2022年必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题.docx
一、学问点总结必修五第一章解三角形学问点总结及经典习题 数学教研组 1. 正弦定理 :abc2R（R: 外接圆半径）sin Asin Bsin C或变形：a : b : csin A:sinB :sin C .结论：定理： 在三角形中, 、为其内角, 就sinsin,等号当且当 = 时成立；判定三角形大小关系时,可以利用如下原理：sin A sin BA Ba bcos Acos BABa < b三角形的面积公式：S 1 absin C 1 bcsin A 1 acsin B2222. 余弦定理：a2b2b2a2c22bccos Ac22ac cosB或cos Ab2c2a2a22bcc2b2b22aca2c22abcosB.c2b2a22ba cosCcosC3. 利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：（1） ）正弦定理： 1、已知两角和一边（如A、B、c）,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、b.ASA 或AAS2、已知两边和其中一边的对角（如a、b、A）,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = 求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形 .SSA（2） ）余弦定理： 1、已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C =,求角 C.SSS2、已知两边和夹角（如 a、b、C）,应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C= ,求另一角 .SAS主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.5. 三角形中的基本关系： sin ABsin C,cosABcos C,tan ABtan C,sin ABcos C ,cos ABsin C , tan ABcot C2222226. 求解三角形应用题的一般步骤：（ 1）分析：分析题意,弄清已知和所求；（2） 建模：将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图；（3） 求解：正确运用正、余弦定理求解；（4） ）检验：检验上述所求是否符合实际意义；习题练习解三角形 A 组一、挑选题1. 在 ABC 中,如 b2asin B ,就 A 等于（ D ）A 300 或60 0B 45 0或60 0C 120 0 或60 0D 300或150 00002. 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是（B ）0A 90二、填空题B 120C 135D 1503. 在 ABC 中,如 a 2b 2bcc2 , 就A 120 0；4. 在 ABC 中,如 b三、解答题2, B30 0 ,C135 0 ,就a62 ；5. 在 ABC 中,设 ac2b, AC, 求sin B 的值；3解： ac2b, sin AsinC2sin B ,即 2sinAC cos AC4sinB cos B ,2222 sin B1 cos AC3 ,而 0B, cos B13 ,22242224 sin B2sinB cos B23133922448解三角形 B 组 一、挑选题 1在 ABC 中,A: B : C1: 2:3,就 a : b : c 等于（ C ）A 1: 2:3B 3: 2:1C 1:3 : 2D 2 :3 :1二、填空题2. 如在 ABC 中,A600, b1, SABC3, 就sinabAsin Bc=（sin C239 ）33. 在 ABC 中,如 a9, b10,c12, 就ABC 的外形是锐角三角形；4. 在 ABC 中,如 a3, b2 , c62 就A600 ；25. 在锐角 ABC 中,如 a三、解答题2, b3 ,就边长 c 的取值范畴是 5,13 ；6. 在 ABC 中, A120 , cb, a21,S0ABC3 ,求 b,c ；解： SABC1 bc sin A 23, bc4,222abc2bc o sA, bc,5而 cb所以 b1,c47. 在 ABC 中,如acos2 Cc cos2 A3b ,求证： ac2b ；222证明：a cos2 Cc cos2 A3b222 sin A1cos Csin C1cos A3sin B222即sin Asin AcosCsin CsinCcosA3sin B sin Asin Csin AC3sin B即sin Asin C2sinB , ac2b解三角形 C 组一、挑选题1. A 为ABC 的内角,就sin Acos A的取值范畴是（ C ）A. 2 ,2B. 2 ,2 C 1,2 D2,2 2. 在 ABC 中,如 a7,b3, c8 ,就其面积等于（ D ）A 12B21C 28D 63 23. 在 ABC 中,如 ac acbbc ,就 A（ C ）A 90 0B 600C 120 0D 150 0tan Aa 24. 在 ABC 中,如2 ,就 ABC 的外形是（ B ）tan BbA直角三角形B等腰或直角三角形C不能确定D等腰三角形二、解答题5. 假如 ABC 内接于半径为 R的圆,且求ABC 的面积的最大值；2 Rsin 2 Asin 2 C2ab) sin B,解： 2 Rsin Asin A2 Rsin Csin C2absin B,a sinAc sin C2absinB, a 2c22abb 2,a2b 2c22ab,cos Ca2b 2c22ab2 ,C2450c sin C2 R, c2 Rsin C2R, a 2b 22R22ab,2 R22aba 2b222ab, ab2 R221222R2Sabsin Cab, 24422Smax212R2另法： S1 ab sin C2 ab22 Rsin A2R sin B24422Rsin A42 Rsin B2R2 sinAsin B2R212cos ABcos AB2R21cosAB2 2R22212 22S21 R2此时 AB 取得等号max26. 已知 ABC 的三边 abc 且ac2b, AC,求 a: b: c ；2解： sin Asin C2sinB,2sinAC cos AC 224sinAC cos AC 22sin B1 cos AC2 ,cos B14 ,sin B2sinB cos B7222424224AC,A CB, A3B ,CB24242sin Asin 3Bsin 3cos Bcos 3sin B714444sin CsinBsincos Bcossin B714444a : b : csin A:sinB :sin C77 : 7 : 77 7. 在 ABC 中,如 abc abc3ac ,且 tanA tanC33, AB 边上的高为 43 ,求角A, B,C的大小与边 a,b, c 的长；解： abc abc3ac, a2c2b 2ac,cos B10, B602t a nAC t a nAt aCn,333,1t a nAt Ca n 1At a nCt a nt a nAt aCn 2,联3 合 tan Atan C33tan A23tan A1A750A450或得或,即00tan C1tan C23C45C75当 A750, C450时, b434326, c831, a8sin A当 A450, C750时, b4346, c431, a8sin A当 A750, B600 , C450 时, a8, b4326, c831,当 A450, B600 ,C750 时, a8, b46, c431 ；解三角形 D 组1. 在 ABC 中, sin Acos A22, AC2 , AB3 ,求tan A 的值和 ABC的面积；解法一：先解三角方程,求出角A的值；sin Acos A2 cosA45 2 ,2cos A45 1 .2又 0A180 ,A4560 , A105.tan Atan4560 131323 ,sinAsin105sin4560 sin45cos60cos45sin6026 .4S ABC1 ACAB sin A 21232624326 ；4解法二：由 sin Acos A 运算它的对偶关系式 sin Acos A 的值；sin Acos A22sin Acos A2122sinAcos A1 20A180 ,sin A10,cos A0.另解 sin 2 A 2sin Acos A 212sinAcos A3 ,2sin Acos A62+得 sin A26 ；4得 cos A26 ；4从而 tan Asin A cosA26442623 ；2. （2022 上海文数 18. ）如 ABC 的三个内角满意 sinA :sinB :sin C5:11:13,就 ABC（ C）（A）肯定是锐角三角形 .（B）肯定是直角三角形 .（C）肯定是钝角三角形 .D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.3（.2022 天津理数 7）在 ABC中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,如 a2b23bc ,sin C23 sin B ,就 A= A （A） 300（B） 60 0（C） 120 0（D） 15004. （2022 湖北理数） 3. 在 ABC 中, a=15,b=10,A=60°,就 cosB = D A 223B 223C 6 D6335. （2022 广东理数） 11. 已知 a,b,c分别是 ABC的三个内角 A,B,C 所对的边,如 a=1,b=3 , A+C=2B,就 sinC= 1；6. （2022 全国卷理）在ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a 2c 22b ,且sinAcosC3cos Asin C, 求 b7. （2022 四川卷文）在ABC 中, A、B为锐角,角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c ,且sin A5 ,sin B10510.（I ）求 AB 的值；（ II ）如 ab21,求 a、b、c 的值；解（ I ） A、B 为锐角,sin A5 ,sin B10510 cos A1 sin 2 A2 5 ,cos B1sin 2 B3 10510cos ABcos A cos B 0AB, sin Asin BAB2 53 105102.5105102（ II ）由（ I ）知 C3,44sin C22由 abc得sin Asin Bsin C5a10b2c,即 a2b, c5b又ab212bb21b1a2, c58. （2022 辽宁文数 17）（本小题满分 12 分）在 ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2asin A（）求 A 的大小；2bcsin B2cbsin C（）如 sin Bsin C1,试判定 ABC 的外形.解：（）由已知,依据正弦定理得2a 22bc) b2cbc即 a 2b 2c2bc由余弦定理得 a 2b2c22bc cos A故cos A1 , A2120（）由（）得sin 2 Asin 2 Bsin 2 Csin Bsin C.又sin Bsin C1 ,得 sin Bsin C12由于 0B90 ,0C90 ,故 BC所以 ABC 是等腰的钝角三角形；9. （2022 辽宁理数）（ 17）（本小题满分 12 分）在 ABC中, a, b, c分别为内角 A, B, C的对边,且 2asin A（）求 A的大小；2 acsin B2 cbsin C.（）求 sin Bsin C 的最大值 .解：（）由已知,依据正弦定理得2a22bcb2cbc即a2b2c2bc由余弦定理得a2b2c22bccos A故cosA1,A=120° 6 分2（）由（）得：sin Bsin Csin Bsin60B3 cosB1 sinB22sin60B故当 B=30°时, sinB+sinC 取得最大值 1；
