2022年不等式恒成立问题A.docx
不等式恒成立问题 A作者：日期：2不等式恒成立问题一、教学目标高中数学的恒成立问题始终以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，为此我确定本节课的学习目标；学问目标：让同学把握不等式恒成立求参数范畴的几种常见方法；才能目标：让同学依据不同条件娴熟挑选求解简洁恒成立问题的方法；情感目标：通过同学沟通合作，探究争论，让同学感受学习的欢乐与成就感；二、教学重点、难点重点：明白恒成立问题的几类解法，特别是把握恒成立问题转化成求最值问题；难点：能依据不同条件挑选恰当的方法解决恒成立问题；三、教学方法本节课主要通过一次函数、二次函数的单调性，让同学通过争论、 合作来学习恒成立问题的几种解法；主要数学思想：转化与化归，函数与方程、数形结合；四、教学过程（一）创设情境1. 引入生活中的实例高二期中考试终止了，几人喜悦几人愁！教室外面的那个同学考试成果比我们26 班每个同学都低， 用不等式的学问怎样表达这种关系？2. 提出数学问题 ykx 26kxk8 的定义域为 R，求 k 的取值范畴；21如函数f xlog a xlog ax 的定义域为（ 0 ，），求 a 的取值范畴；2设计意图：让同学从实际生活中感受问题，有利于激发同学的学习爱好和求知欲望；（二）引入课题1. 变更主元法师生共同复习一次函数的图象和性质得出 fxaxb a0xm,n 时f x0 恒成立f m0fn0fx 0 恒成立fm0fn0例 1设函数fxmx 2mx6m ，如对于 m2 , 2， fx 0 恒成立，求实数 x 的取值范畴；解析：此题按常规思路是分m=0是一次函数， m 0 时， fx 是二次函数，两种情形不简洁求x 的范畴， 因此我们转化主元，把m 看成自变量， x 看成参数，这就转化成一次函数问题，问题就变得简洁求解；解： fxmx 2mx6mmx2x16令 gxmx2x160由题意g m0 恒成立g 20x 2x4 0xRg20x 2x2 01x2完成本例后，让同学总结什么情形下可以变更主元，如何区分谁是主元，谁是参数？ 本例仍有没有其它解法可能有同学提到gm 0 ，恒成立转化为求gm max 0 ，老师勉励同学积极摸索；2. 化归求最值2（ 1 ） axbxc0 在 R 上恒成立问题；这类问题同学由于刚刚学完一元二次不等式的解法，很简洁懂得导学案上的式子，老师不予重复讲解例 2ykx 26kx k8 的定义域为 R，求 k 的取值范畴；让同学独立完成，其中有些同学可能遗忘争论通过本例让同学感受学以致用；k0 时，老师加以强调，本例正是本节提出的问题之一，完成本例后，让同学反思在R 上恒成立后留意的问题；（ 2 ）二次函数在给区间上恒成立问题，如：fxx 22ax2 ，当 x-1, 时， fx 0 恒成立，求 a 的取值范畴；分析：二次函数在给区间上恒成立，将不仅仅是判别式小于0 问题，一般转化为求函数的最值；f xax2bc a0b在区间 m, n 上恒成立x2abmnbbmn2a或2a或2abf m0f m0f 02a（找同学试着讲解）解： fxa 即 x22ax2a0令 g xx 22ax2a1 / 6对称轴 xaa-1a-1g1 °xming 10a30 3 a 1a1a 1g2 °xmingaa2a20a2a201a1综上：3 a1通过变式，我们熟悉到二次函数给区间上，恒成立问题可以转化为二次函数求最值问题；即：大于 0恒成立求最小值大于0小于 0恒成立求最大值小于0得到上述结论之后， 让同学回忆例 1f xmx2mx6m ，老师将条件改为 x1,3，f x0恒成立，求 m 范畴；即例 3.引入 3分别参数法将含参数的恒成立式子中的参数分别开来，化成形如a f x 或afx恒成立的形式就 af x 恒成立a fx maxaf x 恒成立a fx min例 3设函数f xmx2mx6m ，如对于 x1,3 ， f x0 恒成立，求实数 m 的取值范畴师生共同反思总结：给区间上恒成立问题，分别变量求最值，是最常见的最优先考虑的方法；为了突出本节重点，我设计了当堂检测（5 分钟）如函数f xx2ax2 当 x1, 时，f xa 恒成立，求 a 的取值范畴；5 分钟后收起，在投影仪上展现同学的学习成效；现在我们回到本节提到的问题引入4数形结合例 4x2log ax 对 v0,1恒成立，就实数 a 的取值范畴是2 1 ，1）；16分析有些恒成立问题可以借助函数图象来解2 / 6即在区间 I 上，fx gx函数 fx 的图象在函数 gx 图象上的上方；解：令2y1x ， y2log a x ，由题意0 a1在同一坐标系下做出函数的图象如图11当 x 时， y2411如 y11, y2241此时log a421a=16 1a116（这道题让导学案上做出来的同学讲解，树立榜样；）（三）反思总结（让同学自己总结，老师补充） 不等式恒成立问题有哪些方法？1. 变更主元利用函数与方程；2. 用一元二次方程根的判别式；3. 分别变量求最值；4. 数形结合；（四）小试牛刀例 5如不等式 x2ax10 对于一切 x510, 恒成立，就 a 的最小值为（）2A.0B. 2C. 2D. 3我让同学分小组争论、探究、解决上述问题能想出几种方法？ 勉励同学积极摸索，依据各种解法的特点小试牛刀；通过本例，让同学分析归纳上述解法的特点，明确类别，从而突破本节的难点；（五）课后作业（见导学案）通过布置相应的练习题，让同学把学的学问得以巩固、提高；3 / 6
