2022年初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑵.docx

精品学习资源初一数学竞赛讲座第 2 讲数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即第一对命题的结论作出相反的假设，并从今假设动身，经过正确的推理，导出冲突的结果，这就否定了作为推理动身点的假设，从而确定了原结论是正确的；反证法的过程可简述为以下三个步骤：1. 反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；2. 归谬：由“反设”动身，通过正确的推理，导出冲突与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实冲突或自相冲突； 3结论：由于推理正确，产生冲突的缘由在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而确定了结论成立；运用反证法的关键在于导致冲突；在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出冲突的；解： 假如存在这样的三位数，那么就有100a+10b+c=（ 10a+b） +（ 10b+c） +（ 10a+c）；上式可化简为80a=b+c，而这明显是不行能的，由于a 1， b 9， c 9；这说明所找的数是不存在的；说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素动身，进行推理，直到产生冲突；例 2 将某个 17 位数的数字的排列次序颠倒，再将得到的数与原先的数相加；试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数；解： 假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数；在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和 d+a 为奇数，从而第一列也是如此，因此其次列数字的和 b+c9；将已知数的前两位数字 a，b 与末两位数字 c，d 去掉，所得的 13 位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质；照此进行，每次去掉首末各两位数字，最终得到一位数，它与自身相加是偶数，冲突；故和的数字中必有偶数；说明：明显结论对（ 4k+1）位数也成立；但对其他位数的数不肯定成立；如 12+21， 506+605等；例 3 有一个魔术钱币机，当塞入 1 枚 1 分硬币时，退出 1 枚 1 角和 1 枚 5分的硬币；当塞入 1 枚 5 分硬币时，退出 4 枚 1 角硬币；当塞入 1 枚 1 角硬币时，退出 3 枚 1 分硬币；小红由 1 枚 1 分硬币和 1 枚 5 分硬币开头，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1 分的硬币刚好比 1 角的硬币少 10枚？欢迎下载精品学习资源解： 开头只有 1 枚 1 分硬币，没有 1 角的，所以开头时 1 角的和 1 分的总枚数为 0+1=1 ，这是奇数；每使用一次该机器， 1 分与 1 角的总枚数记为 Q；下面考查 Q的奇偶性；假如塞入 1 枚 1 分的硬币，那么 Q临时削减 1，但我们取回了 1 枚 1 角的硬币（和 1 枚 5 分的硬币），所以总数Q没有变化；假如再塞入 1 枚 5 分的硬币（得到 4 枚 1 角硬币），那么 Q增加 4，而其奇偶性不变；假如塞入1 枚 1 角硬币，那么 Q增加 2，其奇偶性也不变；所以每使用一次机器，Q的奇偶性不变，由于开头时 Q为奇数，它将始终保持为奇数；这样，我们就不行能得到1 分硬币的枚数刚好比1 角硬币数少 10的情况，由于假如我们有 P 枚 1 分硬币和（ P+10）枚 1 角硬币，那么 1 分和 1 角硬币的总枚数为（ 2P+10），这是一个偶数；冲突；例 4 在 3× 3 的方格表中已如右图填入了 9 个质数；将表中同一行或同一列的 3 个数加上相同的自然数称为一次操作；问：你能通过如干次操作使得表中 9 个数都变为相同的数吗？为什么？ 解： 由于表中 9 个质数之和恰为 100，被 3 除余 1，经过每一次操作，总和增加 3 的倍数，所以表中 9 个数之和除以 3 总是余 1；假如表中 9个数变为相等，那么 9 个数的总和应能被 3 整除，这就得出冲突！所以，无论经过多少次操作，表中的数都不会变为9 个相同的数；五、构造法构造法是一种重要的数学方法，它敏捷多样，数论中的很多问题都可以通过构造某些特别结构、特别性质的整数或整数的组合来解决；999998例 5 99 和 99！能否表示成为 99 个连续的奇自然数之和？欢迎下载精品学习资源99解： 99能；由于 99等于 99 个 99之和，所以可以直接构造欢迎下载精品学习资源如下：9999=（ 9998-98 ） +（ 9998-96 ） +=（ 9998-2 ） +9998+（ 9998+2） + =9898欢迎下载精品学习资源（ 99 +96） +（99+98）；欢迎下载精品学习资源99！不能；由于 99！为偶数，而 99 个奇数之和为奇数，所以 99！不能表示为99 个连续奇数之和；说明：利用构造法证明存在性问题，只要把满意题设要求的数学对象构造出来就行；例 6 从 1，2，3， 999 这 999 个数中，要求划去尽量少的数，使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积；应划去哪些数？解： 我们可划去 2，3， 30， 31 这 30 个数，由于划去了上述这 30 个数之后，余下的数中，除1 以外的任何两个数之积将大于 322 =1024999；另一方面，可以通过构造三元数组来证明30 是最少的个数；（2，61，2×61），（ 3，60， 3× 60），（ 4，59，4×59），（30，33， 30×33），（ 31，32， 31×32）；欢迎下载精品学习资源上面写出的这些数都是互不相同的，并且这些数中的最大数为31 ×32=992；假如划去的数少于 30 个，那么上述三元数组至少剩下一个，这样就不满意题设条件；所以， 30 是最少的个数；六、配对法配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对（可用于计数）；传奇高斯8 岁时求和（ 1+2+ +100）首创了配对；像高斯那样，善于使用配对技巧，经常能使一些表面上看来很麻烦，甚至很麻烦的问题迎刃而解；例 7 求 1，2，3， 9999998， 9999999 这 9999999 个数中全部数码的和；解： 在这些数前面添一个数 0，并不影响全部数码的和；将这1000 万个数两两配对，由于 0 与 9999999， 1 与 9999998， 4999999 与 5000000 各对的数码和都是 9 × 7=63； 这里共 有 5000000 对， 故 全部 数码的和是 63 × 5000000=315000000；例 8 某商场向顾客发放9999 张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从 0001 到 9999 号；如号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，就称这张购物券为“幸运券”；例如号码0734 ，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券；试说明，这个商场所发的购物券中，全部幸运券的号码之和能被 101 整除；解： 明显，号码为 9999 的是幸运券，除这张幸运券外，假如某个号码n 是幸运券，那么号码为m=9999-n 的购物券也是幸运券；由于9999 是奇数，所以 m n；由于 m+n=9999，相加时不显现进位，所以除去号码是 9999 这张幸运券之外，其余全部幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为 9999，即全部幸运券号码之和是 9999 的倍数；例 9 已知最简分数 m 可以表示成：n是质数 89 的倍数；mn11123188解法一：仿照高斯求和（ 1+2+3+n）的方法，将和两式相加，得由于 9999=99× 101，所以全部幸运券号码之和能被 101 整除；试说明分子 m从而 2m×88！=89×k（k 是正整数）；由于 89 为奇质数，所以 89 不能整除 88 ！，从而 89|m；解法二： 作配对处理欢迎下载精品学习资源m11n8811287114445189188128714445欢迎下载精品学习资源将括号内的分数进行通分，其公分母为1×88×2×87× 3× 86×× 44× 45=88！，从而 m×88！=89× k（ k=n×q）；由于 89 为奇质数，所以 89 不能整除 88！，从而 89|m；七、估量法估量法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围，以猎取有关量的本质特点，达到解题的目的；在数论问题中，一个有限范畴内的整数至多有有限个，过渡到整数，就能够对可能的情形逐一检验，以确定问题的解；欢迎下载精品学习资源例 10 已知一个整数等于 4 个不同的形如m（ m 是整数）的真分数之欢迎下载精品学习资源m1和，求这个数，并求出满意题意的5 组不同的真分数；欢迎下载精品学习资源解： 因每一真分数满意12m1 ，而所求的数整 S 是四个不同的真分m1欢迎下载精品学习资源数之和，因此 2S4，推知 S=3；于是可得如下 5 组不同的真分数：欢迎下载精品学习资源1 , 22 3, 6 , 41 ,7 421 , 2 ,2 37 , 23 ,8 241 , 22 3, 9 ,14 ,10 151 , 3 ,2 44 , 19,5 201 , 3 ,2 45 , 116 12欢迎下载精品学习资源例 11 已知在乘积 1× 2× 3×× n 的尾部恰好有 106 个连续的零，求自然数 n 的最大值；分析：如已知 n 的详细数值，求 1×2×× n 的尾部零的个数，就比较简单解决，现在反过来知道尾部零的个数，求 n 的值，不大好处理，我们可以先估量 n 大约是多少，然后再认真确定 n 的值；欢迎下载精品学习资源解：当 n =400 时，数 1， 2， 3， 400 中共有400580 个数是 5 的倍欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源数，其中有4005216 个数是 52 的倍数，有400523 个数是 53 的倍数；欢迎下载精品学习资源因此，乘积1 × 2 × 3 ×× 400 中含质因数5 的个数为 80+16+3=99（个）；又乘积中质因数 2 的个数多于 5 的个数，故 n=400 时， 1×2×× n的尾部有 99 个零，仍需 7 个零，留意到 425 中含有 2 个质因数 5，所以当 n=430 时， 1× 2×× n 的尾部有 106 个零；当 n=435 时， 1× 2×× n 的尾部有 107 个零；因此， n 的最大值为 434；练习 21. 将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045？2. 如下图，给定两张 3× 3 方格纸，并且在每4 / 8欢迎下载精品学习资源一方格内填上“ +”或“ - ”号；现在对方格纸中任何一行或一列进行全部变号的操作；问：可否经过如干次操作，使图（ 1）变成图（ 2）？3. 你能在 3×3 的方格表中每个格子里都填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于1999 吗？如能， 请举出一例；如不能，请说明理由；示，求出表达式；如不能表示，请给出证明；5. 公共汽车票的号码是一个六位数，如一张车票的号码的前3 个数字之和等于后 3 个数字之和，就称这张车票是幸运的；试说明，全部幸运车票号码的和能被 13 整除；6. N是由 5 个不同的非零数字组成的五位数，且N 等于这 5 个数字中取 3 个不同数字构成的全部三位数的和，求出全部的这种五位数N； 7证明：没有最大的质数；练习 2 答案：1. 不行能；由于 45045 是奇数，所以它只能表示成 3 个奇数的连乘积，但是对任何两个奇数 x 和 y（ xy）来说， y-x 都是偶数，从而 45045xy （x-y）；而假如 x 和 y 中有偶数，就亦不行能；2. 不能；假设图（ 1）在第一、二、三行经过 m1，m2，m3 次操作，而第一、二、三列经过 n1，n2，n3 次操作变成图（ 2）；由于图（ 1）和图（ 2）左上角符号相反，而从“ +”号变到“ -”号要进行奇数次变号，故（ m1+n1）是奇数；同理（ m1+n2 ）是 偶数， （ m2+n1 ）， （ m2+n2 ）都 是奇数； 这样（ m1+n1 ） +（ m1+n2 ） + （ m2+n1 ） + （ m2+n2 ） 是 奇 数 ； 但 这 个 和 又 等 于2（ m1+m2+n1+n2），是偶数，冲突；3不能；如能填入九个自然数 a1，a2， a8，a9 满意题设条件（如下列图），就有 a1+a5+a9=1999，a2+a5+a8=1999，a3+a5+a7=1999，a4+a5+a6=1999；相加得（ a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9）+3a54×1999， 而 a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=3×1999，所以 3a5=1999，1999欢迎下载精品学习资源a5=与 a5 是自然数冲突；3欢迎下载精品学习资源4 7 33211483984; 19491999不能；欢迎下载精品学习资源解：由于777128311111欢迎下载精品学习资源332483483124861241248312483984欢迎下载精品学习资源所以 7能表示成 1332l1 的形式，且m733211；483984欢迎下载精品学习资源将一切形如 1l1的数（其中ml , m 为大于 1 的自然数），从大到小排列，前欢迎下载精品学习资源几项为 111, 115 , 113 ；欢迎下载精品学习资源22236244欢迎下载精品学习资源明显，凡界于5 与 1 之间的分数6q 不能表示成 1 pl1的形式，而m1949 却界1999欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于 5 与 1 之间，所以不能表示成 16l1 的形式；m欢迎下载精品学习资源5解：设幸运车票的号码为 A，就号码为 A=999999-A 的车票也是幸运的， 并且 AA（由于 999999 是奇数），因而 A+A =1001× 999=13× 77× 999 能被 13 整除；所以，全部幸运车票号码的和也能被13 整除；635964；=（a1+a2+a3+a4+a5）（ 100×12+10× 12+12）=1332（a1+a2+a3+a4+a5）；应 是 1332 × 9=11988的 倍 数 ； 又15=1+2+3+4+5 a1+a2+a3+a4+a5 9+8+7+6+5=35，所以 a1+a2+a3+a4+a5 只能为 18，27；当 a1+a2+a3+a4+a5=18 时，但 2+3+9+7+618，不合题意；当 a1+a2+a3+a4+a5=27 时，符合题意；所以，所求的五位数为 35964；7证明：假设有最大质数 P；将全部小于等于P 的质数相乘再加 1，所得结果假如是质数，那么这个质数大于P，与假设冲突；所得结果假如不是质数，那么它的每一个质因数都不同于小于等于P 的质数，也就是说这些质因数都是大于 P 的质数，与假设冲突；所以假设不成立，即没有最大的质数；89504；解： 如先依次运算的值再求和，就很纷杂；我们的解法是采纳配对，这也是求和的一种有效技巧；欢迎下载精品学习资源=199，（这里 x=xx ）同理可知我们有198×489504；欢迎下载精品学习资源欢迎下载