2022年传染病问题中的SIR模型.docx

精品学习资源具 有 足 够 的 吸 引 力 ， 所 有 人 都 感 兴 趣 ， 并 传 播 ；在 一 定 时 间 内 会 失 去 兴 趣 ；传 染 病 问 题 中 的 SIR 模 型摘要：2003 年春来历不明的 SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害；长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探 索禁止传染病扩散的手段等，始终是我国及全世界有关专家和官员关注的课题；不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简洁模型，SI 模型， SIS 模型， SIR 模型等；在这里我采纳 SIRSusceptibles， Infectives，Recovered模型来争论如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack 与 McKendrick 在 1927 年采纳动力学方法建立的模型；应用传染病动力学模型来描述疾病进展变化的过程和传播规律，猜测疾病发生的状态，评估各种掌握措施的成效，为预防掌握疾病供应最优决策依据 , 保护人类健康与社会经济进展；关键字： 传染病；动力学； SIR 模型；一模型假设1. 在疾病传播期内所考察的地区范畴不考虑人口的诞生、死亡、流淌等种群动力因 素；总人口数 Nt 不变，人口始终保持一个常数N；人群分为以下三类：易感染者Susceptibles，其数量比例记为 st，表示 t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者 Infectives，其数量比例记为 it ，表示 t 时刻已被感染成为 病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；复原者 Recovered，其数量比例记为 rt ， 表示 t 时刻已从染病者中移出的人数这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统； 占总人数的比例；2. 病人的日接触率每个病人每天有效接触的平均人数为常数，日治愈率每 天被治愈的病人占总病人数的比例为常数，明显平均传染期为1，传染期接触数为 =；该模型的缺陷是结果常与实际有肯定程度差距，这是由于模型中假设有效接触率传染力是不变的；二模型构成在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：ssiiir在假设 1 中明显有：st + it + rt = 11欢迎下载精品学习资源对于病愈免疫的移出者的数量应为欢迎下载精品学习资源N drNi dt2欢迎下载精品学习资源不妨设初始时刻的易感染者，染病者，复原者的比例分别为s0 s0 0， i0 i 0 0，r0 =0.SIR 基础模型用微分方程组表示如下：欢迎下载精品学习资源disii dtdssidtdridt3欢迎下载精品学习资源st ， it 的求解极度困难， 在此我们先做数值运算来预估量st ， it 的一般变化规律；三数值运算在方程 3中设 =1，=0.3，i0= 0.02，s0=0.98，用 MATLAB软件编程：function y=illt,x a=1;b=0.3;y=a*x1*x2-b*x1;-a*x1*x2;ts=0:50; x0=0.02,0.98;t,x=ode45'ill',ts,x0;plott,x:,1,t,x:,2 pause plotx:,2,x:,1输出的简明运算结果列入表 1；it , st的图形以下两个图形， is 图形称为相轨线 ,初值 i0=0.02,s0=0.98 相当于图 2 中的 P0 点,随着 t 的增,s,i沿轨线自右向左运动 .由表 1、图 1、图 2 可以看出 ,it 由初值增长至约 t=7 时到达最大值 ,然后削减 ,t ,i 0,st就单调削减,t ,s. 并分析 it,st 的一般变化规律 .t012345678itst欢迎下载精品学习资源t91015202530354045it0st欢迎下载精品学习资源表 1it,st的数值运算结果四相轨线分析我们在数值运算和图形观看的基础上， 利用相轨线争论解 it,st的性质；i s 平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域s，i D 为D = s， i|s 0， i0 ， s + i 14欢迎下载精品学习资源在方程 3中消去dt 并留意到的定义，可得di11 ，i |i5欢迎下载精品学习资源dsss s00欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以：d1is1 dsisdii0s01s 1 ds6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源利用积分特性简洁求出方程 5的解为：is0i 0s1 ln ss07欢迎下载精品学习资源在定义域 D 内,6式表示的曲线即为相轨线 ,如图 3 所示.其中箭头表示了随着时间 t 的增加 st和 it 的变化趋向 .欢迎下载精品学习资源iDP2iP1mios1/s下面依据 3,17式和图 9 分析 st,it 和 rt的变化情形 t时它们的极限值分别记作s,i和 r；欢迎下载精品学习资源1. 不管初始条件 s0,i0 如何,病人消逝将消逝 ,即：i008欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其证明如下：第一,由3ds0而dtst0故s存在;由2drdt0 而 r t1故 r存欢迎下载精品学习资源在;再由1知 i存在；欢迎下载精品学习资源其次,假设 i0 就由1,对于充分大的 t 有 drdt, 这将导致 r，与 r存在2欢迎下载精品学习资源相冲突.从图形上看 ,不管相轨线从 P1 或从 P2 点动身,它终将与 s 轴相交 t 充分大 . s ,在7式中令 i=0 得到,s 是方程欢迎下载精品学习资源s0i0s1 ln s0 s09欢迎下载精品学习资源在0,1/ s 是相轨线与 s 轴在0,1/内交点的横坐标 .0s >1/ ,就开头有 di11o， it 先增加, 令 di11 =0，可得当 s=1/时,it 到dssdss欢迎下载精品学习资源达最大值：isi1 1lns 10欢迎下载精品学习资源m00（0欢迎下载精品学习资源然后 s<1/时，有 dids11o s，所以 it 减小且趋于零 ,st就单调减小至 s ,如图 3 中欢迎下载精品学习资源由 P1 s0 ， i0 动身的轨线 .s1/,就恒有 di110 ， it 单调减小至零 ,st 单调减小至 s ,如图 3 中由欢迎下载精品学习资源0P2s0,i0动身的轨线 .dss欢迎下载精品学习资源可以看出 ,假如仅当病人比例 it 有一段增长的时期才认为传染病在扩散 ,那么 1/是一个阈值 ,当 s0 >1/ 即 ,即提高阈值 1/使得 s0 1/ 即 1/ s0 ,传染病就不会扩散欢迎下载精品学习资源健康者比例的初始值s0 是肯定的 ,通常可认为s0 接近 1；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源并且,即使s0 >1/,从19,20式可以看出 , 减小时 , s 增加通过作图分析 ,i m =欢迎下载精品学习资源中,人们的卫生水平越高 ,日接触率越小 ;医疗水平越高 ,日治愈率越大 ,于是越小 ,所以提高卫生水平和医疗水平有助于掌握传染病的扩散.欢迎下载精品学习资源从另一方面看 ,ss.1/是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其含义是一病人被s 个健康者交换 .所以当s01/即s01 时必有 .既然交换数不超欢迎下载精品学习资源过 1,病人比例 it 绝不会增加 ,传染病不会扩散；五群体免疫和预防依据对 SIR 模型的分析 , 当 s01/时传染病不会扩散 . 所以为禁止扩散 , 除了提高卫欢迎下载精品学习资源0生和医疗水平 , 使阈值 1/ 变大以外 , 另一个途径是降低体免疫的方法做到 .s0 , 这可以通过比方预防接种使群欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源忽视病人比例的初始值i0 有s1r0 ,于是传染病不会扩散的条件s01/可以表为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1r0111欢迎下载精品学习资源这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例即免疫比例满意11式，就欢迎下载精品学习资源可以禁止传染病的扩散；这种方法生效的前提条件是免疫者要匀称分布在全体人口中，实际上这是很难做到的；据估量当时印度等国天花传染病的接触数=5，由11式至少要有 80%的人接受免疫才行；据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r0 ，也因很难做到免疫者的匀称分布，使得天花直到 1977 年才在全世界根除；而有些传染病的更高，根除就更加困难；六模型验证上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎全部病人都死亡了；死亡相当于移出传染欢迎下载精品学习资源系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了据对 SIR 模型作了验证；dr 的实际数据， Kermack 等人用这组数dt欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源第一，由方程 2，3可以得到 dsdtsisis drdt欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源dd1上式两边同时乘以 dt 可srs，两边积分得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源s 1drsdlns|srser欢迎下载精品学习资源s0 sr0 0rs00欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源r所以：sts0esr t 12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再drdti1rs1rs0e13欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 r1/时，取 13式右端 er Taylor 绽开式的前 3 项得：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源dr1dtrs0s0rs2r 202欢迎下载精品学习资源在初始值 r0 =0 下解高阶常微分方程得 :欢迎下载精品学习资源r t 12s0s1) tht214欢迎下载精品学习资源其中 20s122s i2， ths01从而简洁由 14式得出：欢迎下载精品学习资源00 0欢迎下载精品学习资源d2dr15欢迎下载精品学习资源t2 s02ch2 t 2欢迎下载精品学习资源然后取定参数s0, 等，画出 15式的图形，如图 4 中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错；七被传染比例的估量欢迎下载精品学习资源在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值s0 与s 之欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源差，记作 x,即xs0s16欢迎下载精品学习资源当 i0 很小， s0 接近于 1 时，由 9式可得欢迎下载精品学习资源x1 ln1x 0 s017欢迎下载精品学习资源取对数函数 Taylor 绽开的前两项有欢迎下载精品学习资源x11x018欢迎下载精品学习资源s2s 2欢迎下载精品学习资源1记 s000,可视为该地区人口比例超过阈值1 的部分；当1欢迎下载精品学习资源时18式给出1x2 s0s0219欢迎下载精品学习资源这个结果说明，被传染人数比例约为的 2 倍；对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即不变时，这个比例就不会转变；而当阈值1 提高时，减小，于是这个比例就会降低；八评注该模型采纳了数值运算 ,图形观看与理论分析相结合的方法 ,先有感性熟悉 表 1,图 1,图2) ,再用相轨线作理论分析 ,最终进行数值验证和估算,可以看作电脑技术与建模方法的奇妙协作；可取之处在于它们比较全面地到达了建模的目的,即描述传播过程、分析感染人数的变化规律 ,猜测传染病高潮到来时刻 ,度量传染病扩散的程度并探究禁止扩散的手段和措施；欢迎下载