2022年专题3根与系数的关系.docx

精品学习资源专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例 1.已知关于 x 的方程 mx2-2m-1x+ m-2=0 1当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根；2假设 x1、x2 为方程的两个不等实数根，且中意x1 2+ x2 2-x1 x2 =2 ，求m的值例 2.已知关于 x 的方程 x2-4mx+4 m2-9=0 1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为 x1， x2，其中 x1 x2假设 2x1= x2+1 ， 求 m 的值欢迎下载精品学习资源例 3已知关于 x 的方程 mx2+ 4-3mx+2 m-8=0 m01求证：方程有两个不相等的实数根；22设方程的两个根分别为x1、x2x1x2，假设 n= x2-x1-1m，且点 Bm，n在 x 轴上，求 m的值.例 4. 已知关于 x 的一元二次方程： x2-2m+1 x+ m2+5=0有两个不相等的实数根1求 m 的取值范畴；2假设原方程的两个实数根为 x1 、x2，且中意 x1 2+ x2 2=| x1|+| x2|+2 x1x2，求 m的值欢迎下载精品学习资源2例 5. 已知关于 x 的方程 x2-2k+1 x+4 k-1=0 1求证：无论 k 取什么实数值，这个方程总有实数根；2能否找到一个实数 k，使方程的两实数根互为相反数？假设能找到， 求出 k 的值；假设不能，请说明理由3当等腰三角形 ABC 的边长 a=4 ，另两边的长 b、c 恰好是这个方程的两根时，求 ABC 的周长训练欢迎下载精品学习资源1. 已知关于 x 的方程 mx2-m+2 x+2=0 m01求证：方程总有两个实数根；112已知方程有两个不相等的实数根，中意，求 m的值欢迎下载精品学习资源.+ .=12. 已知一元二次方程 x2-2x+ m=01假设方程有两个实数根，求 m 的范畴；2假设方程的两个实数根为 x1 和 x2，且 x1+3 x2=3 ，求 m的值3假设方程的两个实数根为 x1 和 x2，且 x12 -x22=0 ，求 m 的值欢迎下载精品学习资源3. 已知关于 x 的方程 x2+ m-3x-m2m-3=01证明：无论 m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于26？假设存在，求出中意条件的正数 m 的值；假设不存在，请说明理由4. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-6x-k2=0 k 为常数1求证：方程有两个不相等的实数根；2设 x1、x2 为方程的两个实数根，且 2x1+ x2=14 ，试求出方程的两个实数根和 k 的值欢迎下载精品学习资源5. 已知关于 x 的方程 x2-2k-3x+ k2+1=0有两个不相等的实数根 x1、x21求 k 的取值范畴；2假设 x1、x2 中意|x1|+| x2|=2| x1 x2 |-3，求 k 的值6. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-m-2x+ 1m-3=021求证：无论 m 取什么实数时， 这个方程总有两个不相等的实数根；2假如方程的两个实数根为 x1， x2，且 2x1+ x2= m+1 ，求 m 的值欢迎下载精品学习资源7. 已知关于 x 的一元二次方程 a-1x2-5x+4 a-2=0 的一个根为 x=3 1求 a 的值及方程的另一个根；2假如一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长8. 设 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+2 ax+ a2+4 a-2=0 的两实根，当a 为何值时， x1 2 + x2 2 有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：1 方程有两个不相等的实数根， = b2- 4ac= -2m-1 2- 4mm-2=4 m+1 0 ，欢迎下载精品学习资源解得： m -1，二次项系数0 ， m 0 ，4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1当 m -4且 m0 时，方程有两个不相等的实数根；欢迎下载精品学习资源2 x1、x2 为方程的两个不等实数根，欢迎下载精品学习资源 x1 + x2= 2.-1.， x1 x2= .-2 ，.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 x12+ x22- x1 x2 = x1 + x22-3 x1x2 = 2.-1.2 -3.-2.=2 ，欢迎下载精品学习资源解得： m1= 2+1 ， m2 = -2+1 舍去； m= 2+1 例2.解：1 = -4m2 -4 4m2 -9 =36 0 ，此方程有两个不相等的实数根；22 x= 4. ±36 =2 m±3， x1=2 m-3 ， x2=2 m+3 ， 2x1= x2+1 ， 2 2m-3=2 m+3+1 ， m=5 例3.解：1 = 4 -3 m2-4m2 m-8 ，= m2 +8 m+16= m+4 2又 m0 m+4 2 0 即 0方程有两个不相等的实数根；2方程的两个根分别为x1、x2x1 x2，欢迎下载精品学习资源 x + x4-3.= -， x .x2.-8，=欢迎下载精品学习资源12.12.1n= x2-x1- 2m，且点 Bm， n在 x 轴上，欢迎下载精品学习资源 x2-x1 1214-3.22.-81欢迎下载精品学习资源-2m=.1. + .2 -4.2.1 -m= .-4 ×.- m=02欢迎下载精品学习资源2，解得： m= -2， m=4 ， m 0， m=4 例4.解：1 方程 x2-2m+1 x+ m2+5=0有两个不相等的实数根， = -2m+1 2 -4 m2+5 =8 m-16 0 ，解得： m 2 2 原方程的两个实数根为x1 、x2 ， x1 + x2=2 m+1 ， x1.x2 = m2 +5 m 2 ， x1 + x2=2 m+1 0 ，x1 .x2= m2+5 0， x1 0、x2 0 x1 2+ x22=.1 + .2 2-2x1.x2 =| x1|+| x2 |+2 x1.x2 ， 4 m+1 2 -2 m2+5 =2 m+1 +2 m2+5 ，即 6 m-18=0 ， 解得： m=3 例5.证明：1 = 2 k+1 2 -16k-1 = 2 k-3 2 0，2方程总有实根；解： 2两实数根互为相反数， x1 + x2=2 k+1=0 ，解得 k= -0.5 ；欢迎下载精品学习资源23 当 b= c 时，就 =0 ， 即 2 k-32=0 ， k= 3，方程可化为 x2 -4 x+4=0 ， x1 = x2=2 ，而 b= c=2 ， b+ c=4= a 不适合题意舍去；2当 b= a=4 ，就 42 -4 2k+1 +4 k-1 =0 ，5 k= ，2方程化为 x2-6 x+8=0 ，解得 x1=4 ， x2=2 ， c=2 ， C ABC=10 ，当 c= a=4 时，同理得 b=2 ， C ABC=10 ， 综上所述， ABC 的周长为 10 训练1. 1 证明：方程 mx2 -m+2 x+2=0 m 0 是一元二次方程， = m+2 2 -8 m= m2 +4 m+4 -8m= m2- 4m+4= m-2 20 ，方程总有两个实数根；2解：方程有两个不相等的实数根，.+22欢迎下载精品学习资源由根与系数的关系可得 + =. ， = .，欢迎下载精品学习资源11 +=1 ，. .欢迎下载精品学习资源.+2. 2.+2=2=1 ，欢迎下载精品学习资源解得 m=0 ， m 0，m 无解2. 解：1 方程 x2-2 x+ m=0 有两个实数根， = -22 -4 m 0 ， 解得 m 1；2 由两根关系可知， x1+ x2 =2 ， x1.x2 = m，解方程组 .1 + .2 = 2.1 + 3.2 = 33.1 =，1解得 2.2 = 2313 m= x1 .x2= 2 × 2= 4；欢迎下载精品学习资源13 x2-x2=0 ，欢迎下载精品学习资源2 x1+ x2x1 -x2=0 ， x1+ x2 =2 0 ， x 1-x 2=0 ，方程 x2-2x+ m=0 有两个相等的实数根， = -22 -4 m=0 ，欢迎下载精品学习资源解得 m=1 3. 1 证明：关于 x 的方程 x2+ m-3 x-m2m-3=0 的判别式 = m-3 2+4 m2 m-3 =9 m-12 0 ，无论 m 为何值方程都有两个实数根；2 解：设方程的两个实数根为x1 、x2 ， 就 x1+ x2= -m- 3， x1 × x2= -m2m-3 ，令 x12+ x22 =26 ，得：x1 + x2 2-2x1x2= m-3 2+2 m2 m-3 =26 ， 整理，得 5m2 -12 m-17=0 ，解这个方程得， m= 17或 m= -1，5欢迎下载精品学习资源所以存在正数 m=175 ，使得方程的两个实数根的平方和等于26 欢迎下载精品学习资源4. 1 证明：在方程 x2-6 x-k2 =0 中， = -62 -4 × 1× -k2=4 k2 +36 36，方程有两个不相等的实数根2解： x1 、x2 为方程的两个实数根， x1+ x2=6 ， x1.x2= - k2， 2x1+ x2=14 ，联立成方程组.1 + .2. = 6，2.1 + .2 = 14解之得： .1. = 8，.2. = -2 x1.x2= -k2= -16， k= ± 4 5. 解：1原方程有两个不相等的实数根， = - 2k-3 2-4k2 +1 =4 k2-12 k+9 -4 k2- 4= -12 k+5 0 ，5解得： k ；1252 k12 ， x1+ x2=2 k-3 0， 又 x1 .x2= k2+1 0， x1 0， x2 0， |x1|+| x2|= -x1-x2= -x1+ x2 = -2k+3 ， |x1|+| x2|=2| x1 x2 |-3 ， -2 k+3=2k2+2 -3 ，即 k2+ k-2=0 ， k1=1 ， k2= -2 ，5又 k ，12 k= -2欢迎下载精品学习资源26. 解：1 = m-2 2 -4 × 1m-3= m-32 +3 0 ，无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；2 解： x1+ x2= m-2 ，2 x1 + x2= x1+ x1+ x2 = m+1 ， x1= m+1+2 -m=3 ， 把 x1 代入方程有：19 -3 m-2 + 2m-3=0解得 m= 24 57. 解：1将 x=3 代入方程中，得：9 a-1- 15+4 a- 2=0 ， 解得： a=2 ，原方程为 x2 -5 x+6= x-2x-3 =0 ， 解得： x1=2 ， x2=3 a 的值为 2，方程的另一个根为x=2 2 结合 1 可知等腰三角形的腰可以为2 或 3， C=2+2+3=7或 C=3+3+2=8三角形的周长为8 或 728. .解： = 2a2- 4 a2 +4 a-2 0， . 1又 x1+ x2 = -2 a，x1x2= a2+4 a-2 x1 2+ x22= x1+ x22-2x1 x2 =2 a-2 2-4 设 y=2 a-2 2- 4，依据二次函数的性质1 .2欢迎下载精品学习资源1当 .=时， x2+ x2 的值最小欢迎下载精品学习资源21212此时 .2 + .2 = 2 1 -2 22-4 = 1，即最小值为 1 22欢迎下载