2022年七下第九章整式乘法与因式分解知识点归纳小结.docx
七下第九章整式乘法与因式分解学问点归纳小结学问点归纳：一、幂的运算：1、同底数幂的乘法法就：mna. am na （ m, n 都是正整数）同底数幂相乘,底数不变,指数相加；留意底数可以是多项式或单项式；如： ab2. ab3 ab 52、幂的乘方法就：am na mn （ m,n 都是正整数）35210幂的乘方,底数不变,指数相乘；如： 3 幂的乘方法就可以逆用：即a mn am nan m如： 4642 343 23、积的乘方法就：ab nanbn （ n 是正整数）；积的乘方,等于各因数乘方的积；如：（2x3 y 2 z 5 =2 5 . x3 5. y 2 5. z532 x15 y10 z54、同底数幂的除法法就：ama na m n （ a0, m, n 都是正整数,且 mn同底数幂相除,底数不变,指数相减；如：4ab ab333aba b5、多项式按字母的升（降）幂排列：x32 x2 y 2xy2 y31按 x的升幂排列：按 x 的降幂排列：按 y 的升幂排列：按 y 的降幂排列： 例.已知 x2 x 1 0,求 x3 2x2 3 的值二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘 ,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式；如： 2x 2 y 3z. 3xy3xy 2 2 xy 2 = .a 2b3 a 2b 2 =.7、单项式乘以多项式 ,就是用单项式去乘多项式的每一项, 再把所得的积相加,即 mab cmambmcm,a,b,c都 是 单 项 式 ； 如 ：2 x2 x3 y3 y xy =；8、多项式与多项式相乘 ,用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加；9、合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.例如： 3aa ；a 2a 2 ； 3a5b2a8b 3 x 2 y2 xyxy 24 x 2 y2 x 310 xy2 x 310、平方差公式 ： ab aba 2b 2 留意平方差公式绽开只有两项公式特点： 左边是两个二项式相乘, 并且这两个二项式中有一项完全相同, 另一项 互 为 相 反 数 ； 右 边 是 相 同 项 的 平 方 减去 相 反 项 的 平 方 ； 选 如 ： xyz xyz =11、完全平方公式 ： ab 2a 22abb 2完全平方公式的口诀：首平方+尾平方,首尾 2 倍在中心,符号跟着 2 倍走, 系数运算不能忘；例如： 2a5b 2 ；x3 y 2例（ 1） x1x212, 求 x2x的值；（2） xy 216, xy24 ,求 xy 的值；2公式的变形使用：（ 1） a 2b2ab22abab 22ab ； ab 2ab 24ab ,ababab；222ab abab 2 ,b-a=-a-b2（ 2） 三项式的完全平方公式： 三、因式分解的常用方法1、提公因式法abc) 2a 2b 2c 22ab2ac2bc（1） 会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情形下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；（2） 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式；其次步是提取公因式并确定另一因式需留意的是, 提取完公因式后, 另一个因式的项数与原多项式的项数一样,这一点可用来检验是否漏项（3） 留意点：提取公因式后各因式应当是最简形式,即分解到“底”；假如多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“”号,使括号内的第一项的系数是正的2、公式法运用公式法分解因式的实质是： 把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：22平方差公式：a b （ab （ a b）222完全平方公式：a 2abb （ a b）222a 2abb （ a b）* 在学习过程中,学会利用整体摸索问题的数学思想方法和实际运用意识；22如：对于任意自然数 n, n7 n5 都能被 24 整除；3如 x2+2m-3x+16 是完全平方式,就 m 的值等于 A.3B.-5C.7.D.7 或-13. 配方法：分解因式x26 x16说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式, 然后用平方差公式分解当然,此题仍有其它方法,请大家试验4. 十字相乘法：（ 1）x2 pq xpq 型的因式分解这类式子在很多问题中常常显现,其特点是：(1) 二次项系数是 1；2 常数项是两个数之积； 3 一次项系数是常数项的两个因数之和 x2 pqxpqx2pxqxpqx xpqxpxp xq因此,2x pq xpq xp xq运用这个公式,可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式 例 1.把以下各式因式分解：1x27x6(2)x213x36说明： 此例可以看出, 常数项为正数时, 应分解为两个同号因数, 它们的符号与一次项系数的符号相同例 2.把以下各式因式分解：1x25x242x22 x15说明： 此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数, 其中肯定值较大的因数与一次项系数的符号相同2例 3.把以下各式因式分解：22(1) xxy6y2(2) x22x8 xx12分析： 1 把 x2xy6 y 看成 x的二次三项式,这常常数项是6y 2 ,一次项系数是 y ,把6 y2 分解成 3 y 与2 y 的积,而 3 y2 yy ,正好是一次项系数2(2) 由换元思想,只要把xx 整体看作一个字母 a ,可不必写出,只当作分解二次三项式 a28a12 5一般二次三项式ax 2bxc 型的因式分解大家知道, a xc a xc a a x2a ca c xc c 1122121 22 11 2反过来,就得到：a a x2a ca c xc c a xc a xc 1 21 22 11 21122我们发觉, 二次项系数 a 分解成a1a2 ,常数项 c 分解成c1c2 ,把 a1, a2 , c1 ,c2 写成 a1a2c1 ,c2这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到a1c2a2c1,假如它正好等于ax2bxc 的一次项系数 b ,那么ax2bxc 就可以分解成a xc a xc ,其中 a ,c 位于上一行, a ,c位于下一行11221122这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法 必需留意, 分解因数及十字相乘都有多种可能情形,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解例 4.把以下各式因式分解：112x25x225x26xy8y2说明： 用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难,详细分解时, 为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,如原常数为负数,用减法 ”凑”,看是否符合一次项系数,否就用加法 ”凑”,先 ”凑”肯定值,然后调整,添加正、负号2226、分组分解法 ： abab1ab cb aca 2ab b c例题 :1 如图,矩形花园 ABCD 中,AB= a ,AD= b ,花园中建有一条矩形道路 LMQP及一条平行四边形道路RSTK ,如 LM=RS= c ,就花园中可绿化部分的面积为（） A bcabB. a 2abC. abbcD. b 2bcacb 2bcacacc 2a 2ab2. 通过运算几何图形的面积可表示一些代数恒等式,右图可表示的代数恒等式是（）A. a b 2a 2 2abb 22B aba22abb 2C 2a ab2a 22abD aba ba 2 b23 运算1 3x2 xy + x 2y+2x2 x3 x23x9(3) a4a4a1 2(4)x2 y3 x2 y33. 先化简,再求值：3x2 3x25xx1 2x12,其中 x134 已知 a2 3a 1 0求a1 、 a 21 和 a21的值 .aa 2a5如 m2 2mn 2n2 6n9 0,求 m 和 n 的值 解： m2 2mn 2n2 6n9 0 m2 2mn n2 n2 6n9 0 m n2 n 320 m n 0,n 3 0 m 3, n 36.问题 1 已知 ABC 的三边长 a,b,c 都是正整数,且满意a2 b2 6a 6b 18 3c 0, 请问 ABC 是什么外形 .
