2022年必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计算...docx

一 线线角立体几何专题：空间角和距离的运算41. 直三棱柱A 1B1C1-ABC ， BCA=90 0，点 D 1 ， F1 分别是A 1B1 和 A 1C1 的中点，假设BC=CA=CC 1，求 BD 1 与 AF 1 所成角的余弦值；CB 11D 1F1A1BCA2. 在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是直角梯形， BAD=90 0， AD BC， AB=BC=a ，AD=2a ，且 PA面 ABCD ，PD 与底面成 300 角，1假设 AE PD，E 为垂足，求证： BEPD ； 2假设 AE PD，求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小；PEBCA D二线面角1. 正方体 ABCD-A 1B1C1 D1 中， E， F 分别为 BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2，1求直线 D1F 和 AB 和所成的角； 2求 D 1F 与平面 AED 所成的角；CD11A1B 1EDFCAB2. 在三棱柱 A 1B1C1-ABC 中， 四边形 AA 1B1B 是菱形， 四边形 BCC 1B 1 是矩形， C1B 1 AB ，AB=4 ， C1B 1=3， ABB 1=600，求 AC 1 与平面 BCC 1B 1 所成角B 1C 1A1的大小；BCA三二面角1. 已知 A1B 1C1-ABC 是正三棱柱， D 是 AC 中点，1证明 AB 1 平面 DBC 1； 2设 AB 1BC 1，求以 BC 1 为棱， DBC 1 与 CBC 1 为面的二面角的大小；CB 11A 1B CDA2. ABCD是直角梯形， ABC=90 0， SA 面 ABCD ， SA=AB=BC=1 ，AD=0.5 ，1求面SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小； 2求 SC 与面 ABCD 所成的角；SADBC3. 已知 A 1B1 C1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，A 1AC=60 0 ， A 1AB=45 0，求二面角 BAA 1 C 的大小；B 1C 1A 1BCA四 空间距离运算点到点、异面直线间距离1 B1C1D1 中， P 是 BC 的中点， DP 交 AC 于 M， B1P 交 BC 1 于N，1求证： MN 上异面直线 AC 和 BC 1 的公垂线；2求异面直线AC 和 BC 1 间的距离；D 1C 1A1B1NDCPMA点到线， 点到面的距离 2点 P 为矩形 ABCD 所B在平面外一点， PA面 ABCD ， Q 为线段 AP 的中点， AB=3 ， CB=4 ，PA=2，求 1点 Q到直线 BD 的距离；2点 P 到平面 BDQ 的距离；3边长为 a 的菱形 ABCD 中， ABC=60 0 ，PC平面 ABCD ，E 是 PA 的中点，求 E 到平面 PBC 的距离；线到面、 面到面的距离 4. 已知斜三棱柱A 1B1C1-ABC 的侧面 A 1 ACC 1 与底面 ABC 垂直，ABC=90 0，BC=2 ， AC=23 ，且 AA 1 A 1C， AA 1=A 1C，1求侧棱AA 1 与底面 ABC所成角的大小； 2求侧面 A 1ABB 1 与底面 ABC 所成二面角的大小； 3求侧棱 B 1B 和侧面 A 1ACC 1 距离；B 1C 1A 1BCA5正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD 、ABFE 相互垂直，点 M 在AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，假设 CM=NB=a 0a当 a 为何值时， MN 的长最小；2 ，1求 MN 的长；2立体几何中的向量问题空间角与距离基础自测m=0，1，0，n=0， 1， 1，就两平面所成的二面角为.答案45°或 135°A、B 两点，直线 AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB. 已知 AB=4，AC=6，BD=8，CD=217 ，就该二面角的大小为.答案60°3. 如下图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1 B1 C1D1 中， O是底面 ABCD的中心， E、 F 分别是 CC1 、AD的中点，那么异面直线OE和 FD1 所成角的余弦值等于.答案1554. 如下图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体 ABCOA B CD， AC 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为.答案2 a25. 2021·福建理， 6如下图，在长方体 ABCD A1 B1 C1D1 中， AB=BC=2，AA1=1，就 BC1 与平面 BB1D1D所成角的正弦值为.答案105例 12021·海南理， 18如下图，已知点P 在正方体 ABCD ABCD的对角线 BD上 , PDA=60°.(1) 求 DP与 CC所成角的大小 ;(2) 求 DP与平面 AAD D所成角的大小 .解 如下图，以 D 为原点， DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz .就 DA =1， 0， 0， CC连接 BD, BD .在平面 BBD D中,延长 DP交 BD于 H.=0,0,1.设 DH = m, m,1 m0, 由已知 DH , DA =60°,由 DA · DH =| DA |DH |cos DH ,DA ,可得 2m=2m 21 .解得 m=2 , 所以 DH = 2 , 222 ,1 .22(1) 由于 cos DH , CC =20202121 1=2 ,2所以 DH , CC =45° ,即 DP与 CC所成的角为 45°.(2) 平面 AADD 的一个法向量是DC =0,1,0.2由于 cos DH , DC =2所以 DH , DC =60° ,0212121 0= 1 ,2可得 DP与平面 AA DD 所成的角为 30°.例 2在三棱锥 SABC中， ABC是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面 ABC， SA=SC=23 ，M、N 分别为 AB、SB 的中点，如下图 .求点 B到平面 CMN的距离 .解 取 AC的中点 O，连接 OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面 SAC平面 ABC， 平面 SAC平面 ABC=AC，SO平面 ABC， SO BO.如下图，建立空间直角坐标系O xyz，就 B0，23 ， 0， C-2 ，0，0，S0， 0，22 ， M1，3 ，0，N0， 3 ， 2 . CM =3，3 ， 0， MN =-1 ， 0， 2 ， MB =-1 ，3 ，0.设 n= x, y, z 为平面 CMN的一个法向量，就 CMn3x MNn-x3y0 ，取 z=1， 2z0就 x=2 , y=-6 , n= 2 ，-6 ， 1.点 B到平面 CMN的距离 d=n MB n4 2 .3例 316 分如下图，四棱锥PABCD中，底面 ABCD是矩形， PA底面 ABCD，PA=AB=1， AD=3 ，点 F是 PB 的中点，点 E 在边 BC上移动 .1点 E 为 BC的中点时，试判定 EF 与平面 PAC的位置关系，并说明理由；2求证：无论点 E 在 BC边的何处，都有PEAF；3当 BE为何值时， PA与平面 PDE所成角的大小为 45°.1解当点 E 为 BC的中点时， EF与平面 PAC平行.在 PBC中， E、F 分别为 BC、PB 的中点， EFPC.又 EF平面 PAC，而 PC平面 PAC，EF平面 PAC.4 分2证明以 A 为坐标原点建立如下图的空间直角坐标系就 P0，0，1，B0， 1，0，5F0， 1 ，21 ， D 3 ， 0，0.28设 BE=x ，就 Ex ，1， 0，PE · AF =x ，1，-1 ·0， 1 ，21 =0，2PEAF.10 分3解设平面 PDE的法向量为 m= p, q,1,由 2知 PD = 3 ，0， -1 ， PE =x， 1，-1 m PD由m PE01，得 m=,103x ,1 .12 分3而 AP =0， 0， 1，依题意 PA与平面 PDE所成角为 45°,sin45 °=mAP2=，2m AP1211x33= 1,14 分21得 BE=x=3 -2 或 BE=x=3 +2 3 舍去 .故 BE=3 -2 时， PA与平面 PDE所成角为 45° .16 分1. 如下图， AF、DE分别是 O、O1 的直径， AD与两圆所在的平面均垂直， AD=8. BC是 O的直径， AB=AC=6， OE AD.1求二面角 B- AD- F 的大小；2求直线 BD与 EF 所成的角的余弦值 .解 1 AD与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故 BAF是二面角 BADF 的平面角 .依题意可知， ABFC是正方形， BAF=45° .即二面角 BADF 的大小为 45° ;2以 O 为原点， CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系如下图， 就 O0，0，0，A0，-32 ， 0， B32 ，0， 0， D0，-32 ，8， E0，0，8，F0，32 ，0， BD =-32 ，-32 ，8， EF =0， 32 ， -8 .cos BD , EF = BDEF =BD EF01864 =-82 .1008210设异面直线 BD与 EF所成角为，就cos=|cos BD , EF |=82 .10即直线 BD与 EF所成的角的余弦值为82 .102. 已知：正四棱柱 ABCDA1 B1 C1 D1 中，底面边长为 22 ，侧棱长为 4， E、F 分别为棱 AB、BC的中点 .1求证：平面 B1 EF平面 BDD1 B1 ；2求点 D1 到平面 B1EF 的距离 .1证明建立如下图的空间直角坐标系，就D0，0， 0， B22 ， 22 ，0，E22 ， 2 ，0，F 2 ，22 ，0，D1 0，0， 4，B1 22 ，22 ，4.EF =-2 ， 2 ，0， DB =22 ， 22 ，0， DD 1 =0，0，4， EF · BD =0， EF ·DD 1 =0.EFDB，EFDD1，DD1 BD=D，EF平面 BDD1B1.又 EF平面 B1 EF，平面 B1EF平面 BDD1 B1 .2解由1知D1B1=22 ， 22 ， 0，EF =-2 ， 2 ，0，B1 E =0， -2 ， -4 .设平面 B1 EF的法向量为 n, 且 n= x, y, z就 n EF , n B1E即 n· EF =x，y， z·-2 ， 2 ， 0=-2 x+2 y=0， n· B1E =x， y，z ·0，-2 ，-4 =-2 y -4 z=0，令 x=1, 就 y=1, z=-2 , n=1,1,-2 44D1 到平面 B1EF的距离D1 B1 nd=2 22 2= 1617 .n1212217243. 如下图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，侧棱PA底面 ABCD，AB=3 ，BC=1，PA=2， E 为 PD的中点 .1求直线 AC与 PB 所成角的余弦值；2在侧面 PAB内找一点 N，使 NE平面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP的距离 .解 方法一1建立如下图的空间直角坐标系，就 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A0，0，0，B 3 ，0， 0、C 3 ， 1，0、D0， 1，0、P0， 0，2、E0 ，1 ， 1 ，2从而 AC =3 ，1， 0， PB = 3 ，0， -2 .设 AC 与 PB 的夹角为，就 cos=AC PB=3= 3 7 ，ACPB2 714AC与 PB所成角的余弦值为3 7 .142由于 N点在侧面 PAB内，故可设 N点坐标为 x,0, z, 就 NE =- x， 1 ， 1- z，由 NE平面 PAC可2得NE AP0 ，即1x,1z2 0, 0,20,NE AC01x,1z23,1,00化简得z1013 x23, x6 0z1即 N 点的坐标为3 ， 0， 1，从而 N点到 AB、AP的距离分别为 1， 3 .66方法二1设 ACBD=O， 连接 OE，AE，BD，就 OEPB， EOA即为 AC与 PB所成的角或其补角 .在 AOE中， AO=1， OE= 1 PB=7 ， AE= 1 PD=5 ，由余弦定理得175cos EOA=4422223 7 ,271142即 AC与 PB所成角的余弦值为3 7 .142 在平面 ABCD内过 D 作 AC 的垂线交 AB于 F, 就 ADF=. 连接 PF, 就在 Rt ADF中,6DF=cosADADF= 2 3 ,3AF=AD·tan ADF=3 .3设 N 为 PF 的中点，连接 NE，就 NE DF.DFAC，DFPA，DF平面 PAC，从而 NE平面 PAC.N点到 AB的距离为1 AP=1，2N点到 AP的距离为1 AF=3 .26一、填空题ABCDA1B1 C1D1 中, M是 AB 的中点 , 就 sin DB1 , CM 的值等于.答案21015ABCDA1B1 C1D1 的棱长为 1，O是 A1 C1 的中点，就点 O到平面 ABC1D1 的距离为.答案243. 2021·全国理， 11已知三棱柱 ABC A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC内的射影为 ABC的中心，就 AB1 与底面 ABC所成角的正弦值等于.答案234. P 是二面角AB 棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，假如 BPM=BPN=45°， MPN=60°，那么二面角AB的大小为.答案90°ABCDA1B1 C1D1 的棱长为 1，E、F 分别为 BB1 、CD的中点，就点 F 到平面 A1 D1E 的距离为.答案3 5106. 如下图，在三棱柱 ABCA1 B1C1 中， AA1底面 ABC，AB=BC=AA1， ABC=90°，点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点，就直线 EF 和 BC1 所成的角是.答案60°7. 如下图，已知正三棱柱ABCA1 B1C1 的全部棱长都相等， D是 A1 C1 的中点，就直线 AD与平面 B1DC所成角的正弦值为.答案45S ABCD中, O 为顶点在底面上的射影 , P 为侧棱 SD的中点 , 且 SO=OD, 就直线 BC与平面 PAC所成的角是.答案30°二、解答题9. 如下图，在几何体 ABCDE中， ABC是等腰直角三角形， ABC=90°，9BE 和 CD都垂直于平面ABC，且 BE=AB=2，CD=1，点 F 是 AE的中点 .求 AB 与平面 BDF所成角的正弦值 .解 以点 B 为原点， BA、BC、BE所在的直线分别为 x， y，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系，就B0，0，0，A2，0，0，C0， 2，0，D0， 2， 1， E0，0， 2， F1，0，1. BD =0， 2， 1， DF =1，-2 ，0.设平面 BDF的一个法向量为n=2，a，b，n DF ，n BD ，n DF0n BD0即 2, a, b 1, 2, 002, a, b 0,2,10解得 a=1， b=-2. n=2，1，-2 .设 AB 与平面 BDF所成的角为，就法向量 n 与 BA 的夹角为-，213cos 2-= BA n =BA n2,0,022,1, 23= 2 ,3即 sin= 2 , 故 AB 与平面 BDF所成角的正弦值为2 . 33P ABCDE中， PA=AB=AE=2a， PB=PE=22 a，BC=DE=a， EAB=ABC=DEA=90°.1求证： PA平面 ABCD；E2求二面角 APDE 的余弦值 .1证明以 A 点为坐标原点，以 AB、AE、AP所在直线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系 A xyz，就由已知得A0，0，0，P0，0，2a， B2a，0，0，C2a，a， 0， Da，2a，0，E0， 2a， 0. AP =0， 0， 2a， AB =2a， 0，0， AE =0， 2a， 0， AP · AB =0· 2a+0·0+2a· 0=0， AP AB . 同理 AP AE .又 AB AE=A， PA平面 ABCDE.2解设平面 PAD的法向量为 m=1, y, z ,就 m· AD =0，得 a+2ay =0，y=- 1 .2又 m· AP =0，得 2az =0， z=0.m=1，-1 ，0.2再设平面 PDE的法向量为 n= x,1, z,而 ED =a， 0， 0， PD =a，2a，-2 a， 就 n· ED =0，得 ax=0， x=0.又 n· PD =0，得 ax+2a-2 az=0， z=1.n=0，1， 1.令二面角 APDE 的平面角为，就 cos=-m n=mn12=10 ，51024故二面角 APDE 的余弦值是10 .1011. 如下图，在三棱锥 PABC中， ABBC，AB=BC=kPA，点 O、D 分别是 AC、PC的中点， OP底面 ABC.1假设 k=1，试求异面直线 PA与 BD所成角余弦值的大小；2当 k 取何值时，二面角 O PCB 的大小为？3解 OP平面 ABC，又 OA=OC，AB=BC，从而 OAOB，OBOP，OAOP，以 O 为原点，建立如下图空间直角坐标系Oxyz .1设 AB=a，就 PA=a，PO=2 a， 2A 2 a，0，0，B0， 22 a，0， 2C-2 a， 0，0，P0， 0， 22 a， 2就 D-2 a， 0， 42 a. 4 PA =2 a，0， - 22 a ， BD =-21 a 22 a， - 41 a 22 a， 22 a ， 4cos PA , BD = PA BD =44=-3 ,PA BD3 a232就异面直线 PA 与 BD所成角的余弦值的大小为3 .32设 AB=a， OP=h， OB平面 POC， OB =0 ，2 a，0 为平面 POC的一个法向量 . 2不妨设平面 PBC的一个法向量为 n=x，y， z ，A2 a， 0，0 ，B0 ，22 a，0 ，C-22 a， 0，0 ，P0 ， 0，h ， 2 BC =-2 a,-22 a,0,PC =-22 a,0,-h,2由 n BC0n PC0xy02 axhz02不妨令 x=1，就 y=-1 ， z=-2a2a ，2hOB n即 n=1,-1,-, 就 cos2h=3 OB n2 a=2= 12+2a1=4h=a,2 a22a 222h 22h 22PA=AO 2PO 2 =1 a21 a 2 =43 a,2而 AB=kPA, k= 2 3 .3故当 k= 2 33时, 二面角 O PCB 的大小为.312. 2021 ·湛江模拟 如下图，已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中， AB=BC=2，AA1 =4， E 是棱 CC1 上的点，且 BE B1 C.1求 CE的长；2求证： A1C平面 BED；3求 A1 B 与平面 BDE所成角的正弦值 .1解如下图，以 D 为原点， DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 D xyz.D0， 0，0， A2，0， 0， B2，2，0， C0，2，0，A1 2，0，4，B1 2，2， 4， C1 0， 2，4， D10，0，4.设 E 点坐标为 0，2， t ，就 BE =-2 ， 0， t ， B1 C =-2 ， 0， -4 .BEB1C， BE · B1C =4+0-4 t =0. t =1，故 CE=1.2证明由 1得， E0， 2，1， BE =-2 ，0， 1，又 A1C =-2 ， 2，-4 ， DB =2，2， 0， A1C · BE =4+0-4=0 ，且 A1C · DB =-4+4+0=0. A1C DB 且 A1C BE ，即 A1CDB，A1C BE，又 DB BE=B， A1 C平面 BDE.即 A1 C平面 BED.3解由2知A1C =-2 ，2，-4 是平面 BDEA1B =0，2，-4 ,cos A1C ,A1 B =A1C A1CA1B = A1B30 .6A1B 与平面 BDE所成角的正弦值为30 .6