2022年《高等数学》各章知识点总结第9章.docx
第 9 章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续31、 n 维空间nR2 为二元数组 x, y 的全体,称为二维空间；R 为三元数组x, y, z的全体,称为三维空间；R为 n 元数组x1, x2 , xn 的全体,称为 n维空间；n 维空间中两点P x1, x2, xn ,Q y1, y2 , yn间的距离：| PQ | yx 2 yx 2 yx 2n1122nn邻域 :设P0 是 R的一个点,是某一正数, 与点P0 距离小于的点 P 的全体称为点P0 的邻域,记为U P0, ,即 U P0, PRn | PP |0空 心 邻 域 :P0 的邻 域 去 掉 中 心 点P0 就 成 为P0 的空 心 邻 域 , 记 为nU P0 ,= P0| PP0 | ；内点与边界点 ： 设 E 为 n 维空间中的点集,PR是一个点；假如存在点P 的某个邻域U P, ,使得 U P,E ,就称点 P 为集合 E 的内点；假如点 P 的任何邻域内都既有属于 E 的点又有不属于 E 的点,就称 P 为集合 E 的边界点 ,E 的边界点的全体称为E 的边界聚点 ：设 E 为 n 维空间中的点集,PR n 是一个点； 假如点 P 的任何空心邻域内都包含E中的无穷多个点,就称P 为集合 E 的聚点；开集与闭集 :如点集 E 的点都是内点,就称E 是开集 ； 设点集ER n , 假如 E 的补集R n E 是开集,就称 E 为闭集 ；区域与闭区域 ：设 D 为开集,假如对于 D 内任意两点,都可以用 D 内的折线（其上的点都属于 D ）连接起来 , 就称开集 D 是连通 的连通的开集称为 区域 或开区域 开区域与其边界的并集称为 闭区域 有界集与无界集 :对于点集 E ,如存在 M0 ,使得EU O, M ,即 E 中全部点到原点的距离都不超过M ,就称点集 E 为有界集,否就称为无界集 假如 D 是区域而且有界,就称D 为有界区域 有界闭区域的直径 ： 设 D 是二、多元函数R n 中的有界闭区域,就称d Dmax |P1 ,P2 DP1P2| 为 D 的直径；n 元函数就是R n 的一个子集 D 到 R 的一个函数,即对任意的PD ,都存在唯独的yR ,使得yf P ；习惯上,我们用yf x 表示一元函数,用 zf x,y 表示二元函数, 用 wf表示 n 元函数 三、多元函数的极限 x, y, z 表示三元函数 .一般用yf P, PR n 或y f x1, x2, xn 设多元函数 zf P在 D 有定义,P0是 D 的一个聚点, A 为常数；假如对任意给定的0 ,都存在0 ,当 PD0U P0, 时,有f PA就 称 A 为 P 趋 于P0 时 函 数 zf P在 D 上 的 极 限 , 记 为limPP0f PA或f PA,PP0 ；四、多元函数的连续性设多元函数zf P在 D 有定义,P0 是 D 的一个聚点；假如limPP0f Pf P0 ,就称 zf P在 P0 点连续； 假如 zf P 在区域 D 上各点都连续, 就称 zf P在 D 上连续假如函数 zf P在 点 P0 处不连续, 就称函数 zf P 在点P0 处间断 ,也称P0 是函数 zf x, y的间断点；五、偏导数设二元函数 zf x, y, P0 x0 , y0 为平面上一点；假如zf x, y0 在x0 的某一邻域内有定义且在x0 点可导,即极限limzx0xlimx0f x0x, y0 xf x0 , y0存在 , 就称 zf x, y 在点P0 x0 , y0 处对 x 可偏导, 称此极限值为函数 zf x, y 在点P x , y 处对 x 的偏导数 ,记为z,f, z或 f x, y 000x x 0, y 0 x x 0 , y0 x x 0, y0 x00六、 高阶偏导数2 z2 ff2z2 ff22f xx,fxy,xxxxx yx yyx2z2 ff2z2 fff yx,22f yyy xy xxyyyyy假如函数 zf x, y的两个二阶混合偏导数fxy ,f yx 都在平面区域D 内连续,那么这两个二阶混合偏导数在D 内相等；七、全微分设函数 zf x, y 在点P0 x0, y0的某一邻域内有定义,A, B 为常数；假如zA xByo ,其中x 2y2, 就称函数zf x, y 在点P0 x0, y0 可微分（简称可微） ,称 AxBy 为函数 zf x, y在点 P0 x0, y0 的全微分,记作 dz ,即 dzAxB y可微的必要条件： 函数 zf x, y 在点P0 x0, y0 可微 , 就1f x, y 在点P0 x0, y0 处连续； 2f x,y 在点P0 x0, y0 处偏导数存在 , 且 dzf x x0, y0 dxf y x0 , y0 dy ；可微的充分条件：函数 zf x, y 在点P0 x0, y0 的某个邻域内可偏导,且偏导数fx x, y,f y x, y 在点P0 x0, y0 连续,就 zf x, y 在点P0 x0 , y0 可微；八、多元复合函数的求导法就链式法就： zf u, v , uu x, y, vv x, y, zfufv,xuxvxzfuyuyfv ；vy一阶全微分的形式不变性：z f u, v , uu x,y, vv x, ydzz dxz dy,dzz duz dvxyuv九、隐函数及其求导法如 F x, y满意： 1F x, y在 x0 , y0某邻域内可偏导 , 且 Fx x, y,Fy x, y连续,2F x0 , y0 0 ,3Fy x0, y0 0 ；就1存在x0 的某个邻域, 在此邻域内存在唯独确定的一元函数 yf x满意称函数 yf x 称为由方程F x, y0 所确定的隐函数,且dyyf x具有连续导数,f xFx x, ydxFy x, y0000n如 F x1 , x2, xn , y 满意： 1F x1, x2 , xn , y 在点 x1 , x2 , xn , y 的某个 n+1112ny12n维邻域内可偏导 , 且 Fx x1, x2, xn, y, Fxx1, x2, xn, y, Fy x1, x2, xn, y 连续；2F x0, x0, x0, y00 , 3F x0 , x0, x0 , y0 0就1 存在点 x0 , x 0 , x 0 的某个 n 维邻域 , 在此邻域内存在唯独的n 元函数,且函数12nyf x1, x2 , xn i在该邻域内具有连续偏导数, yxFxi,i1, 2 ,Fn,；y十、空间曲线的切线与法平面空间曲线的参数方程为x xty yt ,z ztM 0 xt0 ,yt0 , zt0 为曲线上一点；假如x t0 , y t0, z t0 不全为 0,就在点xx0M 0处的切线的方程为：y y0z z0,x t 0 y t 0 z t0 在点 M 0 处的法平面方程为： xx0 x 't0 yy0 y 't0 zz0 z 't0 0 ；十一、空间曲面的切平面与法线曲面：F x, y, z0 在点处M 0 的法线方程为：xx0 Fx M 0y y0 Fy M 0 z z0 Fz M 0在点处M 0 的法线方程为：xx0 Fx M 0 y y0 Fy M 0 z z0 Fz M 0 十二、无条件极值极值存在的必要条件： 函数 zf x, y 在点P0 x0, y0 处取得极值 , 且在该点处函数的偏导数都存在 , 就 zf x, y在 P0 x0 , y0 点处的一阶偏导数为零, 即f x x0 , y0 0,f y x0, y00极值存在的充分条件：函数 zf x, y 在点P0 x0, y0 的某邻域内有一阶及二阶连续偏 导 数 , 且fx x0 , y0f y x0 , y0 0 ； 令f xx x0, y0A , f xy x0, y0B ,fyy x0 , y0C ,就(1) 当 ACB 20 时 ,f x , y 是 函 数 zf x, y的 极 值 , 其 中 当 A0 时00f x0, y0 为极大值,当 A0 时 f x0, y0为微小值；2(2) 当 ACB0 时,f x , y 不是极值；00十三、条件极值函数 zf x, y（称为 目标函数 ）在条件i x, y0,i1,2, k 下极值问题转化为求帮助函数L x, y,1,k f x, ykii x, y 的无条件极值的问题；i 1
