2022年必修一--第一章-集合与函数的概念-1复习资料.docx

1集合的概念必修 1第一章集合与函数概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含义与表示集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.2常用数集及其记法N 表示自然数集， N或 N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R 表示实数集 .3集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ，或者 aM ，两者必居其一 .4集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： x | x 具有的性质 ，其中 x 为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.5集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集.6子集、真子集、集合相等【1.1.2 】集合间的基本关系名称记号意义性质示意图1AA子集A或 BBA 中的任一2A3 假 设A元 素 都 属于 BABBC ，就 A4 假 设B1 A ，就 A且C且BABBAAB或AA 为非ABAB ，且真子集或 BAB 中至少有一 元 素 不属于 A空子集2 假 设 AB且BABC ，就 AC集合相等ABA 中的任一元 素 都 属于 B， B 中的 任 一 元素都属于 A1A2BBAAB7已知集合 A 有 nn1 个元素，就它有 2n 个子集，它有2n1个真子集，它有 2n1个非空子集，它有 2n2 非空真子集 .8交集、并集、补集【1.1.3 】集合的基本运算1AAA2A3ABAABB1AAA2AA3ABAABB名称记号意义性质示意图 x | xA, 且交集AB并集ABxB x | xA, 或xB1 AABAB U A补集U A x | xU , 且xA2 A U AU3U ABU A U B4U ABU A U B【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法1含肯定值的不等式的解法不等式解集| x |a a0 x |axa| x |a a0x | xa 或xa| axb |c,| axb |c c0把 axb 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 | x |a ，| x |aa0 型不等式来求解2一元二次不等式的解法判别式b 24ac000二次函数yax2bxca0O的图象一元二次方程x1,2bax2bxc0 a0b22a4acx1x2b2a无实根的根其中 x1x2ax2bxc0 a0 x | xx1 或 xx2 x | xb2aR的解集ax2bxc0a0 x | x1xx 2的解集1函数的概念1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集，假如依据某种对应法就f ，对于集合 A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯独确定的数f x和它对应，那么这样的对应包括集合A ， B 以及 A 到 B 的对应法就 f 叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作f : AB 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同，且对应法就也相同的两个函数才是同一函数2区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数， 且 ab ，满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间， 记做 a,b ；满意 axb的实数 x 的集合叫做开区间， 记做 a, b ；满意 axb ，或 axb的实数 x 的集合叫做半开半闭区 间 ， 分 别 记 做 a, b， a,b； 满 足xa, xa, xb, xb 的 实 数 x 的 集 合 分 别 记 做 a, a,b,b 留意： 对于集合 x | axb 与区间 a, b ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必需ab 3求函数的定义域时，一般遵循以下原就： f x是整式时，定义域是全体实数 f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1 ytan x 中， xkkZ 2零负指数幂的底数不能为零假设f x是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时，就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是： 假设已知f x 的定义域为 a, b ，其复合函数f gx 的定义域应由不等式ag xb 解出对于含字母参数的函数，求其定义域，依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，仍要符合问题的实际意义4求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，假如在函数的值域中存在一个最小大数，这个数就是函数的最小大值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数，我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值判别式法：假设函数yf x可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y0 ，就在a y0 时，由于x, y 为实数，故必需有b 2 y4a yc y0 ，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法5函数的表示方法【1.2.2 】函数的表示法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系6映射的概念设 A 、 B 是两个集合，假如依据某种对应法就f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯独的元素和它对应， 那么这样的对应 包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法就f 叫做集合 A 到 B的映射，记作f : AB 给定一个集合 A 到集合 B 的映射， 且 aA, bB 假如元素 a 和元素 b 对应， 那么我们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象1函数的单调性定义及判定方法函数的性 质1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大小值定义图象判定方法假如对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2, 当 x1<x2 时，都有 fx1<fx 2，y y=fXfx fx21利用定义2利用已知函数的单调性3利用函数图象1那么就说 fx在这个区o在某个区间图象上升为增间上是 增函数x1x 2 x函数的单调性假如对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1<x2时，都有 fx1>fx 2，yfx 1y=fXfx2 4利用复合函数1利用定义2利用已知函数的单调性3利用函数图象在某个区间图o那么就说 fx在这个区x 1间上是 减函数x 2x象下降为减4利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数yf g x ，令ug x ，假设yf u为增，ug x 为增，就yf g x 为增；假设yf u为减，ugx 为减，就yf g x 为增；假设yf u 为增，ug x 为减，就 yf g x 为减；假设yf u为减，ug x 为增，就yf g x 为减2打“”函数f xxa a x0 的图象与性质yoxf x 分别在 ,a 、a , 上为增函数，分别在a,0、 0,a 上为减函数3最大小值定义一般地，设函数yf x的定义域为 I ，假如存在实数M 满意：1对于任意的xI ，都有f xM ； 2存在 x0I ，使得f x0M 那么，我们称M 是函数f x的最大值，记作f max xM 一般地，设函数yf x 的定义域为 I ，假如存在实数m 满意：1对于任意的xI ，都有f xm ； 2 存在 x0I ，使得f x0m 那么，我们称m 是函数f x的最小值，记作f max xm 4函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质【1.3.2 】奇偶性定义图象判定方法假如对于函数fx定义域内任意一个x ，都有1利用定义要先判肯定义域是否f x=fx ,那么函数关于原点对称函数的奇偶性fx叫做 奇函数假如对于函数fx定义域内任意一个x ，都有fx=fx, 那 么 函 数fx叫做 偶函数 2利用图象图象关于原点对称1利用定义要先判肯定义域是否关于原点对称2利用图象图象关于 y 轴对称假设函数f x 为奇函数，且在 x0 处有定义，就f 00 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数或奇函数的和或差仍是偶函数或奇函数，两个偶函数或奇函数的积或商是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积或商是奇函数补充学问 函数的图象1作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质奇偶性、单调性利用基本函数图象的变换作图：；画出函数的图象要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换yf xh 0,左移 h个单位h 0,右移 | h|个单位yf xhyf xk 0,上移 k个单位k 0,下移 | k|个单位yf xk伸缩变换yf x01,伸1,缩yf xyf x0 A 1,缩yAfx对称变换yf xA 1,伸x轴yf xyf xy轴yf xyf x原点yf xyf x直线y xyf 1 xyf x去掉y轴左边图象保留 y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象yf | x |yf2识图x保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去y| f x |对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，留意图象与函数解析式中参数的关系3用图函数图象形象地显示了函数的性质，为争论数量关系问题供应了“形”的直观性，它是探求解题途径， 获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法第一章集合与函数概念第一讲集合热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型 1：集合元素的基本特点例 1 2021 年江西理定义集合运算：ABz| zxy, xA, yB 设A1,2 , B0,2，就集合 AB 的全部元素之和为A 0； B 2； C 3； D 6解题思路 依据 AB 的定义，让 x 在 A 中逐一取值，让 y 在 B 中逐一取值， xy 在值就是 AB 的元素解析 ：正确解答此题 ,必需清晰集合 AB 中的元素，明显，依据题中定义的集合运算知AB =故应挑选 D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题由于背景公正，所以成为高考的一个热点，这时要充分懂得所定义的运算即可，但要特殊留意集合元素的互异性；题型 2：集合间的基本关系0,2,4 ，例 2 数集 X2n1) , nZ与Y4k1, kZ 之的关系是A XY ； B YX ； C XY ； D XY解题思路 可有两种思路：一是将X 和 Y 的元素列举出来，然后进行判定；也可依挑选支之间的关系进行判定；解析 从题意看，数集 X 与 Y 之间必定有关系，假如A 成立，就 D 就成立，这不行能；同样， B 也不能成立；而假如D成立，就 A、B 中必有一个成立，这也不行能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的方法就是严格依据题中的定义，逐个进行检验，不便利进行检验的，就设法举反例；考点二：集合的基本运算 例 3设集合 Ax x23x20 ， Bx x22 a1) xa 250（ 1） 假设 AB2 ，求实数 a 的值；2假设 ABA，求实数 a 的取值 范畴 假设 AB2 ，解题思路 对于含参数的集合的运算，第一解出不含参数的集合，然后依据已知条件求参数；解析 由于 Ax x23x201,2 ，1由 AB2 知， 2B ，从而得 224a1 a 250 ，即a 24 a30 ，解得 a1或 a3当 a1时， Bx x2402, 2，满意条件；当 a3 时， Bx x24x402 ，满意条件所以 a1或 a32对于集合 B ，由4a124a 258a3由于ABA，所以 BA当0 ，即a3 时，B，满意条件；当0 ，即a3时，B2 ，满意条件；当0 ，即a3时，BA1,2 才能满意条件，由根与系数的关系得1212a2a125a52 ，冲突a 27故实数 a 的取值 范畴是 a3【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简；同时，要留意集合的子集要考虑空与不空 ,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情形.第 2 讲函数与映射的概念求值域的几种常用方法1配方法：对于可化为“二次函数型 ”的函数常用配方法，如求函数ysin 2 x2 cos x4 ，可变为 ysin 2 x2 cos x4cos x1 22 解决 2 基 本 函 数 法 ： 一 些 由 基 本 函 数 复 合 而 成 的 函 数 可 以 利 用 基 本 函 数 的 值 域 来 求 ， 如 函 数2ylog 1 x22 x3 就是利用函数 ylog 12u 和 ux 22x3 的值域来求；3判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域；形如y一次函数二次函数如求函数 y2 x12的x2x2值域由 y2 x1得 yx 22 y1 x2 y10 ，假设 y0 ，就得 x1，所以 y0 是函数x22 x22值域中的一个值； 假设 y0 ，就由2 y1 24 y2 y10 得 3132y313 且y0 ，2故所求值域是 313 , 3213 24别离常数法：常用来求“分式型 ”函数的值域；如求函数y2 cos x cos x3的值域，由于1y2 cos x3cos x1125cos x，而 cos x11 0,2 ，所以5cos x1,5 ，故2y, 25利用基本不等式求值域：如求函数3xy2的值域x4344当 x0 时， y0 ；当 x0 时，y4 ，假设 xx0 ，就 x2x4xxx假设 x0 ，就 x4 x4xx2x 4 x4 ，从而得所求值域是3 3,4 46利用函数的单调性求求值域：如求函数y2 x 4x22x1,2的值域因 y8 x32 x2 x 4 x21 ，故函数 y422 xx2 x1,2 在 1,1 上递减、 在 21,0 上递2增、在 0, 1 上递减、在21,22上递增，从而可得所求值域为15,308 7图象法：假如函数的图象比较简洁作出，就可依据图象直观地得出函数的值域求某些分段函数的值域常用此法 ；热点考点题型探析考点一：判定两函数是否为同一个函数 例 1试判定以下各组函数是否表示同一函数？1f xx2 ，g x3 x3 ；2f xx， gxx1x0,1x0;3f x2n 1 x 2n 1， g x2 n1 x 2 n1 n N*；4f xxx1 ，gxx2x ；5f xx 22 x1， gt t 22t1 解题思路 要判定两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素； 解析 1由于是同一函数 .f xx 2x ，gx3 x3x ，故它们的值域及对应法就都不相同，所以它们不2由于函数f xx的定义域为 x,00, ，而g x1x0,1x0;的定义域为 R ，所以它们不是同一函数 .3由于当 n N*时， 2n±1 为奇数，f x2n 1 x 2n 1x ， g x2 n1 x 2 n 1x ，它们的定义域、值域及对应法就都相同，所以它们是同一函数. 4 由 于 函 数f xxx1的 定 义 域 为x x0， 而g xx 2x的 定 义 域 为x x0或x1 ，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.5函数的定义域、值域和对应法就都相同，所以它们是同一函数. 答案 1、2、 4不是；3、5是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全一样，即称这两个函数为同一函数；第5小题易错判定成它们是不同的函数；缘由是对函数的概念懂得不透，在函数的定义域及对应法就f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比方数.考点二：求函数的定义域、值域题型 1：求有解析式的函数的定义域f xx21 ，f t t 21 ，f u1u1 21 都可视为同一函 例 2. 08 年湖北函数f x1 lnx2x3 x2x 23 x4 的定义域为 A. , 42, ;B. 4,00,1 ；C.,4,00,1 ;D.,4,00,1解题思路 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范畴； 解析 欲使函数f x 有意义，必需并且只需x23x20x23x40x 23x2x 2x03x40x4,00,1 ， 故应挑选 D【名师指引】如没有标明定义域，就认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范畴， 实际操作时要留意： 分母不能为 0； 对数的真数必需为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于 0； 负分数指数幂中，底数应大于0； 假设解析式由几个部分组成，就定义域为各个部分相应集合的交集； 假如涉及实际问题，仍应使得实际问题有意义，而且留意：争论函数的有关问题肯定要留意定义域优先原就，实际问题的定义域不要漏写；题型 2：求抽象函数的定义域 例 3 2006·湖北设fxlg22x ，就 fxx2f2的定义域为xA.4,00,4；B.4, 11,4； C.2, 11,2； D.4, 22,4解题思路 要求复合函数fx2f2的定义域，应先求xf x 2 x的定义域；2, 解析 由 2x2x0 得，f x 的定义域为2x2 ，故2222.x解得 x4, 11,4；故 fx 2f2的定义域为x4, 11,4.选 B.【名师指引】求复合函数定义域, 即已知函数f x的定义为 a,b，就函数f g x的定义域是满意不等式 ag xb 的 x 的取值范畴；一般地，假设函数f g x 的定义域是 a,b ，指的是 xa, b ，要求f x的定义域就是x a,b 时g x 的值域；题型 3；求函数的值域例 4 已知函数 y2x4 ax2a6aR ，假设 y0 恒成立，求f a2 a a3 的值域解题思路 应先由已知条件确定a 取值范畴，然后再将2f a中的肯定值化去之后求值域3解析 依题意， y0 恒成立，就16a42a60，解得1a，2所以 f a2aa3a3 2217，从而4f amaxf 14 ， f amin319f ，所24以 f a的值域是 19 ,44【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值；考点三：映射的概念例 5 06 陕西为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文加密，接收方由密文明文解密，已知加密规章为：明文a, b, c, d 对应密文 a2b,2 bc,2 c3d ,4 d.例如，明文 1,2,3, 4 对应密文 5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28 时，就解密得到的明文为A 7,6,1, 4 ； B 6, 4,1,7 ； C 4,6,1,7 ； D 1,6, 4,7解题思路 密文与明文之间是有对应规章的，只要依据对应规章进行对应即可； 解析当接收方收到密文14， 9， 23， 28 时，a2b14a62bc有9b，解得4，解密得到的明文为C2c3d23c14d28d7【名师指引】懂得映射的概念，应留意以下几点：1集合 A、B 及对应法就 f 是确定的，是一个整体系统；2对应法就有 “方向性 ”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从集合B 到集合 A 的对应关系一般是不同的；3集合 A 中每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯独的，这是映射区分于一般对应的本质特点；4集合 A 中不同元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；5不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象 .第 3 讲函数的表示方法热点考点题型探析考点 1：用图像法表示函数例 1 09 年广东南海中学 一水池有 2 个进水口 ,1个出水口 , 一个口的进、 出水的速度如图甲、 乙所示 .某天 0 点到 6 点, 该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3 个论断： 进水量出水量蓄水量61 甲2 乙5丙1 0 点到 3 点只进水不出水； 2 3 点到 4 点不进水只出水； 3 4 点到 6 点不进水不出水就肯定0不正确1的论断时是间0把1你认为是符时合间题意的论断0序号都填3 4上6 时 间.解题思路 依据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可；解析 由图甲知， 每个进水口进水速度为每小时1 个单位， 两个进水口 1 个小时共进水2 个单位， 3 个小时共进水 6 个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3 点到 4 点应当是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由图丙知， 4 点到 6 点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水， 故不肯定正确；从而肯定不正确的论断是 2【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象猎取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟识基本的函数图象特点，善于从图象中发觉其性质；高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”；考点 2：用列表法表示函数例 207 年北京已知函数f x， g x分别由下表给出x123x123f x131g x321就 f g 1 的值为；满意f g xg f x 的 x 的值是解题思路 这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题；解析 由表中对应值知f g 1 = f31 ；当 x1时，f g 11, gf 1g13 ，不满意条件当 x2 时，f g 2f 23, gf 2g 31 ，满意条件，当 x3时，f g 3f 11, gf 3g13 ，不满意条件，满意f g xg f x 的 x 的值是 x2【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发觉对应关系，用好对应关系即可；考点 3：用解析法表示函数题型 1：由复合函数的解析式求原先函数的解析式1x1x 2 例 3 04 湖北改编已知f =2 ，就f x的解析式可取为1x1x 解题思路 这是复合函数的解析式求原先函数的解析式，应当首选换元法 解析 令 1x1xt ，就 xt1，ft1t 2t. t 21f x2 x.x21故应填2 x1x 2【名师指引】求函数解析式的常用方法有：换元法 留意新元的取值范畴 ； 待定系数法已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等； 整体代换配凑法 ； 构造方程组如自变量互为倒数、已知f x 为奇函数且g x为偶函数等；题型 2：求二次函数的解析式 例 4 普宁市城东中学09 届高三其次次月考 二次函数f x 满意f x1f x2x ，且f 01 ；求