2022年三角函数的图像与性质知识点与题型归纳.docx

高考明方向1. 能画出 y sinx, ycosx, y tanx 的图象, 明白三角函数的 周期性2. 懂得正弦函数、余弦函数在 0,2 上的性质 如单调性、最大值和最小值,图象与 x 轴的交点等 ,懂得正切函数 在区间 2,2 内的单调性备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点,题型既有挑选题、填空题、又有解答题 ,难度属中低档 ,如2022 课标全国 14、北京 14 等； 常与三角恒等变换交汇命题,在考查三角函数性质的同时, 又考查三角恒等变换的方法与技巧 ,留意考查 函数方程、转化化归等思想 方法.一、学问梳理 名师一号 P55学问点二、例题分析：（一）三角函数的定义域和值域例 1（ 1）名师一号 P56对点自测 3函数 ylgsinxcosx12的定义域为解析要使函数有意义必需有sinx>0,1cosx 20,sinx>0,2k<x< 2k,即1cosx,2解得 2kx 32k3kZ 2k<x 2k, k Z.3函数的定义域为 x|2k<x 2k,kZ 3例 1（ 2）名师一号 P56高频考点例 11函数 y sinxcosx的定义域为解:1 要使函数有意义,必需有sinx cosx0,即sinxcosx,同一坐标系中作出 y sinx,y cosx,x 0,2 的图象如下列图结合图象及正、余弦函数的周期是2知,5函数的定义域为 x 2k4x2k 4,kZ.留意：名师一号 P56高频考点 例 1 规律方法1 求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组） 一般可用 三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解例 2（ 1）名师一号 P56对点自测 4x函数 y 2sin和为6 3 0 x 9的最大值与最小值之A2 3B 0C 1D 1 3解: 0x9 7 , 3 6x33 6 .sinx 63 2 ,1 .y 3, 2, ymaxymin 2 3.留意：名师一号 P56高频考点 例 1 规律方法 2求三角函数的值域的常用方法之一：利用 sinx 和 cosx 的值域 图像直接求；例 2（ 2） 8 月月考第 17 题117（满分 12 分）已知函数f x3cos2 x2cosxsin xsin 2 x （ I ）当 x0, 时,求2f x 的值域；f x3cos2 x2cosxsin xsin 2 x12cos 2 xsin 2 x2cos2 xsin 2x 2 分22 sin 2 x2 cos 2 x2222 sin2 x2 3 分4x0, 时, 2x2, 5444, 4 分sin2 x2,1, 5 分42f x1,22 ,即 f x 的值域为 1,22 . 6 分留意：名师一号 P56高频考点 例 1 规律方法 2求三角函数的值域的常用方法之二：化为求yAsinxb 的值域如：ya sin xbcosx合一变换yAsin x ya sin2 xbsin x cos xccos2 x降幂yd sin2 xecos2xf合一变换yA sin2xb留意弦函数的有界性！变式: 名师一号 P58 特色专题典例 1如函数 fx asinxbcosx 在 x2,就常数 a, b 的值是 3处有最小值Aa 1, b 3B a 1, b 3 Ca 3,b 1D a 3,b1解:函数 fxasinxbcosx 的最小值为a2b2. fx a2 b2sinx其中cosa a2b2,sinb22 ,a b a2b2 2, 就31a 3,解得b1.f 3 2 a2b 2,【名师点评】解答此题的两个关键：引进帮助角,将原式化为三角函数的基本形式；利用正弦函数取最值的方法建立方程组例 23 名师一号 P56高频考点例 12 72当 x6, 6 时,函数 y3sinx 2cosx 的最小值是,最大值是 71解: x6, 6 , sinx 2,1 .又 y 3 sinx2cos2x3sinx 21 sin2x2172 sinx48.4时,当 sinx 1ymin78；当 sinx1sinx1 时, ymax 2. 2或留意：名师一号 P56高频考点 例 1 规律方法 2求三角函数的值域的常用方法之三：把 sinx 或 cosx 看作一个整体,转换成二次函数求值域练习: 补充（1） ）求函数f xtan2 xtan2 x1的值域1【答案】1,1（2） ）求函数f x 2sin 2 x1x0,的值域sin 2 x2【答案】3,f x2sin 2 x13sin 2 xcosxsin 2x2sin x cosx3tan2 x1113tan x2tan x2tan xx0,2f x1tan x02 3tan x132tan x留意： 求三角函数的值域的常用方法之三： 求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域留意约束条件三角函数自身的值域！例 2（ 4） 补充求函数f xsin x cos xsin xcosx 的值域1【答案】22,1留意： 求三角函数的值域的常用方法之四：名师一号 P56问题探究 问题 3如何求三角函数的值域或最值？形如 yasinxcosxbsinx±cosxc 的三角函数,可先设 tsinx±cosx,化为关于 t 的二次函数求值域 或最值利用 sin2 xcos2 x1转化为二次函数在指定区间上的值域问题变式:求函数f xsin x cos xsin xcosx 的值域例 2（ 5） 详见 第一章其次讲函数值域7数形结合法： 例 72名师一号 P14问题探究问题（ 6）当一个函数图象可作时, 通过图象可求其值域和最值； 或利用函数所表示的几何意义, 借助于几何方法求出函数的值域 补充 如两点间距离、直线斜率等等求函数 y4sin x2cos x1 的值域4解: y4 sin x1 4sin x214可视作单位圆外一点2 cos x2cos x2P2,1 与圆 x24y1上的点cosx,sin21x 所连线段斜率的 2 倍, 设过点 P2,的点的直线方程为4y1k x42k12 即kxy2k104令41 解得 k1k 23 535或 k412答案：, 2 6留意： 求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法练习： 求函数 ycosx1xsin x20,的值域答案：0, 43变式： 求函数 ycos x1x,的值域sin x222答案：0, 12拓展: 8 月月考第 16 题2 sin x2x2x函数 f x2x24cosx的最大值是M ,最小值是m,就 Mm 的值是.2 sinx2x2x4sin xcosx2x2xsin xxf x2x2cosx2x2cosx12x2cosx,记 g xsin22xxx,就cos xg x 是奇函数且f x1g x ,所以 fx 的最大值是 M1gxmax ,最小值是 m1g x min ,由于g x 是奇函数,所以 gxmaxg xmin0 ,所以 Mm1g x max1gxmin2 .（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性例 1（ 1）名师一号 P56对点自测 5设函数 fxsin 2x xR,就 fx是 2 ,A.最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的偶函数C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数答案 B例 1（ 2）名师一号 P57高频考点例 3（2）2022 ·新课标全国卷 在函数 y cos|2x|, y |cosx|, y cos 2x , y tan 2x 中, 最小正周期为 的所64有函数为 ABCD ；由解：由于 y cos|2x| cos2x,所以该函数的周期为22函数 y |cosx|的图象易知其周期为；函数 y cos 2x 的周期6为 22 ；函数 y tan 2x 4 的周期为数是,应选A.,故最小正周期为的函2留意：名师一号 P56问题探究 问题 1如何求三角函数的周期？(1) 利用周期函数的定义(2) 利用公式：yAsinx和 y Acosx 的最小正周期为ytanx的最小正周期为 2|,|.|例 1（ 3）名师一号 P58 特色专题典例 23函数 fx sin x sinx >0相离为 2,就 邻两对称轴之间的距【规范解答】相邻两对称轴之间的距离为2,即 T 4.fx sin x sinx 1 sinx 3 cosx sinx 33222sinx 3cosx3sin x ,又由于 fx 相邻两条对称轴之26间的距离为 2,所以 T 4,所以 24,即 .2留意：【名师点评】函数 fx Asin x ,fx Acos x 图象上 一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的肯定值是函数的半周期2A .在解决由三角函, 纵坐标之差的肯定值是| |数图象确定函数解析式的问题时,要留意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特别点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等 练习 : 加加练 P3第 11 题例 2（ 1）名师一号 P57高频考点例 3（ 1）x (1) 如函数 fxsin30,2 是偶函数,323就 2A. B. 2C. 3D. 5解：1 fxx f0 ±1.sin3是偶函数,sin3±1,3 k2kZ 3k 3 Z 2 k2 .应选又 0,2 ,当 k0 时, 3C.变式：如函数 fxx0,2 是奇函数,就 ？sin3例 2（ 2）名师一号 P57高频考点例 3（ 3）3假如函数 y3cos2x 的图象关于点4 3 ,0中心对称,那么 |的最小值为 6432A. B. C. D. 解： 3由题意得423cos 2×3 3cos3 2 3cos 2320,3 k 2,k Z. k k Z,取 k 0,得 |的最小值为 6,6.留意：【规律方法】(1) 如 fxAsinx为偶函数,就当x0 时, fx取得最大或最小值,如 fx Asinx 为奇函数,就当 x 0 时, fx 0.(2) 对于函数 y Asinx ,其对称轴肯定经过图象的 最高点或最低点, 对称中心肯定是函数的零点, 因此在 判定直线 x x0 或点x0,0是否是函数的对称轴或对称中心 时,可通过检验 fx0的值进行判定名师一号 P56问题探究 问题 4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？ 如 fxAsinx 为偶函数,就当 x0 时, fx取得最大值或最小值如 fxAsinx 为奇函数,就当 x0 时, fx 0.假如求 fx的对称轴,只需令 x 2 kkZ ,求 x. 补充 结果写成直线方程！ 假如求 fx的对称中心的横坐标,只需令 x kkZ 即可 补充 结果写点坐标！同理对于 yAcosx,可求其对称轴与对称中心,对于 yAtanx可求出对称中心练习 1：名师一号 P58 特色专题典例 3已知 fx sinx 3cosxx R,函数 y f x | 为偶2函数,就 的值为【规范解答】先求出 fx 的解析式,然后求解3 fx sinx 3cosx 2sin x .3 fx 2sin x .函数 f x 为偶函数, 3即 6 kk Z k, k Z , 2又 | 2, 6.练习 2：计时双基练 P247第 3 题（四）三角函数的单调性例 1（ 1）名师一号 P56对点自测 6以下函数中,周期为,且在 上为减函数的是 22A. y sin 2x C y sin x4 , 222B. y cos 2x D y cos x 2,解析由函数的周期为,可排除 C, D.又函数在 上为减函数,排除B,应选 A. 4练习 1：计时双基练 P247第 7 题函数 ycos42x的单调递减区间为练习 2: 加加练 P1第 11 题（2） ）名师一号 P57高频考点例 24已知函数 fx 4cosx·sin x >0 的最小正周期为 .(1) 求 的值；2(2) 争论 fx在区间 0, 上的单调性4解 ： 1 fx 4cosx·sin x 22 sinx·cosx 222 2.cos x 2sin2x cos2x22sin 2x 4由于 fx的最小正周期为 ,且 >0.从而有 21. ,故 242由1 知, f x 2sin 2x 2.,就如 0 x 2 2x 4 54.4当 2x 4 4 2,即 0 x8时, fx单调递增；当 2x 2 5 4 4 ,即8 x时, fx单调递减 28综上可知, fx在区间 0, 上单调递增, 在区间8, 2 上单调递减留意：名师一号 P56问题探究 问题 2如何求三角函数的单调区间？(1) 求函数的单调区间应遵循简洁化原就,将解析式先化简,并 留意复合函数单调性规律“同增异减”(2) 求形如 y Asinx 或 yAcosx其中,>0的单调区间时,要视“ x”为一个整体, 通过解不等式求解 但假如 <0,那么肯定先借助诱导公式将 化为正数,防止把单调性弄错例 2名师一号 P58 特色专题典例 42022 ·全国大纲卷 如函数 fx cos2xasinx 在区 间 6,2 是减函数,就 a 的取值范畴是【规范解答】先化简,再用换元法求解fx cos2x asinx 1 2sin2x asinx. 令 t sinx, x6 , 2 , t11 .,22<t<1 , gt 1 2t2 at 2t2 at 1 1,由题意知a 1 2× 22a 2. a 的取值范畴为 , 2课后作业一、计时双基练 P247 基础 1-11 、课本 P56 变式摸索 1二、计时双基练 P247 培优 1-4 课本 P56 变式摸索 2、3 预习 第五节练习：1、设函数 fx2sinx如对任意 xR,都有25fx1fxfx2成立,就 |x1 x2|的最小值为 1A4B 2C 1D.2分析： fx的最大值为 2,最小值为 2,对. x R, 2fx2.取到最值时x k, |x1 x2|取最小值,即2fx1为最小值, fx2为最大值且 x1, fx1, x2, fx2为相邻的最小 大值点,即半个周期T解析： fx的周期 T 4, |x1x2|min2应选 B. 2.2、为了使函数 ysinx0 在区间 0,1上至少显现 50次最大值,求的最小值；3、（12 天津文 7）将函数f xsinx0 的图像向右平移个单位长度, 所得图像经过点4值是 3,0 ,就 的最小4特别情形 - 三角函数的奇偶性例 2 补充（1）（08.江西）函数f xsin xx是（ ）sin x2sin2A以 4为周期的偶函数 B 以 2为周期的奇函数C以 2为周期的偶函数 D 以 4为周期的奇函数【答案】 A（ 07 年辽宁理） 已知函数f xsinx sinx 2cos2x ,xR662（其中0 ）（ I ）求函数 f x 的值域；（ II ）如对任意的aR ,函数yf x , x a, a的图象与直线 y1 有且仅有两个不同的交点,试确定的值（不必证明）,并求函数yf x, xR 的单调增区间答案：（I ） fx（ II ） T,22sinx16k, k633 , 1kZ变式： 求函数yf x, x0,2的单调增区间