别在、上运动 (点与点不重合、点与点不重合 ),就是边上的动点(点与、不重合 ),在运动过程中始终保持,且.(1)求证 :; (2) 如图(2),当点为边的中点时 ,求证:; (3)设,请探究 :的周长就是否与值有关？若有关,请用含有的代数式表示的周长 ;若无关 ,请说明理由 . 第 25 题（ 1）第 25 题（ 2）【思路分析】本题动点较多,并且就是以与的形式给出长度。思考较为不易,但就是图中有多个直角三角形 ,所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长,要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中,瞧就是否为定值,如果就是关于M 的函数 ,那么就就是有关 ,如果就是一个定值,那么就无关 ,于就是就可以得出结论了。【思考 2】 ABC就是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若 PBC 180 ,且 PBC平分线上的一点D 满足 DB=DA , (1)当 BP与 BA重合时 (如图 1),BPD=; (2)当 BP在 ABC的内部时 (如图 2),求 BPD的度数 ; (3)当 BP在ABC的外部时 ,请您直接写出BPD的度数 ,并画出相应的图形. 【思路分析】本题中,与动点 P相关的动量有PBC, 以及 D 点的位置 ,但就是不动的量就就是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题BD 就是平分线并且DB=DA,从这几条出发 ,可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上 ,P 点的轨迹就就是以B 为圆心 ,BA 为半径的一个圆,那 D 点就是什么呢？留给大家思考一下 【思考 3】如图 :已知 ,四边形 ABCD中,AD/BC, DC BC, 已知 AB=5,BC=6,cosB= .点 O为 BC边上的一个动点,连结 OD,以 O 为圆心 ,BO为半径的 O分别交边 AB于点 P ,交线段OD 于点 M,交射线 BC于点 N,连结 MN. (1)当 BO=AD时,求 BP的长 ; (2)点 O 运动的过程中 ,就是否存在BP=MN 的情况？若存在,请求出当BO 为多长时BP=MN;若不存在 ,请说明理由 ; (3)在点 O 运动的过程中 ,以点 C 为圆心 ,CN 为半径作 C,请直接写出当 C 存在时 ,O 与C的位置关系 ,以及相应的 C半径 CN的取值范围。【思路分析】这道题与其她题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在与圆有关的问题当中 ,时刻不要忘记的就就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单 ,等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN 与 BP,从而讨论她们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考 4】 在中,过点 C作 CE CD交 AD 于点 E,将线段 EC绕点 E逆时针旋转得到线段 EF( 如图 1)(1)在图 1 中画图探究 : 当 P为射线 CD 上任意一点 (P1不与 C 重合 )时,连结 EP1绕点 E逆时针旋转得到线段 EC1、判断直线FC1与直线 CD的位置关系 ,并加以证明 ; 当 P2为线段 DC的延长线上任意一点时,连结 EP2,将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转得到线段 EC2、判断直线C1C2与直线 CD的位置关系 ,画出图形并直接写出您的结论、(2)若 AD=6,tanB=,AE=1,在的条件下 ,设 CP1=,S=,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围、A B C D O P M N A B C D (备用图 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题【思路分析】本题就是去年中考原题,虽不就是压轴,但动点动线一起考出来,难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90的条件。 旋转 90自然就就是垂直关系,于就是又出现了一堆直角三角形,于就是证角 ,证线就手到擒来了。第二问一样就是利用平行关系建立函数式 ,但就是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想,漏掉了很多种情况,失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题,按照上面总结的一般思路去拆分条件,步步为营的去解答。第三部分思考题解析【思考 1 解析】(1)证明 :, . . 又, . . . (2)证明:如图 ,过点作,交于点, 就是的中点 ,容易证明. 在中, , . . . (3)解:的周长,. 设,则. , . 即. . 由(1) 知, 第 25 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题. 的周长的周长. 的周长与值无关 . 【思考 2 答案】解:(1)BPD= 30 ; (2)如图 8,连结 CD. 解一: 点 D 在PBC的平分线上 , 1=2. ABC就是等边三角形, BA=BC=AC ,ACB= 60. BP=BA , BP=BC . BD= BD, PBD CBD. BPD=3.- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 DB=DA,BC=AC ,CD=CD , BCD ACD . . BPD =30 . 解二: ABC就是等边三角形, BA =BC=AC . DB=DA, CD垂直平分 AB. . BP=BA , BP=BC . 点 D 在 PBC的平分线上 , PBD 与CBD关于 BD所在直线对称. BPD=3. BPD =30 . (3)BPD= 30或 150. 图形见图 9、图 10. 图 8精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题【思考 3 解析】解:(1)过点 A 作 AEBC,在 RtABE中,由 AB=5,cosB=得 BE=3. CDBC,AD/BC,BC=6, AD=EC=BC BE=3. 当 BO=AD=3时, 在 O 中,过点 O 作 OHAB,则 BH=HP ,BH=. BP=. (2)不存在 BP=MN 的情况 - 假设 BP=MN 成立 , BP与 MN 为 O 的弦 ,则必有 BOP= DOC、过 P作 PQBC,过点 O 作 OHAB, CDBC, 则有 PQODOC- 设 BO=x, 则 PO=x, 由,得 BH=, BP=2BH=、BQ=BP cosB=,PQ=. OQ=. PQODOC, 即,得. 当时,BP=5=AB,与点 P应在边 AB 上不符 , 不存在 BP=MN 的情况、(3)情况一 :O 与C相外切 ,此时 ,0CN6;-7 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题情况二 :O 与C相内切 ,此时 ,0CN 、-8 分【思考 4 解析】解:(1)直线与直线的位置关系为互相垂直. 证明 :如图 1,设直线与直线的交点为. 线段分别绕点逆时针旋转90依次得到线段, . , . . . , , . . . . 按题目要求所画图形见图1,直线与直线的位置关系为互相垂直. (2)四边形就是平行四边形, . A B C D O P M N Q H F D C B A E 图 1 G2 G1 P1 HP2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 九年级数学复习专题动态几何问题, . 可得. 由(1)可得四边形为正方形 . . 如图 2,当点在线段的延长线上时 , , . . 如图 3,当点在线段上(不与两点重合 )时, , . . 当点与点重合时 ,即时,不存在 . 综上所述,与之间的函数关系式及自变量的取值范围就是或. D G1 P1 HC B A E F 图 2 F G1 P1 CABEDH图 3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - - -