2022年初三函数知识点总结.docx

二次函数学问点 ：二次函数学问点总结1. 二次函数的概念：一般地,形如（ a ,b ,c是常数,）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数,而 b ,c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2 a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数,c 是常数项二次函数的基本形式函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2yax 2k2ya xh2ya xhk当 a0 时开口向当 a0 时开口向yax2bxc二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk ,确定其顶点坐标h ,k； 保持抛物线yax2 的外形不变,将其顶点平移到h,k处,详细平移方法如下：y=a2x向上k>0【或向下k<0】平移|k|个单位y=ax2+k向右h>0【或左h<0】平移|k|个单位向上k>0【向右h>0【或左h<0】 平移k| |个单位或下k<0】向右h>0【 或左h<0】平移|k|个单位平移|k|个单位y=ax-h2向上k>0【或下k<0】平移|k|个单位y=ax-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”概括成八个字“ 左加右减,上加下减 ”二次函数2ya xhk 与 yax2bxc 的比较从解析式上看,2ya xhk 与yax2bxc 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2yaxb 2a4acb24a,其中 hb ,k 2a4acb24a2二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc 化为顶点式yaxh2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0 ,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h ,c、与 x 轴的交点x1 ,0,x2 ,0 （如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.2画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .五、二次函数yaxbxc的性质1. 当 a0 时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为当 xb 2a时, y 随 x 的增大而；当 x2b 时, y 随 x 的增大而；2a当 xb 2a时, y 有最值4acb 4a（ 左减右增 ）bb4acb22. 当 a0 时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为2a,2 a4a当时, y 随 x 的增大而增大；当时, y 随 x 的增大而减小；2当时, y 有最大值4acb 4a（左增右减 ）六、 用待定系数法求二次函数的解析式（ 1）一般式： yax 2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式.（ 2）顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.（ 3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x1、x2 ,通常选用交点式：ya xx1xx2依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用；七、抛物线 yax2bxc 中,a, b, c 的作用（ 1） a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax2bxc 的对称轴是直线 xb ,2 a故： b0 时,对称轴为； b a0 （即 a 、 b 同号）时,对称轴在y 轴； b0 （即 a 、 b 异号）时,对称轴在y 轴.（左同右异）a（ 3） c 的大小打算抛物线yax2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0 时, yc ,抛物线 yax 2bxc 与 y 轴有且只有一个交点： c0 ,抛物线经过; c0 , 与 y 轴交于半轴； c0 , 与 y 轴交于半轴 .以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就b0 .a二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称ya 2xb x关c于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ；2. 关于 y 轴对称ya 2xb x2关c于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2ya xh3. 关于原点对称k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是ya xhk ；ya 2xb x 关c于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2yaxh4. 关于顶点对称关k 于原点对称后,得到的解析式是2ya xhk ；b2ya 2xb x 关c于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc2a ；2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 5. 关于点 m,n 对称2ya xhk 关于点 m,n对称后,得到的解析式是2ya xh2m2nk依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向, 然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：21. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：一元二次方程axbxc0 是二次函数yax2bxc 当函数值 y0 时的特别情形 .图象与 x 轴的交点个数： 当b24ac0 时,图象与 x 轴交于两点A x ,0,B x ,0xx x ,x1212,其中的 12 是一元二次方程2axbxc0 a0的两根这两点间的距离2ABx2x1b4ac a. 当0 时,图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时,图象与 x 轴没有交点 .1' 当0 , a0 时y 总是正数或图像总在x 轴上方；22' 当0 , a0 时y 总是负数或图像总在x 轴下方；2. 抛物线yaxbxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 ,c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中a , b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质, 求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式 ax2bxc a0 本身就是所含字母 x 的二次函数； 下面以 a0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与 x 轴只有一个交点0抛物线与 x 轴无交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.直线与抛物线的交点（ 1） y 轴与抛物线 yax2bxc 得交点为 0,c .（ 2）与 y 轴平行的直线 xh 与抛物线 yax2bxc 有且只有一个交点 h ,ah 2bhc .（ 3）抛物线与 x轴的交点二次函数 yax2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1 、x2 ,是对应一元二次方程ax 2bxc0 的两个实数根 .（ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .（ 5）一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 yax2bxc a0 的图像 G 的交点,由方程ykxn组yax2bx的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ; 方c程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与G 没有交点 .（ 6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax 2bxc 与 x 轴两交点为A x1,0 , Bx2,0 ,由于 x1 、x1x2x2 是方程1b , x aax 2bxc cx2a0 的两个根,故22ABx1x22x1x22x1x24x1x2b4caab4acaa任意两点之间的距离公式A （ x 1 ,y1 ） B（x2 ,y2 ）,就 AB=锐角三角函数学问点1、锐角 A 的三角函数定义（按右图 RtABC 填空）A 的正弦： sinA =,A 的余弦： cosA =,A 的正切： tanA =, 2、特别锐角的三角函数值表角度30O45O60O值sin cos tan 3、同角三角函数关系： （利用定义可得）22平方关系： sin A+cos A=商数关系： tanA=4、互余的两锐角的三角函数关系： sinA=coscosA=sin tanA tan （90°-A） =（）5、解直角三角形在 RtABC 中, C 90°,边与角有以下关系：（ 1）三边的关系：；（ 2）两锐角的关系： A+ B=；（ 3）边和角之间的关系（两边一锐角）： a=b=c=实际问题中的有关概念： （查书懂得）（ 1）仰角、俯角（ 2）坡面、坡度、坡角、坡比；6、应用解直角三角形的有关学问可以解决以下问题：（ 1）测量物体的高度； （2）有关航行问题； （ 3）运算坝体或大路的坡度等问题；7、锐角三角函数值中,正弦和余弦值的大小范畴： sin A ； cos A tanA圆学问点基本概念：弧、弦、圆心角、圆周角确定圆的条件：基本性质对称性：圆垂径定理：圆心角、弧、弦的关系定理：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆心角是它所对的圆周角的推论：（ 1）同弧或等弧所的圆周角（ 2） 90°的圆周角所对弦是,与圆有关的运算公式： （ 1）弧长公式；（ 2）扇形面积公式；（ 3）扇形周长公式；4 圆锥侧面积公式；（ 5）圆锥侧面积公式（ 6）其他1. 点与圆的位置关系： （ d 是指：）dr ; dr ; dr ;位2、直线与圆的位置关系： （ d 是指：）dr关置 ; dr ; dr ;系3、 两圆位置关系： （ d 是指：） ; ; ; ; ;圆与切线（ 1）圆的切线的性质：（ 2）圆的切线的判定方法： （从定义）（从直线与圆的位置关系）（从判定定理）（ 3）切线长定理：；A如右图,请写出图中的几个结论：OPB（4）一个圆有条切线,过圆上一点可以作条切线,过圆外一点可以作（ 5）三角形的内切圆的圆心是三角形的外接圆的圆心是直角三角形的外接圆的半径等边三角形的外接圆的半径A条切线；的交点 ,叫做三角形的的交点 ,叫做三角形的；=,内切圆的半径,内切圆的半径=O如图,如 O 为 ABC 的外心,就 BOC=如 O 为 ABC 的内心,就 BOC=BC；