2022年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答.docx
精品学习资源2021 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答6 月 14 日上午 8:3011:30 一、填空题1、假设三位数 nabc 是一个平方数，并且其数字和abc 也是一个平方数，就称n 为超级平方数，这种超级平方数的个数是答案： 13个解：可顺次列举出： 100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961欢迎下载精品学习资源2 、函数 y8xx214xx248 的最大值是欢迎下载精品学习资源答案： 23 欢迎下载精品学习资源解： yx8x x68x8xxx668x，xx6欢迎下载精品学习资源其定义域为 6x为 23 8 ，当 x6 时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值欢迎下载精品学习资源3、直线 l 过点M 1,2 ，假设它被两平行线 4 x3y10 与 4 x3y60 所截得的线段欢迎下载精品学习资源长为2 ，就直线 l 的方程为答案： x7 y15 或者 7 xy5 欢迎下载精品学习资源解： 设 l 的方程为 y2k x1 ，将此方程分别与 4 x3 y10 及 4 x3 y60 联立，欢迎下载精品学习资源解得交点坐标A3k7 ,5k8与 B3k12 ,10k8，据 AB2 ，欢迎下载精品学习资源3k43k43k43k4欢迎下载精品学习资源22得55k2 ，即225k12 ，所以 k7 ， k17，分别代入所设欢迎下载精品学习资源3k43k42123k4欢迎下载精品学习资源方程，得到 x7 y15 或者 7 xy5 134 、 sin10 0cos100欢迎下载精品学习资源答案： 4 欢迎下载精品学习资源1 cos1001323 sin10 02sin 30 0 cos100cos300 sin10 0欢迎下载精品学习资源解：sin10 0cos10042sin10 0 cos10042sin10 0 cos100欢迎下载精品学习资源sin 200404 sin 20欢迎下载精品学习资源5、中意1x2x 的实数 x 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源答案：1,22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：用图像法：令y1x211，此为单位圆的上半圆，它与直线yx 交点,，欢迎下载精品学习资源22半圆位于交点左侧的图像皆在直线yx上方；或者三角函数代换法：欢迎下载精品学习资源因1x1 ，令 xcos, 0，就 ysin，由条件式1x2x ，平方得2 x21 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 x12，又有 xcos1 ，因此 x1,22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6 、假设实数x, y, z0 ，且xyz30, 3xyz50 ，就T5x4 y2z 的取值范欢迎下载精品学习资源围是 答案： 120,130 欢迎下载精品学习资源解： T5x4 y2zxyz4x3yz304x3yz欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因 4x2yxyz3xyz80 ，所以 T110 yz ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源203xyzxyz2 xz ，就 xz10 ，因x, z非负，于是 x10 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源从而由x yz30 知， yz20 ，得到 T110 yz130 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 z0, x10, y20 时取得等号欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再由 4 x2 y80 ， y0 ，就 x20 ，所以 yz30x10 ，于是欢迎下载精品学习资源T110 yz120 ，当 x20, y0, z10 时取得等号，所以 120T130欢迎下载精品学习资源7 、在前一万个正整数构成的集合1,2,10000 中，被 3 除余 2 ，并且被 5 除余 3，被 7除余 4 的元素个数是 答案： 95 个解：对于每个中意条件的数n ，数 2n 应当被 3,5,7 除皆余 1，且为偶数；因此， 2n1应当欢迎下载精品学习资源是 3,5,7 的 公倍 数， 且为奇 数； 即 2n1 是 105 的 奇倍 数，而 当 n1,2,10000 时 ，欢迎下载精品学习资源2n11,2,19999 ，由于在1,2,19999 中，共有 190个数是 105 的倍数，其中的奇倍欢迎下载精品学习资源数恰有 95个8、如图，正四周体ABCD的各棱长皆为 2 ，A1, B1,C1 分别是棱DA, DB, DC 的中点，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源以 D 为圆心， 1为半径，分别在面DAB , DBC 内作弧A1B1, B1C1，并将两弧各分成五等分，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分点顺次为A1, P1, P2, P3, P4 , B1 以及B1, Q1,Q2 ,Q3, Q4, C1，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源一只甲虫欲从点P1 动身，沿四周体外表爬行至点Q4 ，就其欢迎下载精品学习资源爬行的最短距离为欢迎下载精品学习资源答案：2sin 420 欢迎下载精品学习资源0解：作两种开放，然后比较；欢迎下载精品学习资源由于 A1B1 被A1, P1, P2, P3, P4 , B1分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为12 ，B1C1 被欢迎下载精品学习资源B , Q , Q ,Q ,Q ,C 分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为120 ，112341假设将DBC 绕线段 DB 旋转，使之与DAB 共面，这两段弧均重合于以D 为圆心，半径欢迎下载精品学习资源为 1的圆周，P1Q4 对应的圆心角为8 12 0960 ，此时，点P1, Q4 之间直线距离为2sin 480 ，欢迎下载精品学习资源假设将DAB 绕线段 DA 旋转，DBC 绕线段 DC 旋转，使之皆与DAC 共面，在所得欢迎下载精品学习资源图形中，P1Q4 对应的圆心角为7120840 ，此时，点P1, Q4 之间直线距离为2sin 420 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以最短距离是2sin 42 0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、解答题9、正整数数列a中意： a2, aa 2a1 ；证明：数列的任何两项皆互质欢迎下载精品学习资源n1n 1nn欢迎下载精品学习资源证：改写条件为an 11an an1 ，从而 an1an 1 an 11 ，等等，据此迭代得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源an 11anan1an 11anan1an2 an 21anan 1a1 a11an an 1a1，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以， anan 1an 2a11，因此当 kn， an , ak 1 欢迎下载精品学习资源10 、 25 分 H 为锐角三角形ABC 的垂心，在线段 CH 上任取一点 E ，延长 CH 到 F ，欢迎下载精品学习资源使 HFCE ，作 FDBC ， EGBH ，其中D, G 为垂足， M 是线段 CF 的中点，O1, O2 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源别为ABG,BCH 的外接圆圆心，O1,O2 的另一交点为N ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明： 1 、AA, B, D, G 四点共圆；FG欢迎下载精品学习资源2 、 O1, O2, M , N 四点共圆；证： 1 、如图，设 EGDFK ，连 AH ，O1HNMEBDC欢迎下载精品学习资源就因 ACBH , EKBH ， AHBC ，O2KFBC ，得 CA EK ， AH KF ，且CHEF ，所以CAH EKF ， AH 与 KF 平行且相等，故 AK HF ，欢迎下载精品学习资源KAB900KDBKGB ，因此，KA欢迎下载精品学习资源A, B, D, G 四点共圆；欢迎下载精品学习资源2 、据 1 ， BK 为O1的直径，作O2 的直径O1GFN欢迎下载精品学习资源BP ，连CP,KP , HP , O1O2，就HME欢迎下载精品学习资源BCPBHP900 ，所以 CP AH ，BDC欢迎下载精品学习资源HP AC ，故 AHPC 为平行四边形，进而得，O2PC 与 KF 平行且相等，因此对角线KP 与 CF 互欢迎下载精品学习资源相平分于 M ，从而O1,O2, M 是 KBP 三边的中P欢迎下载精品学习资源1212点， KM O1O2 ，欢迎下载精品学习资源而由KNB900 ， O OBN ，得 KN O O ，所以M , N , K 共线，欢迎下载精品学习资源因此 MN O1O2 ，又由 KBP 的中位线知MO 2O1BO1N ，因此四边形O1O2MN 是等腰梯欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源形，其顶点共圆11、对于任意给定的无理数a, b 及实数 r20 ，证明：圆周xayb 2r 2 上至多欢迎下载精品学习资源只有两个有理点纵横坐标皆是有理数的点欢迎下载精品学习资源证：对于点Ma, b ，用P M , r 表示上述圆周上有理点的个数；第一，我们可以作一个欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点A 0,0 , B2,2，线段 AB 中垂线 l 的方欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源程为 : xy2 , 今在 l 上取点 M12, 12，再取rMA6 ，就以 M 为圆心、 r 为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源半径的圆周上至少有A, B 这两个有理点；欢迎下载精品学习资源其次说明，对于任何无理点M 以及任意正实数 r ， P M , r2 ；欢迎下载精品学习资源为此，假设有无理点Ma, b 及正实数 r ，在以 M 为圆心， r 为半径的圆周上，至少有三欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源个有理点 Aixi , yi， xi ,yi 为有理数， i1,2,3 ，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2x1a2y1b2x2a2y2b2x3a2y3b欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源据前一等号得xxayyb1 x2y 2x2y2欢迎下载精品学习资源121211222欢迎下载精品学习资源据后一等号得xxayyb1x2y2x2y2欢迎下载精品学习资源223232233欢迎下载精品学习资源记1 x2y2x2y2t ， 1 x2y2x2y2t ，就 t, t 为有理数，欢迎下载精品学习资源22112212233212欢迎下载精品学习资源假设 x1x20 ，就由，y1y2bt1 ，因 b 为无理数，得 y1y20 ，故A1,A2 共点，矛欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源盾！同理，假设 x2x30 ，可得A2 ,A3 共点，冲突！欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设 x1x20, x2x30 ，由、消去b 得，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1x2y2y3y1y2x2x3at1 y2y3t2y1y2有理数，因 a 为无理数，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故得， x1x2y2y3y1y2x2x30 ，所以欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y1y2y3y2 ，就A , A , A 共线，这与A , A , A 共圆冲突！欢迎下载精品学习资源x1x2x3x2123123欢迎下载精品学习资源因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点于是对于全部的无理点M 及全部正实数 r ，P M , r 的最大值为 2 欢迎下载精品学习资源12 、从集合 M1,2,36中删去 n 个数，使得剩下的元素中， 任两个数之和都不是2021欢迎下载精品学习资源的因数，求 n 的最小值 答案： 17 解：因 202151331， M 中任两个元素之和不大于71 ，由于 2021 不大于 71 的正因数有 1,5,13,31,65 ，在 M 的二元子集中，元素和为5 的有 1,4 , 2,3 ；元素和为 13的有 1,12 , 2,11 , 3,10 , 4,9 , 5,8 , 6,7 ；元素和为 31的有 1,30 , 2,29 , 3,28 , 4,27 , 5,26 , 6,25 , 15,16 ；元素和为 65的有 29,36 , 30,35 , 31,34 , 32,33 ；为直观起见， 我们将其画成一个图， 每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数每条线段中至少要删去一个数；欢迎下载精品学习资源191227143530201128132314于 是18在 图17 A, BA9223629B10211516313426247D62532E33中 各至 少要 删欢迎下载精品学习资源238去 45个C数 ，图欢迎下载精品学习资源C , D 中各至少要删去 2 个数，图 E 中至少删去 5个数，总共至少要删去17 个数欢迎下载精品学习资源另一方面，删去适当的17 个数，可以使得余下的数中意条件；例如在图 A中删去欢迎下载精品学习资源12,30,4,22 ，图 B 中删去 11,29,3,21 ， C 中删去 23,5 ， D 中删去 24,6 ， E 中删去13,14,15,31,32 这时图中全部的线段都已被断开欢迎下载
