2022年初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑾.docx

精品学习资源初一数学竞赛讲座第 11 讲染色和赋值染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法；就其本质而言，染色方法是一种对题目所讨论的对象进行分类的一种形象化的方法；而凡是能用染色方法来解的题，一般地都可以用赋值方法来解，只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了；赋值方法的适用范畴要更广泛一些， 我们可将题目所讨论的对象赋于适当的数值，然后利用这些数值的大小、正 负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证；一、染色法将问题中的对象适当进行染色，有利于我们观看、分析对象之间的关系；像国际象棋的棋盘那样，我们可以把被讨论的对象染上不同的颜色，很多隐匿的关系会变得明朗，再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决，这种解题方法称为染色法；常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色；例 1 用 15 个“ T”字形纸片和 1 个“田”字形纸片（如下图所示），能否掩盖一个 8×8 的棋盘？解：如下图，将 8 × 8 的棋盘染成黑白相间的外形；假如15 个“ T”字形纸片和 1 个“田”字形纸片能够掩盖一个8×8 的棋盘，那么它们掩盖住的白格数和黑格数都应当是 32 个，但是每个“ T”字形纸片只能掩盖 1 个或 3 个白格，而 1 和 3 都是奇数，因此 15 个“ T”字形纸片掩盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片肯定掩盖2 个白格，从而15 个“ T”字形纸片与1 个“田”字形纸片所掩盖的白格数是奇数，这与32 是偶数冲突，因此，用它们不能掩盖整个棋盘；例 2 如左下图，把正方体分割成 27 个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6 个小正方体中的任何一个中去；假如要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍全部的正方体吗？欢迎下载精品学习资源解：甲虫不能走遍全部的正方体；我们如右上图将正方体分割成27 个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色；明显，在27 个小正方体中， 14 个是黑的， 13个是白的；甲虫从中间的白色小正方体动身，每走一步，方格就转变一种颜色；故它走 27 步，应当经过 14 个白色的小正方体、 13 个黑色的小正方体；因此在 27 步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次；由此可见，假如要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍全部的小正方体；例 3 8 ×8 的国际象棋棋盘能不能被剪成 7 个 2×2 的正方形和 9 个 4×1 的长方形？假如可以，请给出一种剪法；假如不行，请说明理由；解：如下图，对 8× 8 的棋盘染色，就每一个 4×1 的长方形能盖住 2 白 2黑小方格，每一个 2×2 的正方形能盖住 1 白 3 黑或 3 白 1 黑小方格；推知 7 个正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为32，是一个偶数，故这种剪法是不存在的；例 4 在平面上有一个 27× 27 的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好81 枚棋子，它们被摆成一个 9×9 的正方形；按下面的规章进行嬉戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把 越过的这枚棋子取出来；问：是否存在一种走法，使棋盘上最终恰好剩下一枚 棋子？解：如下图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分；根据嬉戏规章，每走一步，有两部分中的棋子数各削减了一个，而第三部分的棋子数增加了一个；这说明每走一 步，每个部分的棋子数的奇偶性都要转变；由于一开头时， 81 个棋子摆成一个 9× 9 的正方形，明显三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一样的；假如在走了如干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，就两部分上的棋子数为偶数，而另一部分的棋子数为奇数，这种结局是不行能的，即不存在一种走法，使棋盘上最终恰好剩下一枚棋子；欢迎下载精品学习资源例 5 图 1是由 数字 0 ， 1交替 构成 的， 图 2 是 由 图 1中 任选减 1，如此反复多次形成的；问：图 2 中的 A 格上的数字是多少？解：如左下图所示，将 8×8 方格黑白交替地染色；此题答应右上图所示的 6 个操作，这 6 个操作无论实行在哪个位置上，白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数；所以图1 中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和，与图2 中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于 32，由（ 31A）-32=32，得出 A=33；例 6 有一批商品，每件都是长方体外形，尺寸是1×2× 4；现在有一批现成的木箱，内空尺寸是6× 6× 6；问：能不能用这些商品将木箱填满？解：我们用染色法来解决这个问题；先将6×6×6 的木箱分成 216 个小正方体，这 216 个小正方体，可以组成 27 个棱长为 2 的正方体；我们将这些棱长为 2 的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）；简单运算出，有 14 个黑色的，有 13 个白色的；现在将商品放入木箱内，不管怎么放，每件商品要占据8 个棱长为 1 的小正方体的空间，而且其中黑、白色的必需各占据 4 个；现在白色的小正方体共有8× 13=104（个），再配上104 个黑色的小正方体，一共可以放26 件商品，这时木箱余下的是 8 个黑色小正方体所占据的空间；这8 个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是容不下这件商品；因此不能用这些商品刚好填满；欢迎下载精品学习资源例 7 6 个人参与一个集会，每两个人或者相互熟悉或者相互不熟悉；证明：存在两个“三人组”，在每一个“三人组”中的三个人，或者相互熟悉， 或者相互不熟悉（这两个“三人组”可以有公共成员）；证明：将每个人用一个点表示，假如两人熟悉就在相应的两个点之间连一条红色线段，否就就连一条蓝色线段；此题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形；设这六个点为 A，B，C，D，E，F；我们先证明存在一个同色的三角形： 考虑由 A 点引出的五条线段 AB，AC， AD，AE，AF，其中必定有三条被染成了相同的颜色，不妨设 AB，AC，AD 同为红色；再考虑 BCD的三边：如其中有一条是红色，就存在一个红色三角形；如这三条都不是红色，就存在一个蓝色三角形；下面再来证明有两个同色三角形：不妨设ABC的三条边都是红色的；如 DEF也是三边同为红色的，就明显就有两个同色三角形；如DEF三边中有一条边为蓝色，设其为DE，再考虑DA， DB，DC 三条线段：如其中有两条为红色，就明显有一个红色三角形；如其中有两条是蓝色的，就设其为DA， DB；此时在 EA，EB中如有一边为蓝色，就存在一个蓝色三角形；而如两边都是红色， 就又存在一个红色三角形；故不论如何涂色，总可以找到两个同色的三角形；二、赋值法将问题中的某些对象用适当的数表示之后，再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法；很多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解；常见的赋值方式有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值；例 8 一群旅行者，从 A 村走到 B 村，路线如下图所示；怎样走才能在最短时间内到达 B 村？图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：分）；解：我们先把从 A 村到各村的最短时间标注在各村的旁边，从左到右，一一标注，如下图所示；欢迎下载精品学习资源由此不难看出，按图中的粗黑线走就能在最短时间（60 分钟）内从 A 村走到 B 村；例 9 把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色；问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由；解：假设题中所设想的染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数；一共有五条直线，把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来，得到的总和数仍应是一个奇数；但是，由观看可见， 图中每个点都恰好同时位于两条直线上，在求上述总和数时，代表各点的数字都恰被加过两次，所以这个总和应是一个偶数；这就导致冲突，说明假设不成立，染色方案不能实现；例 10 平面上 n（n2）个点 A1，A2， An 顺次排在同一条直线上，每点涂上黑白两色中的某一种颜色；已知 A1 和 An 涂上的颜色不同；证明：相邻两点间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数；证明：给予黑点以整数值 1，白点以整数值 2，点 Ai 以整数值为 ai，当 Ai 为黑点时， ai=1，当 Ai 为白点时， ai=2；再给予线段 AiA i+1 以整数值 ai+ai+1 ，就两端同色的线段具有的整数值为2 或 4，两端异色的线段具有的整数值为 3；全部线段对应的整数值的总和为（a1 a2）（ a2 a3）（ a3a4）（ an-1an）a1 an2（a2a3 an-1）212（a2a3 an-1）奇数；设具有整数值 2，3，4 的线段的条数依次为 l， m，n，就2l m4n=奇数；由上式推知， m 必为奇数，证明完毕；例 11 下面的表 1 是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时转变，或者使某一列四个字母同时转变；转变的规章是根据英文字母的顺序，每个英文字母变成它的下一个字母（即A 变成 B， B 变成 C Z 变成A）；问：能否经过如干次操作，使表1 变为表 2？假如能，请写出变化过程， 假如不能，请说明理由；S O B RK B D ST Z F PH E X G H O C NR T B S A D V XC F Y A表 1表 2解：不能；将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A 用1，B 用 2Z 用 26 代替）；这样表 1 和表 2 就分别变成了表 3 和表 4；每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：12，23， 2526，26 1；欢迎下载精品学习资源19152182026616815314142224表 311241985247182021936251表 4简单看出，每次操作使四个数字转变了奇偶性，而16 个数字的和的奇偶性没有转变；由于表 3 中 16 个数字的和为 213，表 4 中 16 个数字的和为 174，它们的奇偶性不同，所以表 3 不能变成表 4，即表 1 不能变成表 2；例 12 如图（ 1）（ 6）所示的六种图形拼成右下图，假如图（1）必需放在右下图的中间一列，应如何拼？解：把右上图黑、白相间染色（见上图）；其中有 11 个白格和 10 个黑格，当图形拼成后，图形（ 2）（ 4）（ 5）（ 6）肯定是黑、白各 2 格，而图形（ 3）必需有 3 格是同一种颜色，另一种颜色 1 格；由于前四种图形，黑、白已各占 2×4=8（格），而黑格总共只有 10 格，所以图形（ 3）只能是 3 白 1 黑；由此知道图（ 1）肯定在中间一列的黑格，而上面的黑格不行能，所以图（ 1） 在中间一列下面的黑格中；那么其它图形如何拼呢？为了说明便利，给每一格编一个数码（见左下图）；由于图（ 3）是 3 白 1 黑，所以为使角上不空出一格，它只能放在（1， 3， 4，5）或（ 7，12，13，17）或（ 11，15， 16，21）这三个位置上；如放在（ 1，3， 4，5）位置上，就图（ 6）只能放在（ 7，12， 13， 18）或（ 15，16，19， 20）或（ 2， 7， 8， 13）这三个位置，但是前两个位置是明显不欢迎下载精品学习资源行的，否就角上会空出一格；如放在（ 2， 7，8， 13）上，就图（ 2）只能放在（ 12，17，18， 19）位置上，此时不能同时放下图（ 4）和图（ 5）；如把图（ 3）放在（ 7， 12， 13， 17）位置上，就方格 1 这一格只能由图（ 2）或图（ 6）来占据；假如图（ 2）放在（ 1，2，3， 4），那么图（ 6）无论放在何处都要显现孤立空格；假如把图（ 6）放在（ 1，4，5， 10），那么 2，3 这两格放哪一图形都不合适；因此，图形（ 3）只能放在（ 11，15， 16，21）；其余图的拼法如右上图；练习 111. 中国象棋盘的任意位置有一只马，它跳了如干步正好回到原先的位置；问： 马所跳的步数是奇数仍是偶数？2. 右图是某展览大厅的平面图，每相邻两展览室之间都有门相通；今有人想从进口进去，从出口出来，每间展览厅都要走到，既不能重复也不能遗漏，应如何走法？3. 能否用下图中各种外形的纸片（不能剪开）拼成一个边长为99 的正方形（图中每个小方格的边长为1）？请说明理由；4. 用 15 个 1×4 的长方形和 1 个 2×2 的正方形，能否掩盖 8×8 的棋盘？5. 平面上不共线的五点，每两点连一条线段，并将每条线段染成红色或蓝色；假如在这个图形中没有显现三边同色的三角形，那么这个图形肯定可以找到一红一蓝两个“圈”（即封闭回路），每个圈恰好由五条线段组成；6. 将正方形 ABCD 分割成 n2 个相等的小正方格，把相对的顶点A，C 染成红色， B，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两种颜色之一；试说明：恰有三个顶点同色的小方格的数目是偶数；7. 已知 ABC 内有 n 个点，连同 A，B， C 三点一共（ n3）个点；以这些点为顶点将 ABC 分成如干个互不重叠的小三角形；将A， B，C 三点分别染成红色、蓝色和黄色；而三角形内的n 个点，每个点任意染成红色、蓝色和黄色三色之一；问：三个顶点颜色都不同的三角形的个数是奇数仍是偶数？8. 从 10 个英文字母 A，B，C，D，E， F， G，X，Y，Z 中任意选 5 个字母（ 字母答应重复）组成一个“词”，将全部可能的“词”按“字典次序”（即英汉辞典中英语词汇排列的次序）排列，得到一个“词表”：AAAAA ，AAAAB ， AAAAZ ，AAABA ，AAABB ， ZZZZY ，ZZZZZ ；设位于“词” CYZGB 与“词” XEFDA之间（这两个词除外）的“词”的个数是 k，试写出“词表”中的第 k 个“词”；练习 11 答案：1. 偶数；欢迎下载精品学习资源解：把棋盘上各点按黑白色间隔进行染色（图略）；马如从黑点动身，一步只能跳到白点，下一步再从白点跳到黑点，因此，从原始位置起相继经过： 白、黑、白、黑要想回到黑点，必需黑、白成对，即经过偶数步，回到原先的位置；2. 不能；解：用白、黑相间的方法对方格进行染色（如图）；如满意题设要求的走法存在，必定从白色的展室走到黑色的展室，再从黑色的展室走到白色的展室，如此循环往复；现共有36 间展室，从白色展室开头，最终应当是黑色展室；但右图中出口处的展室是白色的，冲突；由此可以判定符合要求的走法不 存在；3. 不能；解：我们将 99× 99 的正方形中每个单位正方形方格染上黑色或白色，使每两个相邻的方格颜色不同，由于99× 99 为奇数，两种颜色的方格数相差为1；而每一种纸片中，两种颜色的方格数相差数为0 或 3，假如它们能拼成一个大正方形，那么其中两种颜色之差必为3 的倍数；冲突！4. 不能；解：如图，给 8×8 的方格棋盘涂上 4 种不同的颜色（用数字1，2，3，4 表示）；明显标有 1，2，3，4 的小方格各有 16 个；每个 1× 4 的长方形恰好盖住标有 1， 2， 3， 4 的小方格各一个，但一个2× 2 的正方形只能盖住有三种数字的方格，故无法将每个方格盖住，即不行能有题目要求的掩盖；5. 证：设五点为 A， B，C，D，E；考虑从 A 点引出的四条线段：假如其中有三条是同色的，如 AB ，AC，AD 同为红色，那么 BCD 的三边中，如有一条是红色，就有一个三边同为红色的三角形；如三边都不是红色，就存在一个三边同为蓝色的三角形；这与已知条件是冲突的；欢迎下载精品学习资源所以，从 A 点动身的四条线段，有两条是红色的，也有两条是蓝色的；当然，从其余四点引出的四条线段也恰有两条红色、两条蓝色，整个图中恰有五 条红色线段和五条蓝色线段；下面只看红色线段，设从 A 点动身的两条是 AB， AE；再考虑从 B 点动身的另一条红色线段，它不应是BE，否就就有一个三边同为红色的三角形；不妨 设其为 BD；再考虑从 D 点动身的另一条红色线段，它不应是DE，否就从 C 引出的两条红色线段就要与另一条红色线段围成一个红色三角形，故它是DC ；最终一条红色线段明显是 CE；这样就得到了一个红色的“圈”：ABDCEA；同理，五条蓝线也构成一个“圈”；6. 证：将红点赋值为 0，蓝点赋值为 1；再将小方格四顶点上的数的和称为这个小方格的值；如恰有三顶点同色，就该小方格的值为奇数，否就为偶数；在计算全部 n2 个小方格之值的和时，除 A，B，C，D 只运算一次外，其余各点都被运算了两次或四次；由于 A，B， C， D 四个点上的数之和是偶数，所以n2 个小方格之值的和是偶数，从而这 n2 个值中有偶数个奇数；7. 奇数；解：先对全部的小三角形的边赋值：边的两端点同色，该线段赋值为0， 边的两端点不同色，该线段赋值为1；然后运算每个小三角形的三边赋值之和，有如下三种情形：（1） 三个顶点都不同色的三角形，赋值和为3；（2） 三个顶点中恰有两个顶点同色的三角形，赋值和为2；（3） 三个顶点同色的三角形，赋值和为0；设全部三角形的边赋值总和为S，又设（ 1）（ 2）（ 3）三类小三角形的个数分别为 a， b， c，于是有S=3a+2b+0c=3a+2b；（ *）留意到在全部三角形的边赋值总和中，除了AB ，BC，CA 三条边外，都被运算了两次，故它们的赋值和是这些边赋值和的2 倍，再加上 ABC 的三边赋值和 3，从而 S 是一个奇数，由（ * ）式知 a 是一个奇数，即三个顶点颜色都不同的三角形的个数是一个奇数；8. EFFGY；解：将 A， B，C，D，E，F，G， X，Y ，Z 分别赋值为 0， 1， 2， 3， 4， 5，6，7，8，9，就CYZGB=28961，_XEFDA=74530 ；在 28961 与 74530 之间共有 74530-28961-1=45568（个）数，词表中第45568 个词是 EFFGY；欢迎下载精品学习资源欢迎下载