2022年全国初中数学联赛试卷.docx

精品学习资源2021 年全国中学数学联赛试卷一、挑选题： 此题总分值42 分，每题 7 分17 分已知，那么 a， b， c 的大小关系是A a b cB a cbC ba cD b c a欢迎下载精品学习资源2. 7 分方程2x +2xy+3y2=34的整数解 x， y的组数为欢迎下载精品学习资源A 3B 4C 5D 63. 7 分已知正方形 ABCD 的边长为 1，E 为 BC 边的延长线上一点， CE=1，连接 AE ，与 CD 交于点 F，连接 BF 并延长与线段DE 交于点 G，就 BG 的长为A B CD 47 分已知实数a，b 满意 a2+b2=1 ，就 a4+ab+b 4 的最小值为A B 0C 1D 5. 7 分假设方程x2+2px 3p 2=0 的两个不相等的实数根x 1， x2 满意，就实数 p 的全部可能的值之和为A 0B C 1D 6. 7 分由 1， 2，3，4 这四个数字组成四位数数字可重复使用 ，要求满意 a+c=b+d这样的四位数共有A 36 个B 40 个C 44 个D 48 个二、填空题： 此题总分值28 分，每题 7 分7. 7 分已知互不相等的实数a， b， c 满意，就 t= 欢迎下载精品学习资源28. 7 分使得5×m+1是完全平方数的整数m 的个数为 欢迎下载精品学习资源9. 7 分在 ABC 中，已知 AB=AC ， A=40 °，P 为 AB 上一点， ACP=20 °，就= 10. 7 分已知实数a，b，c 满意 abc= 1，a+b+c=4 ，就 a2+b2+c2= 三、解答题共 3 小题11. 20 分已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积12. 25 分如图， PA 为 O 的切线， PBC 为 O 的割线， AD OP 于点 D， ADC 的外接圆与 BC 的另一个交点为 E证明： BAE= ACB 欢迎下载精品学习资源1325 分已知抛物线的顶点为 P，与 x 轴的正半轴交于 Ax 1，0、Bx 2，0 x1 x2两点，与 y 轴交于点 C，PA 是ABC 的外接圆的切线设M 0，假设 AM BC ，求抛物线的解析式欢迎下载精品学习资源2021 年全国中学数学联赛试卷参考答案与试题解析一、挑选题： 此题总分值42 分，每题 7 分17 分已知，那么 a， b， c 的大小关系是A a b cB a cbC ba cD b c a考点 ： 二次根式的混合运算；实数大小比较；专题 ： 运算题；分析： 先求出 a、b、c 的倒数并分母有理化，然后依据一个数的倒数越大，就这个数越小，进行大小比较解答： 解： a= 1， b=， c= 2，=+1， =+， =+1=+1，+1+1+， 0 ，因此 b a c 应选 C点评： 此题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，求差、求商或求倒数是实数大小比较常用的方法，此题想到求倒数，依据比较倒数的大小从而得出原数的大小是解题的关键欢迎下载精品学习资源2. 7 分方程2x +2xy+3y2=34的整数解 x， y的组数为欢迎下载精品学习资源A 3B 4C 5D 6考点 ： 非一次不定方程组 ；分析： 第一将原方程变形为： x+y 2+2y 2=34 ，即可得 x+y 必需是偶数，然后设x+y=2t ，可得新方程2t2+y 2=17 ， 解此方程即可求得答案+2y =34 ，解答： 解：方程变形得： x+y 22 34 与 2y2 是偶数， x+y 必需是偶数， 设 x+y=2t ，+2y =34 ，就原方程变为： 2t22 2t2+y 2=17，它的整数解为，就当 y=3 ，t=2 时， x=1 ； 当 y=3 ， t= 2 时， x=7； 当 y= 3，t=2 时， x=7 ；当 y= 3，t= 2 时， x= 1 原方程的整数解为： 1， 3， 7，3，7， 3， 1， 3共 4 组 应选 B 点评： 此题考查了非一次不定方程的学问此题难度较大，解题的关键是将原方程变形为：x+y 2+2y 2=34，由x+y 必需是偶数，然后设x+y=2t ，从而得新方程2t2+y 2=17欢迎下载精品学习资源3. 7 分已知正方形 ABCD 的边长为 1，E 为 BC 边的延长线上一点， CE=1，连接 AE ，与 CD 交于点 F，连接 BF 并延长与线段DE 交于点 G，就 BG 的长为A B CD 考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；分析： 利用全等三角形的判定AAS 得出 ADF ECF，进而得出 FG 是 DCP 的中位线，得出DG=GP=PE=DE=，再利用勾股定理得出BG 的长即可 解答： 解：过点 C 作 CP BG，交 DE 于点 P BC=CE=1 ， CP 是 BEG 的中位线， P 为 EG 的中点又 AD=CE=1 ，AD CE， 在 ADF ECF 中， ADF ECF AAS ， CF=DF ，又 CP FG， FG 是 DCP 的中位线， G 为 DP 的中点 CD=CE=1 ， DE=，因此 DG=GP=PE=DE=连接 BD ，易知 BDC= EDC=45 °，所以 BDE=90 °又 BD=， BG=应选： D点评： 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和勾股定理应用等学问，依据已知得出正确帮助线是解题关键欢迎下载精品学习资源a +b=1a+ab+b4. 7 分已知实数a， b 满意22，就44 的最小值为欢迎下载精品学习资源A B 0C 1D 考点 ： 二次函数的最值；完全平方公式；专题 ： 常规题型；分析： 利用完全平方公式把a44 配成关于 ab 的二次三项式，再依据平方数非负数a b22 2ab+b2 求出+ab+b=a欢迎下载精品学习资源=a0，ab 的取值范畴，然后依据二次函数的最值问题解答 解答： 解： a b22 2ab+b2 2|ab|a2+b2=1， ab ，欢迎下载精品学习资源令 y=a 44222 2a2 22 22欢迎下载精品学习资源+ab+b=a +bb +ab= 2a b+ab+1= 2 ab +，欢迎下载精品学习资源当 ab 时， y 随 ab 的增大而增大， 当ab 时， y 随 ab 的增大而减小，故当 ab= 时， a4+ab+b 4 的最小值，为 2 2+= 2× +=0，即 a4+ab+b 4 的最小值为 0，当且仅当 |a|=|b|时， ab= ，此时 a=， b=，或 a=， b= 应选 B 点评： 此题考查了二次函数的最值问题，完全平方公式，配方成关于ab 的形式并求出ab 的取值范畴是解题的关键25. 7 分假设方程x +2px 3p 2=0 的两个不相等的实数根x 1， x2 满意，就实数 p 的全部可能的值之和为A 0B C 1D 考点 ： 根与系数的关系；分析： 第一利用根与系数的关系得到两根与P 的关系， 然后利用得到有关 p 的方程， 求得 p 值即可求得答案解答： 解：由一元二次方程的根与系数的关系可得x 1+x2= 2p， x 1.x2= 3p2，2+= 2x1.x 2=4p +6p+4 ，2+=x 1+x 2 3x1.x2 =2p4p +9p+6 +=4 +得+=4+， 4p2+6p+4=4+2p 4p2+9p+6 ， p4p+3p+1 =0 ， p1=0， p2 = ， p3= 1代入检验可知：以p1=0， p2= 均满意题意， p3= 1 不满意题意 因此，实数 p 的全部可能的值之和为p1+p2=0+ = 应选 B 点评： 此题考查了根与系数的关系，解题的关键是正确的利用根与系数的关系得到有关p 的方程并求解欢迎下载精品学习资源6. 7 分由 1， 2，3，4 这四个数字组成四位数数字可重复使用 ，要求满意 a+c=b+d这样的四位数共有A 36 个B 40 个C 44 个D 48 个考点 ： 数的十进制；分析： 由题意可知这样的四位数可分别从使用的不同数字的个数分类考虑：1只用 1 个数字，2使用 2 个不同的数字， 3使用 3 个不同的数字， 4使用 4 个不同的数字，然后分别分析求解即可求得答案解答： 解：依据使用的不同数字的个数分类考虑： 1只用 1 个数字，组成的四位数可以是1111，2222 ， 3333， 4444，共有 4 个 2使用 2 个不同的数字，使用的数字有6 种可能 1、2， 1、 3，1、4， 2、3， 2、4， 3、4 假如使用的数字是1、 2，组成的四位数可以是1122， 1221 ，2112， 2211，共有 4 个；同样地，假如使用的数字是另外5 种情形，组成的四位数也各有4 个因此，这样的四位数共有6×4=24 个 3使用 3 个不同的数字，只能是1、2、2、3 或 2、 3、3、4，组成的四位数可以是1232 ，2123， 2321， 3212 ， 2343， 3234 ，3432， 4323，共有 8 个 4使用 4 个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312 ，共有 8 个因此，满意要求的四位数共有4+24+8+8=44 个 应选 C点评： 此题考查了整数的十进制表示法的学问此题难度较大，解题的关键是留意把握分类争论思想的应用，留意可以从使用的不同数字的个数分类考虑二、填空题： 此题总分值28 分，每题 7 分7. 7 分已知互不相等的实数a， b， c 满意，就 t=±1考点 ： 对称式和轮换对称式；分析： 第一设 a+=t，可得 b=，代入 b+=t，整理可得 ct2 ac+1 t+ a c=0 ，又由 c+=t，可得ac+1=at ，将 代入 ，即可得 c at2 1=0 ，又由实数 a，b， c 互不相等，即可求得答案 解答： 解：设 a+=t，就 b=，代入 b+=t，得：+=t，整理得： ct2 ac+1t+a c=0 又由 c+=t，可得 ac+1=at ，把 代入 式得 ct2 at2+a c=0 ， 即 c at21=0，又 ca， t21=0 ， t= ±1验证可知： b=， c=时， t=1； b=， c=时， t= 1 t= ±1故答案为： ±1欢迎下载精品学习资源点评： 此题考查了对称式和轮换对称式的学问此题难度比较大，留意设a+=t，从而得到方程 ct2 ac+1t+ a c=0 与 ac+1=at 是解此题的关键欢迎下载精品学习资源28. 7 分使得5×m+1是完全平方数的整数m 的个数为1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源考点 ： 完全平方数；分析： 由 5×2m+1 是完全平方数，可设5×2m+1=n 2m其中 n 为正整数，可得 5×2 =n2 1=n+1 n 1，即可欢迎下载精品学习资源得 n 为奇数，然后设 n=2k 1其中 k 是正整数，即可得方程组或或，解方程组即可求得答案解答： 解：设 5×2m+1=n2 其中 n 为正整数，=n就 5×2m2 1=n+1 n 1， 5×2m 是偶数， n 为奇数，设 n=2k 1其中 k 是正整数， 就 5×2m=4k k 1，即 5×2m 2=k k1明显 k 1， k 和 k 1 互质，或或， 解得： k=5 ， m=4 因此，满意要求的整数m 只有 1 个 故答案为： 1点评： 此题考查了完全平方数的学问此题难度较大，解题的关键是将原式变形，可得5×2m=n2 1=n+1 n1，然后得到 n 为奇数，就可设 n=2k 1其中 k 是正整数，从而得到方程组9. 7 分在 ABC 中，已知 AB=AC ， A=40 °，P 为 AB 上一点， ACP=20 °，就=考点 ： 全等三角形的判定与性质；解直角三角形；专题 ： 运算题；分析： 作 AD BC 于点 D ，就点 D 是 BC 的中点，在ABC 外作 CAE=20 °，就 BAE=60 °，作 CE AE ，PF AE ，从而证明 ACE ACD ，结合全等三角形的性质及含30°角直角三角形的性质可得出答案 解答： 解：作 AD BC 于点 D，就点 D 是 BC 的中点，在 ABC 外作 CAE=20 °，就 BAE=60 °，欢迎下载精品学习资源作 CE AE ， PF AE ，就 CE=CD 角平分线的性质 ， 在 ACE 和 ACD 中， ACE ACD HL ， 所以 CE=CD=BC 又由于 PF=PAsin BAE=PAsin60=AP， PF=CE， 所以AP=BC，因此=故答案为：点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出帮助线，需要我们娴熟全等三角形的判定及 30°角直角三角形的性质欢迎下载精品学习资源10. 7 分已知实数a，b，c 满意 abc= 1，a+b+c=4 ，就222=a +b +c欢迎下载精品学习资源考点 ：分式的混合运算；专题 ：分析：运算题；把 a2 3a 1 变形后，将abc= 1，a+b+c=4 代入得到结果为ab 1c1，同理将已知等式的其次、三个分母变形，将已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法就运算，整理后将 abc= 1， a+b+c=4 代入求出 ab+ac+bc的值，将所求的式子利用公式 a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 变形后，将 a+b+c 及 ab+ac+bc 的值代入即可求出值解答： 解： abc=1， a+b+c=4， a2 3a 1=a2 3a+abc=abc+a 3=abc b c+1=ab1c 1，=，同理可得：=，=，又+=，+=，=，即 a1b1c 1= a 1+b 1+c 1， 整理得：abc ab ac bc+a+b+c 1=a+b+c 3，将 abc= 1，a+b+c=4 代入得： ab+bc+ac= ，欢迎下载精品学习资源就 a2+b2+c 2=a+b+c2 2ab+bc+ac=故答案为：点评： 此题考查了分式的混合运算，利用了整体代入的数学思想，其技巧性较强，其中把已知等式的各分母进行适当的变形是解此题的关键三、解答题共 3 小题11. 20 分已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积考点 ： 三角形边角关系；勾股定理；三角形的外接圆与外心；分析： 设直角三角形的三边长分别为a， b， cab c，就 a+b+c=60 ，明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求 c 的值；由 ab c 及 a+b+c=60 得 60=a+b+c 3c，所以 c 20由 a+b c 及 a+b+c=60 得 60=a+b+c 2c，所以 c 30即可求得 c 的取值范畴， 然后由勾股定理可得ab60a+b+1800=0 ，然后分析求得 a， b 的值，继而求得它的外接圆的面积解答： 解：设直角三角形的三边长分别为a， b，cc 是斜边，就 a+b+c=60 ab c，a+b+c=60 ， 60=a+b+c 3c， c 20 a+b c， a+b+c=60 ， 60=a+b+c 2c， c 30又 c 为整数， 21c29=c依据勾股定理可得： a2+b22，把 c=60 a b 代入，化简得： ab 60 a+b+1800=0 ， 60 a60 b=1800=2 3 ×32 52，× a， b 均为整数且 ab， 只可能是或解得或， 三角形的外接圆的直径即为斜边长c， 当 a=20，b=15 时， c=25 ，三角形的外接圆的面积为；当 a=10， b=24 时， c=26，三角形的外接圆的面积为169点评： 此题考查了直角三角形的性质、直角三角形外接圆的性质以及不等式组的应用此题难度较大，解题的关键是把握三角形的外接圆的直径即为斜边长c，把握不等式组的应用12. 25 分如图， PA 为 O 的切线， PBC 为 O 的割线， AD OP 于点 D， ADC 的外接圆与 BC 的另一个交点为 E证明： BAE= ACB 欢迎下载精品学习资源考点 ： 四点共圆；切割线定理；相像三角形的判定与性质；射影定理；欢迎下载精品学习资源分析： 第一里射影定理得出PA2=PD.PO， AD2=PD.OD ，进而得出 PB.PC=PD.PO，即 D、 B、 C、O 四点共圆，欢迎下载精品学习资源再利用 PBD COD 得出 BD .CD=PD .OD=AD 2，由 BDA ADC 得出 AB 是 ADC 的外接圆的切线，即可得出 BAE= ACB 解答： 证明：连接 OA ， OB ，OC， BD OA AP ， AD OP，=P B.P C， 由射影定理可得：PA2=PD.PO， AD 2=PD .OD 5 分又由切割线定理可得PA2 P B.P C=PD.PO， D、B 、C、O 四点共圆， 10 分 PDB= PCO=OBC= ODC， PBD= COD ， PBD COD ， 15 分 BD .CD=PD .OD=AD 2，又 BDA= BDP+90 °= ODC+90 °= ADC ， BDA ADC ， 20 分 BAD= ACD ， AB 是 ADC 的外接圆的切线， BAE= ACB 25 分点评： 此题主要考查了四点共圆以及相像三角形的性质与判定和射影定理得出等学问，依据已知得出D、B、 C、O 四点共圆以及AB 是 ADC 的外接圆的切线是解题关键13. 25 分已知抛物线的顶点为 P，与 x 轴的正半轴交于 Ax 1，0、Bx 2，0 x1 x2两点， 与 y 轴交于点 C，PA 是ABC 的外接圆的切线设M 0，假设 AM BC ，求抛物线的解析式欢迎下载精品学习资源考点 ： 二次函数综合题；分析： 利用公式法求出抛物线的顶点坐标，再令x=0 ，求出此时对应的y 值，即 C 的纵坐标，设 ABC 的外接圆的圆心为 D ，就点 P 和点 D 都在线段 AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为 3b，m再利用根与系数的关系求出 AE 的值，利用射影定理和切线的性质即可求出m 的值，进而求出 c 的值，最终利用相像三角形的性质求出 b 的值，从而求出抛物线的解析式解答： 解： 抛物线中，a= ， b=b， c=c，+c 点 P 的横坐标为：=3b，纵坐标为：=b2， 点 P 的坐标为，令 x=0 ，就 y=c ， 点 C0， c，设 ABC 的外接圆的圆心为D ，就点 P 和点 D 都在线段 AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为 3b， m 明显， x1，x 2 是一元二次方程的两根， 又 AB 的中点 E 的坐标为 3b， 0， AE=欢迎下载精品学习资源 PA 为D 的切线， PA AD ， 又 AE PD， 由射影定理可得AE2=PE.DE ，即，又易知 m 0，欢迎下载精品学习资源 可得 m= 6，又 DA=DC得 DA 2=DC 2，即，把 m= 6 代入后可解得 c= 6另一解 c=0 舍去 又 AM BC，即 把 c= 6 代入，解得，另一解舍去 抛物线的解析式为欢迎下载精品学习资源点评： 此题综合性的考查了二次函数的各种性质、圆的切线的性质、平行线的性质、射影定理的运用，根与系数的关系以及相像三角形的判定和性质，题目的难度特别大欢迎下载