2022年强烈推荐高中数学知识点总结选修22.docx

精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - -第一章 导数1.1导数当 x 变化时, f x是 x 的一个函数,我们称它为fx的导函数 derivative function 简称导数 ：- - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 13 页,共 11 页f x = y=lim. .+ . .-. . . 0 .函数在某一点 x0 处的导数：f x0 = y=lim.0 + .-. .0 . 0 .1.2.2 基本初等函数的导数公式1.fx=c c 为常数, f x=02.fx = x .,f x=n.-13.f x = sin .,f x =cos .4.fx = cos .,f x=- sin .5.fx = .,f x= .ln .6.fx = e.,f x= e.f x = ln x ,就f x = 1xf x = log a x ,就 f x=1x ln a导数运算法就： f x ±g x = f x± g x f x .g x = f x g x + fxg x . . .=f x g x -fxg. 2 xgx 0复合函数 y=fgx的导数和函数 y=fu,u=gx的导数间的关系为y= .即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积；1.3 导数在讨论函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数在某个区间 a,b内,假如 f x>0,那么函数 y=fx在这个区间内 单调递增 ；假如 f x<0,那么函数 y=fx在这个区间内 单调递减 ；极大值点 如 x=a邻近的点的函数值都比该点的函数值小, 该点的函数值叫做极大值；微小值点 如 x=b邻近的点的函数值都比该点的函数值大, 该点的函数值叫做微小值；极大值点、微小值点统称为极值点 ；极大值和微小值统称为极值 extreme value；留意：极值反映了函数 在某一点邻近的大小情形 ,刻画的是函数的 局部性质 ,而不是函数在整个定义域内的性质；* 导数值为 0 是该点取得极值点的必要不充分条件；一般地,求函数 y=fx的极值的方法是：解方程 f x=0,当 f x0=0 时：(1) 假如在 x0 邻近的左侧 f x0>0,右侧 f x0<0,那么 f x0是极大值；(2) 假如在 x0 邻近的左侧 f x0<0,右侧 f x0>0,那么 f x0是微小值；一般地,求函数 y=fx在a, b 的最大值与最小值的步骤：(1) 求函数 y=fx 在a, b内的极值；(2) 将函数 y=fx 的各极值与端点处的函数值 fa,fb 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值；1.5.3 定积分的概念1分割 2近似代替 3作和 4取极限一般地,假如函数 y=fx在区间 a, b上连续,用分点a = x0 < x1 < . < xi-1< xi < . < xn = b将区间a,b等分成 n 个小区间, 在每个小区间 xi-1,xi上任取一点 ii=1,2,. , n,作和式n fi=1ni x= i=1b - anf i 当 n时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 fx 在区间a,bb上的定积分 definite integral ,记作 afx dx ,即b fx dxa= limnni=1b - a nf i 这里, a 与 b 分别叫做 积分下限 与积分上限 ,区间a,b叫做积分区间 ,函数 fx叫做被积函数 ,x 叫做积分变量 ,fx dx叫做被积式 ；定积分的几何意义 ：从几何上看,假如在区间 a,b上函数 fx连续且恒有 fx0,b那么定积分 a fx dx表示由直线 x=a,x=bab,y=0 和曲线 y=fx所围成的曲边梯形的面积；定积分的性质：b kfx dxab= k fx dxak 为常数b f 1x ±f 2x dxab= f1x dxab± f2 x dxabcb fx dx= fx dx + fx dx 其中 a < .< .aacn i 3 i=1= 13 + 23 + . + n3 = 1 n2 n + 1 241.5微积分一般地,假如 fx是区间a,b上的连续函数,并且 Fx=fx,那么b f x dxa= F x |b = F b - Faa这个结论叫做 微积分基本定理 （ fundamental theorem of calculus ）,又叫做 牛顿-莱布尼茨公式（ Newton-Leibniz Formula）；其次章 推理与证明推理是依据一个或几个已知的判定来确定一个新的判定的思维过程；2.1.1 合情推理e.g.(1) 哥德巴赫 Goldbach猜想：任何一个不小于6 的偶数都等于两个奇质数之和；(2) 费马Fermat猜想：任何形如 22 n + 1 n N.的数都是质数 善于运算的欧拉5Euler发觉第 5 个费马数 F= 22 5 + 1 = 4294967297= 641 ×6700417 ,从而推翻了费马的猜想 ；(3) 地图的“四色猜想” ； 4歌尼斯堡七桥猜想）依据已有事实,经过观看、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提 出猜想的推理统称为 合情推理 plausible reasoning；合情推理的结论不肯定正确, 有待进一步证明；从详细问题动身观看、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想得到一个新结论之前,合情推理能帮忙我们推测和发觉新结论；证明一个结论之前或探究一个问题,合情推理能为我们供应证明或解决问题的思路和方向；2.1.1.1 归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特点, 推出该类事物的全部对象都具有这些特点的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理 由部分到整体、由个别到一般 的推理；（抽样调查是一种归纳）2.1.1.2 类比 analogy由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象的某些已知特点,推出另一类对象也具有这些特点的推理称为类比推理（由特别到特别 的推理）；类比直角三角形的勾股定理,在直三棱锥（三条棱两两垂直的棱锥 ）中,有： 直三棱锥中三个侧面的面积的平方和等于底面面积的平方,即S2 = S2 + S2 + S2Quotations底123“类比是一个宏大的引路人, 求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题；”波利亚 Polya“合情推理是冒险的、有争议的和临时的； ”波利亚“我珍视类比赛过任何别的东西, 它是我最可信任的老师, 它能揭示自然界的隐秘；”开普勒 Kepler,15711630“即使在数学里, 发觉真理的主要工具也是归纳和类比” 拉普拉斯 Laplace, 1749-18272.1.2 演绎推理从一般性的原理动身,推出某个特别情形下的结论,这种推理称为演绎推理demonstrative reasoning；演绎推理是由 一般到特别 的推理；演绎推理具有证明结论,整理和构建学问体系的作用,是公理体系 中的基本推理方法；“ 三段论 ”（ Syllogism）（由亚里士多德创立,他仍提出用演绎推理来建立各门学科体系的思想）是演绎推理的一般模式,包括：(1) 大前提已知的一般原理； （假如大前提是明显的,就可以省略）(2) 小前提所讨论的特别情形；(3) 结论依据一般原理,对特别情形做出的判定；在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的；公理化方法： 尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题公理、共设, 以此为动身点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论；* 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；类比三角形的余弦定理,可得四周体的余弦定理：S BCD = S VBCcos 1 + S VCDcos 2 + S VBDcos 3S2= S2+ S2+ S2-2SScos -2SScos -2SScos BCD VBC VBD VCD VBC VBD1 VBC VCD2 VBD VCD32.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法（直接证明中最基本的两种方法）一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最终推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法 synthetical method ,又叫顺推证法 或由因导果法 ；用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论,就综合法可表示为：P.Q 1Q1 .Q 2Q2 .Q 3.Qn.Q* 解决数学问题时,往往要先把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,仍要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来；一般地,从要证明的结论动身,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最终, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止,这种方法叫做 分析法 analytical method ,又叫逆推法 或执果索因法 ；Q.P 1P1.P 2P2.P 3.得到一个明显成立的条件在解决问题时,常常把综合法与分析法结合起来使用：依据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q；依据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论 P；如由 P可以推出 Q成立,就可以证明结论成立；用 P表示已知条件、定义、定理、公理等,用Q 表示要证明的结论,就该过程可表示为：P.P 1P1.P 2.Pn .P'.Q'.Q m.Q2 .Q 1Q1 .Q用 Q 表示要证明的结论,就分析法可表示为：2.2.2 反证法一般地,假设原命题不成立（即在原命题的条件下,结论不成立）,经过正确的推理,最终得出冲突,因此说明假设错误,从而证明白原命题成立,这样的 证明方法叫做 反证法 reduction to absurdity ,或叫归谬法 ；反证法的 关键是在正确的推理下得出冲突 ,这个冲突可以是与已知条件冲突,或与假设冲突,或与定义、公理、定理、事实冲突等；反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具；数学家哈代曾经这样赞扬它：“归谬法是数学家最有力的一件武器,比起象棋开局牺牲一子以取得优势的 让棋法, 它仍要高明； 象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子, 数学家干脆把全局拱手让予对方！”2.3 数学归纳法（ mathematical induction）多米诺骨牌的类比 （只要满意以下两个条件,全部多米诺骨牌就都能倒下）：(1) 第一块骨牌倒下；(2) 任意相邻的两块骨牌,前一块倒下肯定导致后一块倒下；一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按以下步骤进行：+(1) 归纳奠基 证明当 n 取第一个值 n0n0N 时命题成立；(2) 归纳递推 假设 n=k k n0,kN+时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立；只要完成这两个步骤,就可以肯定命题对从n0 开头的全部正整数 n 都成立；可表示为：验证 n=n 时命题成立0如n=kkn0时命题成立,证明 n=k+1时命题也成立归纳奠基归纳递推命题对从 n0开头全部的正整数 n都成立第三章 复数3.1.1 复数的概念形如a + bi a ,b R的数叫做 复数complex number ,其中 i 叫做虚数单位imaginary unit ；全体复数所成的集合 C叫做复数集 set of complex numbers；复数通常用字母 z 表示,即z = a + bi a ,b R,这一形式叫做 复数的代数形式algebraic form of complex number ,a 与 b 分别叫做复数 z 的实部 real part 与虚部imaginary part ；复数 z 实数 b = 0虚数 b 0 当 a = 0 时为纯虚数 规定： 复数.+ .与.+ .相.等的充要条件是 a=c且 b=d用建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴；实轴上的点都表示实数 ；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数；复平面内的点 Za,b一一对 应复数 z=a+bi一一对 应平面对量 .O.Z为便利起见, 我们常把复数 z=a+bi说成点 Z 或说成向量 .O.Z,并且规定,相等的向量表示同一个复数 ；向量.O.Z的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z| 或|a+bi| ；|z| = |a + bi| = r = a2 + b 2r 0,r R3.2 复数的代数运算3.2.1 复数的加减运算及其几何意义z1 ±z2 = a + bi ± c + di = a ± c + b ±di复数加法交换律、结合律：z1 + z2 = z2 + z1z1 + z2 + z3 = z1 + z 2 + z3 两个向量的和 差 就是与该两向量对应的复数之和 差 所对应的向量；因此, 复数的加减法可以依据向量的加减法来进行,这就是 复数加减法的几何意义 ；3.2.2 复数的乘除运算z1 .z2 = a + bi c + di = ac -bd + ad + bci复数乘法交换律、结合律、安排律：z1 .z2 = z2 .z1z1 .z2 .z3 = z1 .z2 .z3 z1 .z2 + z3 = z1 z2 + z1z3一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数 conjugate complex number ；虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做 共轭虚数；通常记复数 z 的共轭复数为z.复数的除法法就：z1 ÷z2 = a+ bi ÷c + di =ac + bd c2 + d2 +bc -adc2 + d2 ic + di 0,即除数不为 0“实数化因式” 分子分母同时乘以分母的共轭复数 ,使分母“实数化”*代数基本定理 fundamental theorem of algebra ： 任何 n n N* 次复系数多项式 fx 至少有一个复数根；推论 1：任何 n n N* 次复系数多项式 fx 在复数集中可以分解为n 个一次因式的乘积,进而, n 次多项式有 n 个复数根 重根按重根计 ；推论 2：假如虚数 a+bi 是实系数一元 n 次方程an xn + an-1 x n-1+ . + a1x + a0 = 0的根,那么它的共轭虚数 a -bi 也是方程的根 “虚根成对” 推论 3：根与系数之间的关系设实系数一元三次方程a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0在复数集 C 内的根为 x1 ,x2, x3,方程可变形为a3 x -x1 x -x2 x - x3 = 0 ,绽开得a3 x3 -a3 x1 + x2 + x3 x 2 + a3 x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 x -a3x1x2 x3 = 0故可得a2ax1 + x2 + x3 = -3a1ax1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =3a0x1 x2 x3 = - a3