2022年三角函数及解三角形知识点总结2.docx
1. 任意角的三角函数的定义：设是任意一个角,P x, y 是的终边上的任意一点（异于 原点 ）, 它 与 原 点 的 距 离是rx2y20si ny , cosx, 那 么rr ,tany , x0 x三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关；2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦,三切四余弦）sincostan3. 同角三角函数的基本关系式：ya的终边P（ x,y rox（ 1）平方关系：sin 2cos21,1tan21cos2（ 2）商数关系：tansin cos（用于切化弦）平方关系一般为隐含条件,直接运用；留意“1”的代换4. 三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成k形式,利用口诀：奇变偶不变,符号看象限）2sin2kxsin xsinxsin xsinxsin x） cos2ktan2kxcos xxtan x） cosxtanxcos x）tan xcos tanxcos xxtan x）sincosxxsin xcosx）sin2cos）sincostanxtan xcos2sincos2sin25. 特殊角的三角函数值度030456090120135150180270360弧度02353264323462sin01223132122222010cos13210122222310122tan03313无31330无06. 三角函数的图像及性质函性 质数ysin xycos xytan x图像定义RR域x xk,kZ2值1,11,1R域当 x2kymax最当 x2kkZ时,k21；Z时,k1Z时,值当 x2k2ymax1 ；当 x2 k既无最大值也无最小值yminkZ时, ymin1周期22性奇奇函数偶函数奇函数偶性在22k,22k在2k,2 kkZ单调性kZ上是增函数；上是增函数；在k2, k2在22 k,32在 2k,2kkZ2kkZ上是增函数上是减函数kZ上是减函数对称中心对称性对称中心 k,0kZkk2,0kZ对称中心,02kZ对称轴 xk2kZ对称轴 xkkZ无对称轴7. 函数 yAsinx 图象的画法 ：“五点法”设Xx,令 X 0, 3, 2求出相应的 x 值,运算得出五22点的坐标,描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法；8.图像的平移变换 ： 函数 yA sinxk 的图象与 ysin x 图象间的关系 ：要特殊留意 ,如由ysinx得到ysinx的图象,就向左或向右平移应平移| 个单位例：以 ysin x 变换到 y4sin3 x 为例3ysin x 向左平移3个单位（左加右减）ys i n x3横坐标变为原先的13倍（纵坐标不变）ysin 3x3纵坐标变为原先的4 倍（横坐标不变）y4sin3x3ysin1x 横坐标变为原先的3倍（纵坐标不变）ysin 3x向左平移个单位 （左加右减）9ysin 3 x9sin3x3纵坐标变为原先的4 倍（横坐标不变）y4sin3x3留意：在变换中转变的始终是 x；9、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：1 ） sin2 ） sinsinsincoscossinsincoscos3 ） cos4 ） coscoscoscoscossinsinsinsin5 ）tantantant a nt a nt a n1t a nt a n1tantan6 ）tantantantantantan1tantan1tantan7a sinb cos=a2b2 sin 其中 , 帮助角所在象限由点a, b 所在的象限打算 ,sinba 2b2,cosaa2b2, tanb,该法也叫合一变形 .a81 1tan tantan41tan1tantan410、二倍角公式（1） sin 2a2sin a cosa（2） cos 2a（3） tan 2acos2 asin 2 a2 tana12 sin 2 a2 cos2 a11tan2 a11. 降幂公式：（ 1）cos2 a1cos 2 a 2（ 2）sin 2 a1 cos 2a 212. 升幂公式（1） 1cos2 cos22（ 2） 1cos2 sin 22（3） 1sinsin2cos 22（ 4） 1sin 2cos2（5） sin2 sincos2213. 三角变换：函数名称变换：三角变形中经常需要变函数名称为同名函数；采纳公式：a sinb cosa 2b 2 sin 其中cosaa 2b2,sinba2b2 ,y比如：sin x3 cosx123 2 1213 2sin x3123 2cos x212sin x3 cos x22sinx cos3cos x sin 32 sin x 3留意 : “凑角”运用：,1214、三角形中常用的关系：sin Asin BC ,cos AcosBC ,sin A2cos BC ,2sin 2 Asin 2 BC ,cos 2 Acos2 BC 常见数据：sin15cos7562 ,sin 75cos15462 ,4tan1523 ,tan7523 ,15、正弦定理： 在C 中, a 、b 、c分别为角、C 的对边, R 为C的外接圆的半径,就有abc sinsinsin C2 R （ R是三角形外接圆半径） 注：正弦定理的变形公式： a2R sin, b2 Rsin, c2 Rsin C ； sina, sin2Rbc, sin C；2 R2R a : b : csin: sin: sin C2216、余弦定理：在C 中,有a 2b2c22bc cos, ba 2c22ac cos, ca2b 22ab cos C注：余弦定理的推论： cosb2c22bca 2,cosa 2c22acb2,cos Ca 2b2c22ab17、三角形面积公式： SC1 bc sin1 ab sin C1 ac sin222S ABC1两边之积2两边夹角的正弦值S ABC1 底 高2注：（ 1）假如一个三角形两边的平方和等于第三边,那么第三边所对的角为直角；假如小于第三边的平方,那么第三边所对的角为钝角；假如大于第三边的平方,那么第三边所对角为锐角；（课本第 6 页右下角）例如 a 、b 、c 是C 的角、 、C 的对边,就：如 a 2b 2c2 ,就C90 ；如 a 2b 2c2 ,就90C180,C为钝角如 a 2b 2c2 ,就 0C90 ；C为锐角（ 2）在三角形中一些重要的学问点；1. ABC, A, B, C0, 2. 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边；3. 大角对大边,小角对小边,等角对等边；4. 在三角形中,假如某一边不是最大的边,那么这条边所对的角肯定是锐角；5. 在三角形中,假如某一边是最大的边,那么它所对的角可能是锐角,直角, 钝角；
