2022年初三复习二次函数动点问题.docx

二次函数的动态问题动点1. 如图，正方形ABCD 的顶点 A， B 的坐标分别为0，10，8，4，顶点 C， D在第一象限点 P 从点 A 动身，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点 E4，0动身，沿 x 轴正方向以相同速度运动当点P 到达点 C 时， P，Q时间为 t 秒1求正方形 ABCD 的边长两点同时停止运动，设运动的2当点 P 在 AB 边上运动时，OPQ的面积 S 平方单位与时间t 秒之间的函数图象为抛物线的一部分如图所示，求 P， Q 两点的运动速度3求 2中面积 S 平方单位与时间 t 秒的函数关系式及面积S 取最大值时点 P的坐标4假设点 P， Q 保持 2中的速度不变，就点P 沿着 AB 边运动时，OPQ的大小随着时间 t 的增大而增大； 沿着 BC 边运动时， OPQ的大小随着时间 t 的增大而减小 当点P 沿着这两边运动时，使OPQ90 的点 P 有个抛物线2yaxbxc a0 的顶点坐标是b4acb2，2a4ayDs28CAP20BQOEx图O10t图 解 1作 BFy 轴于 F A 0，10 ，B 8，4 ，FB8， FA6 AB10 2由图可知，点P 从点 A 运动到点 B 用了 10 秒又AB10，10101P， Q 两点的运动速度均为每秒1 个单位3方法一：作PGy 轴于 G ，就 PG BF GAAP，即FAAB3GAt610GAt 5OG10OQ43 t 5t ，S1OQOG1 t4103 t2253219即 Stt 1051920 b52a231019 ，且30 19 10 ，319当 t3时， S 有最大值此时 GP4 t76， OG103 t31 ，51555点 P 的坐标为76 31，155 8 分方法二：当 t5 时， OG7， OQ9， S1 OG OQ63 设所求函数关系式为Sat 222bt20 抛物线过点63，10，28，5，2100a10b2028，25a5b2063.23a，10b19 .5S3 t219 t20 10519b52a2319 ，且30 19 10 ，31019当 t时， S 有最大值 3此时 GP7631， OG，15576 31点 P 的坐标为4 2 ，155 点评 此题主要考查函数性质的简洁运用和几何学问，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，信任解决这种问题不会特别难；2. 如图， Rt ABC 中，B90 ，CAB30 它的顶点 A 的坐标为 10，0 ，顶点B 的坐标为 5，5 3 ， AB10 ，点 P 从点 A 动身，沿 ABC 的方向匀速运动，同时点 Q 从点 D 0，2 动身， 沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点 P 到达点 C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒1求BAO 的度数2当点 P 在 AB 上运动时，OPQ的面积 S 平方单位与时间t 秒之间的函数图象为抛物线的一部分， 如图，求点 P 的运动速度3求 2中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标4假如点 P， Q 保持 2中的速度不变，那么点P 沿 AB 边运动时，OPQ 的大小随着时间 t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ 的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使OPQ90 的点 P 有几个？请说明理由yCBQPDOAxS 3010O5t第 29 题图第 29 题图解: 1 BAO60 2点 P 的运动速度为2 个单位 /秒3 P10t， 3t 0 t 5 S1 2t2210t 2t9121 249121当 t时， S 有最大值为，24此时11 93P，224当点 P 沿这两边运动时，OPQ90 的点 P 有 2 个当点 P 与点 A 重合时，OPQ90 ，当点 P 运动到与点 B 重合时， OQ 的长是 12 单位长度，作 OPM90 交 y 轴于点 M ，作 PHy 轴于点 H ，由 OPHOPM得： OM20311.5 ，3所以 OQOM ，从而OPQ90 所以当点 P 在 AB 边上运动时， OPQ90 的点 P 有 1 个y103Q同理当点 P 在 BC 边上运动时，可算得OQ1217.8 3MHCB PDOAx第 29 题图0，而构成直角时交y 轴于3533， 353320.217.8 ，所以 OCQ90 ，从而OPQ90 的点 P 也有 1 个所以当点 P 沿这两边运动时，OPQ90 的点 P 有 2 个3. 此题总分值 14 分 如图 12 ，直线 y4 x4 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，3已知二次函数的图象经过点A、 C 和点 B1 , 0.1求该二次函数的关系式；2设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形 AOCM的面积；3有两动点 D 、 E 同时从点 O 动身，其中点 D 以每秒3 个单位长度的速度沿折线OAC2按 O A C 的路线运动，点 E 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线 OCA 按 O C A 的路线运动， 当 D 、E 两点相遇时， 它们都停止运动 . 设 D 、 E 同时从点 O 动身 t 秒时， ODE 的面积为 S .请问 D 、 E 两点在运动过程中，是否存在 DE OC ，假设存在，恳求出此时 t 的值； 假设不存在，请说明理由；恳求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范畴；设 S0 是中函数 S 的最大值，那么 S0 =.解：1令 x0 ，就 y4 ；令 y0 就 x3 A3，0 C0 ，4二次函数的图象过点C 0，4 ，可设二次函数的关系式为2yaxbx4又该函数图象过点A 3，0 B1，009a3b4 ，0ab4解之，得 a4 ， b8 33所求二次函数的关系式为y4 x 238 x432 y4 x238 x43=4 x1 21633yM1，顶点 M 的坐标为16C3E过点 M 作 MFx 轴于 F S四边形 AOCMS AFMS梯形 FOCM1161=312321641103BAOFDx四边形 AOCM 的面积为 103不存在 DE OC假设 DE OC，就点 D， E 应分别在线段 OA， CA 上，此时 1t2 ，在 Rt AOC 中，AC5 x14t412t12设点 E 的坐标为x1 ，y1 3， x15 DE OC ，512t1238t t5238 t>2 ，不满意 1t2 3不存在 DE OC 依据题意得D ，E 两点相遇的时间为34534224 秒11现分情形争论如下：132当 0t 1时， St 4t 223t ；当 1t 2 时，设点 E 的坐标为x2，y2 y2544t4 ， y 53616t52 S13 t223616t512 t 2527 t5当 2 < t <24 时，设点 E 的坐标为x ，y，类似可得y3616t设点 D 的坐标为11x4 , y43335yMy3 t342，C4 y456t12ED5 SSSBA AOE AODOx1336216t5136t1225=33 t7255 S0243802247.关于 x 的二次函数yx k上方4x2k2 以 y 轴为对称轴， 且与 y 轴的交点在 x 轴1求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；2设 A 是 y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点 A 作 AB 垂直于 x 轴于点 B ，再过点 A 作x轴的平行线交抛物线于点D ，过点 D 作 DC 垂直于 x 轴于点 C ，得到矩形 ABCD 设矩形 ABCD 的周长为 l ，点 A 的横坐标为 x ，试求 l 关于 x 的函数关系式；3当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形假设能，恳求出此时正方形的周长；假设不能，请说明理由b4acb2参考资料：抛物线byax2bxca0 的顶点坐标是，对称轴是直线2a4ax2a解：1据题意得：k 240 ，k2 当 k2 时， 2 k当 k2 时， 2k220 260 又抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，k2 抛物线的解析式为：yx22 函数的草图如下图 只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致外形正确即可2解：令x220 ，得 x2 不 0x2 时，A1D12x ，A Bx22 ，l2 A1B1当 x2 时，A D 2 x211A2D22x ，114 x4 y43A2 B2x22x22 22D1A1l2 A2 D2A2 B2 2 x4x4 C2C11B1Bl 关于 x 的函数关系是：432121234x当 0x2 时， l2 x24 x4 ；12A D，456第726 题当 x2 时， l2x24 x4 33解法一：当 0x2 时，令A1 B111D2A2得 x22 x20解得 x13 舍，或 x13 将 x13 代入 l2 x24 x4 ，得 l838当 x2 时，令A2 B2A2 D2 ，得x22 x20 解得 x13 舍，或 x13 将 x13 代入 l2 x24 x4 ，得 l8 38 综上，矩形 ABCD 能成为正方形， 且当 x31时正方形的周长为 838 ；当 x31时，正方形的周长为8 38 解法二：当 0x2 时，同“解法一”可得x13 正方形的周长l4 A1D18x838 当 x2 时，同“解法一”可得x13 正方形的周长l4A2D28x8 38 综上，矩形 ABCD 能成为正方形， 且当 x31时正方形的周长为 838 ；当 x31时，正方形的周长为8 38 解法三：点 A 在 y 轴右侧的抛物线上，x0 ，且点 A 的坐标为 x， x22 令 ABAD ，就x222x x222 x ，或x222x由解得 x13 舍，或 x13 ；由解得 x13 舍，或 x13 又 l8 x ，当 x13 时 l8 38 ；当 x13 时 l838 综上，矩形 ABCD 能成为正方形， 且当 x31时正方形的周长为 838 ；当 x31时，正方形的周长为8 38 5. 已知抛物线 yax2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长 OB<OC是方程 x2 10x 16 0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x 21求 A、B、 C 三点的坐标；2求此抛物线的表达式；3连接 AC、BC，假设点 E 是线段 AB 上的一个动点与点A、点 B 不重合，过点E 作 EF AC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m， CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范畴；4在 3的基础上试说明 S 是否存在最大值，假设存在，恳求出S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判定此时 BCE 的外形；假设不存在，请说明理由第 26 题图解：1解方程 x2 10x 160 得 x1 2， x2 8点 B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，且OBOC点 B 的坐标为 2， 0，点 C 的坐标为 0， 8又抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2由抛物线的对称性可得点A 的坐标为 6， 02点 C0， 8在抛物线 y ax2 bx c 的图象上 c 8，将 A 6， 0、 B2， 0代入表达式，得第 26 题图 批卷老师用图 a 2036a 6b80 4a 2b 83解得8b 3所求抛物线的表达式为y 2x2 8x8333依题意， AE m，就 BE 8 m， OA 6，OC 8， AC 10 EF AC BEF BAC EF BE即EF 8 mACAB108 EF 40 5m4过点 F 作 FG AB，垂足为 G，就 sin FEG sin CAB 45 FG 4 FG440 5m8 mEF5 5·4 S S BCE SBFE12 28 m×8128 m8m1 8 m8 8m 218 mm21 4m 2m自变量 m 的取值范畴是 0 m 84存在理由： S 1m2 4m1m42 810，2 2且 2当 m 4 时， S 有最大值， S 最大值 8 m 4，点 E 的坐标为 2， 0 BCE 为等腰三角形6. 14 分如图：抛物线经过 A -3， 0、B 0，4、C4， 0三点 .1 求抛物线的解析式 .2已知 AD = AB D 在线段 AC 上，有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动； 同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分，求 t 的值；3在 2的情形下，抛物线的对称轴上是否存在一点 M ，使 MQ+MC 的值最小？ 假设存在，恳求出点 M 的坐标；假设不存在，请说明理由；注：抛物线yaxbxc的对称轴为 xb 22 a1解法一：设抛物线的解析式为y = a x +3 x - 4由于 B 0，4在抛物线上，所以4 = a 0 + 3 0 - 4 解得 a= -1/31121所以抛物线解析式为yx3x4xx4333解法二：设抛物线的解析式为yax2bxc aa0 ，19a依题意得： c=4 且16a3b403解得4b40b13所以所求的抛物线的解析式为y1 x21 x4332连接 DQ ，在 Rt AOB 中，ABAO2BO232425所以 AD=AB= 5 ， AC=AD+CD=3 + 4 = 7 ， CD = AC - AD = 7 5 = 2由于 BD 垂直平分 PQ，所以 PD=QD ， PQ BD ，所以 PDB= QDB 由于 AD=AB ，所以 ABD= ADB ， ABD= QDB ，所以 DQ AB 所以 CQD= CBA ； CDQ= CAB ，所以 CDQ CABDQCDDQ210即, DQABCA57710252525所以 AP=AD DP = AD DQ=5 =， t1777725所以 t 的值是73答对称轴上存在一点M ，使 MQ+MC 的值最小理由：由于抛物线的对称轴为xb12a21所以 A - 3， 0， C4， 0两点关于直线1x对称2连接 AQ 交直线x于点 M ，就 MQ+MC的值最小2过点 Q 作 QE x 轴，于 E，所以 QED= BOA=900 DQ AB ， BAO= QDE ， DQE ABO10QEDQDEQE即7DEBOABAO453所以 QE= 87， DE= 67，所以 OE = OD + DE=2+6 = 2077，所以 Q 20 ， 8 77设直线 AQ 的解析式为 ykxm k0208k8km就773km0由此得41m2441x1所以直线 AQ 的解析式为 y8 x24联立24141824yx4141由此得1x2y8 x24所以 M 1 , 28 2414141就：在对称轴上存在点M128, ，使 MQ+MC的值最小；2417. 如图 9，在平面直角坐标系中，二次函数yax 2bxca0 的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为 3， 0，OB OC ， tan ACO 1 31求这个二次函数的表达式2经过 C、D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点 A、 C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，恳求出点F 的坐标；假设不存在，请说明理由3假设平行于 x 轴的直线与该抛物线交于M、N 两点，且以 MN为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度4如图 10，假设点 G2， y是该抛物线上一点，点P 是直线 AG下方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P 点的坐标和 APG的最大面积 .yyEAOBxAOBxCCGDD图 9图 101方法一：由已知得：C0， 3， A 1， 0 1 分将 A、B、C三点的坐标代入得abc0 9a3bc0 c32 分a1解得： b22c33 分所以这个二次函数的表达式为：yx2x33 分方法二：由已知得： C0， 3， A 1， 0 1 分设该表达式为： ya x1 x32 分将 C 点的坐标代入得： a13 分所以这个二次函数的表达式为：yx22x33 分注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分2方法一：存在，F 点的坐标为 2， 34 分理由：易得 D1， 4，所以直线 CD的解析式为： yx3E 点的坐标为 3， 04 分由 A、C、E、F 四点的坐标得： AE CF 2， AECF以 A、 C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F，坐标为 2， 35 分方法二：易得D1， 4，所以直线 CD的解析式为： yx3E 点的坐标为 3， 0 4 分以 A、 C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形F 点的坐标为 2， 3或 2， 3或 4， 3代入抛物线的表达式检验，只有2， 3符合存在点 F，坐标为 2， 3 5 分3如图，当直线MN在 x 轴上方时，设圆的半径为RR>0，就 NR+1， R，代入抛物线的表达式，解得117R2 6 分y当直线 MN在 x 轴下方时，设圆的半径为r r>0 ，就 Nr+1 ， r ，1RMN代入抛物线的表达式，解得117Rr 7 分2AOBxr1rMN圆的半径为 117 或21172 7 分4过点 P 作 y 轴的平行线与AG交于点 Q，易得 G 2， 3，直线 AG为 yx1 8 分设 Px， x 22 x3 ，就 Qx， x 1，PQ12x 2x2 S APGS APQS GPQx 2x239 分当 x12时， APG的面积最大此时 P 点的坐标为115,24， S APG的最大值为2710 分88本小题 12 分解：1解方程 x2 10x 16 0 得 x1 2， x2 8点 B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，且OBOC点 B 的坐标为 2， 0，点 C 的坐标为 0， 8又抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2由抛物线的对称性可得点A 的坐标为 6， 0 A 、B、 C 三点的坐标分别是A 6， 0、B2， 0、C0， 82点 C0， 8在抛物线 y ax2 bx c 的图象上 c 8，将 A 6， 0、 B2， 0代入表达式 y ax2 bx 8，得2036a 6b80 4a 2b 8a 3解得3b 8所求抛物线的表达式为y 2x2 8x8333 AB8， OC 81 S ABC 2×8×8=324依题意， AE m，就 BE 8 m， OA 6，OC 8， AC 10 EF AC BEF BAC EF BE即EF 8 m EF40 5mACAB1084过点 F 作 FG AB，垂足为 G，就 sin FEG sin CAB 45 FG 4 FG440 5m8mEF5 5·41 S S BCE SBFE 28 m×8128 m8m21 8 m8 8m 218 mm21 4m 2m自变量 m 的取值范畴是 0 m 85存在理由：m S 122 4m1m 42 821且 20，当 m 4 时， S 有最大值， S 最大值 8 m 4，点 E 的坐标为 2， 0 BCE为等腰三角形9.12 分已知：如图 14，抛物线 y33 x243 与 x 轴交于点 A ，点 B ，与直线 y3 xb4相交于点 B ，点 C ，直线yxb 与 y 轴交于点 E 41写出直线 BC 的解析式2求 ABC的面积3假设点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度从A 向 B 运动不与A， B 重合，同时，点 N 在射线 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度从B 向 C 运动设运动时间为 t秒，请写出 MNB的面积 S 与t 的函数关系式， 并求出点 M 运动多少时间时， MNB 的面积最大，最大面积是多少？解：1在y3 x243 中，令 y0y3 x230C4Ex12 ， x22NA2，0 ， B 2，01 分AM DOPBx又点 B 在 y30b23 xb 上4b32BC 的解析式为 y3 x32 分y3 x24423x11x222由，得9y3 x3y14424 分y201 9C， ，4B2，09AB4 ， CD5 分4S ABC14996 分2423过点 N 作 NPMB 于点 PEOMB NP EO BNP BEO7 分BNNP8 分BEEO由直线y3 x3 可得： E30，422在 BEO 中， BO2tNP2 ， EO63 ，就 BE522，NPt9 分53522S1 6 t 4t 2 5S3 t 212 t 0t410 分55S3 t2 21211 分55此抛物线开口向下，当 t2 时，12S最大512当点 M 运动 2 秒时， MNB的面积到达最大，最大为12 分5