2022年不等式知识点归纳大全.docx
不等式学问点归纳一.1解不等式是求不等式的解集, 最终务必有集合的形式表示； 不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值.(2) 解分式不等式 fxg xa a0的一般解题思路是什么？（移项通分,分子分母分解因式, x的系数变为正值,标根及奇穿过偶弹回）；(3) 含有两个肯定值的不等式如何去肯定值？一般是分类争论、平方转化或换元转化 ； 4解含参不等式常 分类等价转化 ,必要时需分类争论 .留意：按参数争论,最终按参数取值分别说明其解集,但如按未知数争论,最终应求并集.二、 利用重要不等式 ab2ab以及变式 ab ab 2 等求函数的最值时, 务必留意 a,bR2（或 a ,b 非负）,且“等号成立 ”时的条件是积 ab 或和 a b 其中之一应是定值 一正二定三等四同时 .三、.常用不等式有：a2b2 2abab 22依据目标不等式左右的运算结构选用 a、b、11cR, a2b 2c2ababbcca （当且仅当 abc 时,取等号）3四、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：a 3b 3c 3abc （abc0等式即可成立 , abc或abc0时取等 ）；3 abc abc 3abc abc 3a 33b 3c 33五、最值定理（积定和最小） x, y0,由xy 2xy ,如积xyP定值 ,就当xy 时和xy 有最小值2p ；（和定积最大 ） x, y0,由xy 2xy ,如和xyS定值 ,就当xy 是积xy有最大值1 s2 .4【推广】：已知a, b, x, yR , 如 axby11 ,就有就 x1y 的最小值为：1111 axby byaxab ab2ab2ab xyxyxy等式到不等式的转化：已知 x>0, y>0,x2y2xy 8,就 x2y 的最小值是2xy8 x2 yx 2y8 x2 y x2 y 24 x2 y 2即4 x2 y80 x2 y8 x2 y40解得 x2y（8 舍）或 x2 y4故 x 2y 的最小值是 4假如求 xy 的最大值, 就2xy8 x2 yx2 y82xy22xy ,然后解关于xy 的一元二次不等式,求xy 的范畴,进而得到xy 的最大值六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法 、商比较法、函数性质法、 综合法、分析法和 放缩法留意：对 “整式、分式、肯定值不等式 ”的放缩途径, “配方、函数单调性等”对放缩的影响 .七、含肯定值不等式的性质：a、 b 同号或有 0| ab | | a |b | a | b | | ab |；a、 b 异号或有 0|ab | |a | b | a | b | | ab |.八、不等式中的函数思想不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题 ”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以掩盖学问点多,综合性强,解法敏捷等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐；另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的 “函数与方程 ”、“化归与转化 ”、“数形结合 ”、“分类争论 ”等数学思想对锤炼同学的综合解题才能,培育其思维的敏捷性、制造性都有着独到的作用；本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略；一、函数法（ 1）一次函数f xkxb, x m, n 有：f x0恒成立f mf n0, f x00恒成立f m0f n0（2）一元二次函数f xax2bxc0 a0, xR) 有：1） fx0 对xa0R 恒成立;0a02） fx0 对xR 恒成立.0（3） 不等式中 x 的取值范畴有限制,就可利用根的分布解决问题；例 1 设f xx 22mx2 ,当 x1, 时,f xm 恒成立,求实数 m的取值范畴；解：设F xx22mx2m,就当 x1, 时,F x0 恒成立yx当4m1m20即2m1时,F x0 明显成立；当0 时,如图,F x0 恒成立的充要条件为：-1 Ox0F 10解得3m2 m122 ；综上可得实数 m的取值范畴为 3,1 ；二、最值法：将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有：（1）f xa 恒成立af x min（2）f xa 恒成立af x max例 2已知两个函数f x8x216xk,g x2x35x24x ,其中 k 为实数.(1) 如对任意的 x3,3,都有f xg x 成立,求 k 的取值范畴；(2) 如对任意的x1、x23,3,都有f x1 gx2 ,求 k 的取值范畴 .(3) 如对于任意 x13,3,总存在x03,3 使得g x0 f x1 成立,求 k 的取值范畴 .解： 1 令 F xgxf x2x33x 212xk ,问题转化为F x0在 x3,3上恒成立 ,即F xmin0 即可2由题意可知当 x3,3时,都有f x maxg xmin .（3）于任意 x13,3,总存在x03,3使得 g x0 f x1 成立,等价于 fx 的值域是 g x 的值域的子集,三、分别变量法如所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分别于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值, 进而求出参数范畴； 这种方法本质也仍是求最值, 但它思路更清楚, 操作性更强；一般地有：1） f xg aa为参数）恒成立gaf x max2） f xg a a为参数）恒成立gaf x max例 3：已知 fx是定义在 -1,1 上的奇函数 ,且 f1=1,如 m, n1,1, mn0时 f mmf n n0, 如f xt 22at1对于全部的 x 1,1, a1,1恒成立,求实数 t 的取值范畴 .解：题不等式中有三个变量, 因此可以通过消元转化的策略, 先消去一个变量, 简单证明 fx是定义在 -1,1 上的增函数 ,故 fx 在-1,1 上的最大值为 f1=1,就f xt 22at1对于所有 的 x1,1, a1,1恒 成 立1t 22at1 对 于 所 有 的 a1,1恒 成 立 , 即2tat 20 对 于 所 有 的 a 1,1恒 成 立 , 令ga2tat 2 , 只 要g 10,g 10t2或t2或t0 四、变换主元法理含参不等式恒成立的某些问题时,如能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”摸索,往往会使问题降次、简化；例 4：,不等式 x 2a4 x42a0 恒成立,求 x 的取值范畴；分析：题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但如把 a 看成主元,就问题可转化为一次不等式 x2 ax24x40 在a1,1 上恒成立的问题；解：令f a x2ax24x4 ,就原问题转化为f a0 恒成立（ a1,1 ）；当 x2 时,可得f a0 ,不合题意；当 x2 时,应有f 10解之得 x1或x3；f 10故 x 的取值范畴为 ,13, ；五、数形结合法数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直观,形缺数时难入微 ”,这充分说明白数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用；函数图象和不等式有着亲密的联系：1） fxgx函数 fx 图象恒在函数g x 图象上方；2） fxgx函数 fx 图象恒在函数g x 图象下上方 .例 5.设函数f xax24x, g xaxa ,如恒有f xg x 成立,试求实数 a 的取值范畴 .解：由题意得f xg xx24 xax2a ,y令 y1x24 x , y2ax2a .可化为 x2 224 0x4, y10 ,它表示以 2,0为圆心,2 为Oxy1半径的上半圆；表示经过定点 -2,0,以 a 为斜率的直线,要使f xg x 恒成立,只需所表示的半圆在所表示的直线下方就可以了如下列图 当直线与半圆相切时就有| 2a12a |a 22 ,即 a33 ,由图可知,要使f xg x 恒成立,实数 a 的取值范围是 a3 3六、分类争论2在给出的不等式中,假如两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,就可利用分类争论的思想来解决；2例 6： x2,2时,不等式 xax3a 恒成立,求 a 的取值范畴；解：设fxxax3a ,就问题转化为当 x2,2时, fx 的最小值非负；（1） 当 a22 即： a4 时,fx minf273a0a7 又a 34 所以 a 不存在；aaa2（2） 当 22 即 ： 42a4 时 ,fx m i nf3a0246a2又4a44a2（3） 当 a22 即： a4 时,fx minf27a0a7 又a47a4综上所得： 7a2例 7：已知 a是实数,函数求 a的取值范畴f x2ax22x3a,假如函数yf x 在区间1,1上有零点,解析：由函数f x的解析式的形式,对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数,仍是二次函数, 因而需就 a0 和a0 两类情形进行争论；解：函数yf x在区间-1,1上有零点,即方程f x2ax22 x3a =0 在-1, 1上有解,a=0时 , 不 符合 题意, 所 以 a 0方,程 fx= 0在-1 , 1 上有 解<=>f 1f 10 或af 10af 1048a31 1.1a) 01a5 或 a37或 a52a372或 a1.a所以实数 a 的取值范畴是 a37 或 a 1.2点评：此题主要考察二次函数及其性质、 一元二次方程、 函数应用、解不等式等基础学问, 考察了数形结合、分类争论的思想方法,以及抽象概括才能、运算求解才能；
