2022年微积分知识点总结9-4-2.docx

第四节 多元复合函数的求导法就zxzuuxzvvxzzuzvyuyvy多元复合函数的链式求导法就为：口诀：分段用乘,分叉用加；多元函数与多元函数复合的情形（将下面的链式法就补充完整）口诀：分段用乘,分叉用加；uffzxxzxuffzyyzy口诀：分段用乘,分叉用加；wxfuuxfvvxwfufvyuyvywfufvzuzvz口诀： 分段用乘, 分叉用加；zfufvxuxvxzfufvyuyvy口诀：分段用乘,分叉用加；依据以下图示,写出复合函数的 全部链式求导法就：（做题时,一次可能只会用到一个- 用到那个就写那个,不必全部写出了；）zfufvxuxvx口诀：分段用乘,分叉用加；yuyvy口诀：分段用乘,分叉用加；fxffxffvvvxzfufvf1 'xf1'uu xf1 'vv xf1 'f1 'uf1 'vyuyvyf 2 'f 2 'uf2 'vxuxvxf 2 ' yf 2 ' uuyf2 ' vvy口诀： 分段用乘, 分叉用加；yvy （简洁！）（由于图中：红色线段有 3 条；蓝色线段只有 2 条；虽然只少了一条,但对做题过程的影响却特别大；从最终一题的解题过程中就能看出来； ）f1'xf1'xf1 'vvxf1' yf1' vv y口诀：分段用乘,分叉用加；口诀：分段用乘,分叉用加；f 2 ' xf 2 ' yf 2 ' xf2 ' vf 2 'vvxv y三、 1. 11-7已知函数2 zzf xy,xy,其中 f 具有二阶连续的偏导数,求 x y ；解：此题考查的学问点是：多元复合函数的高阶偏导数设uxy , vxy ,（这两个属于详细函数）就 zfu, v （这个属于抽象函数）对 式,把 y 看作常数,由链式法就得（下一步：遇到抽象函数,写出它的“记号”即可；遇到详细函数,求出它的偏导数；最终一步：在抽象函数的 记号后面标出它的“自变量” -由于求二阶偏导数时,需要知道它的“自变量” 有几个,各是“啥”？,这样,后面做题时,就会“一目了然”；）zf .uxuxf .vvxf1 ' 1f 2 ' y对 式,把 x 看作常数,由链式法就和函数的和、积求导法就得：2zf1 .uf1 .v fufy2 .f 2 .v x yuyvy2uyvyf11 1f12xf 2yf 21 1f 22 xf11xf12f2yf21xyf22（）f11 xy f12f 2xyf22z注： f1f1 u, vf u u, vu （这些记号都是为抽象函数预备的！ ）zf 2f 2 u, vf v u, vv （详细函数不需要这些记号！ ）f11f1u ； f12f1v f 21f 2f2u； f 22vfffvxxvxffv口诀：分段用乘,分叉用加；yvy （简洁）zxfx, y三、 1. 07-7 设x2 z,其中 f 具有连续二阶偏导数,2 z求 y x 和x y ；解：此题考查的学问点是：多元复合函数的高阶偏导数vy设x ,（这个属于详细函数）就 zxfx, v （ 这里面既有详细函数又有抽象函数- 其中, x 为详细函数； fx, v为抽象函数；）ffvyvy2 z（下面用到的就是这一个）先求 y x对 式,把 x 看作常数,由链式法就和函数的求导法就 得：zfv x.yvy1xf 2 . xf2f 2x, vf 2f 2xxf2vvx（下面用到的就是这一个）对 式,把 y 看作常数,由链式法就和函数的求导法就得：22 zff 2 .vff. yx 2fy fy xxvxvy212221x222设x ,（这个属于详细函数）就 zxf2 zx, v（这里面既有详细函数又有抽象函数）再求 x yfffxxvvx （下面用到的就是这一个）对 式,把 y 看作常数,由链式法就和函数求导法就得：zf x, vxf xxf . vvxf x, vxf1yf 2 .2xf x,vxf1x,vy fx, v2xffvyvy（下面用到的就是这一个）f1f1yvvy （下面用到的就是这一个）f2f2yvvy （下面用到的就是这一个）对 式,把 x 看作常数,由链式法就和函数的求导法就得：2 zfv.xf1 .v1 fx, vyf2 .vx yv1f2 .xxyvy11f12 .f2xxx2xvyy1f 22 .xx11f 2f12f 2xxyy2 f 22x2yzf122x2 zf 222 zf 212 f22xy x2 z2 z比较y x 和x y 的求解过程, 可以看出：y x 比x y 的求解过程要简洁得多；这是由于在中, y 的关系简洁；注：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无 关,所以就可以自由挑选次序 -优先挑选关系少的变量（在此题中, 明显 y 的关系少, 这样优先挑选 y 就会简洁的多；）！