2022年抽象函数的对称性奇偶性与周期性总结及习题 .docx

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一. 概念:抽象函数是指没有给出详细的函数解析式或图像, 只给出一些函数符号及其满意的条件的函数 , 如函数的定义域 , 解析递推式 , 特定点的函数值, 特定的运算性质等 , 它是高中函数部分的难点 , 也是高校高等数学函数部分的一个连接点 , 由于抽象函数没有详细的解析表达式作为载体, 因此懂得讨论起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的规律思维才能、丰 富的想象力以及函数学问敏捷运用的才能1、周期函数的定义：对于 fx定义域内的每一个x ,都存在非零常数 T ,使得f xT f x 恒成立,就称函数f x具有周期性, T 叫做f x的一个周期, 就 kT（ kZ, k0 ）也是f x的周期,全部周期中的最小正数叫f x的最小正周期；分段函数的周期： 设 yf x 是周期函数,在任意一个周期内的图像为C: yf x,xa,b ,Tba；把 yf x沿x轴平移 KTK ba 个单位即按向量akT ,0平移,即得 yf x 在其他周期的图像：yf xkT , xkTa, kTb ；f xf x f xkTxa,bxkTa,kTb2、奇偶函数：设 yf x, xa,b 或xb, aa, b如 f xf x, 就称yf x为奇函数；如 f xf x就称 yf x为偶函数 ；分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1） ）中心对称即点对称：点 Ax,y与B2ax,2by关于点a, b对称； 点Aax,by与B ax, by关于 a,b对称； 函数yf x与2byf 2 ax关于点a,b成中心对称； 函数byf ax与byf ax关于点 a,b成中心对称； 函数F（ x, y0与F 2ax,2by0关于点 a,b成中心对称；（2） ）轴对称：对称轴方程为： AxByC0 ；/ 点A x, y与B x , y B x2 A AxA 2ByC , y B 22 B AxA 2ByC B 2关 于直线 AxByC0成轴对称；函数 yf x与y2B AxA 2ByC B 2f x2 A AxA2ByC B 2关于直线AxByC0 成轴对称； F x, y0与F x2A AxA2ByC , y B22B AxA2ByC B 20 关于直线AxByC0 成轴对称；二、函数对称性的几个重要结论（一）函数yf x 图象本身的对称性（自身对称）如 f xaf xb ,就f x 具有周期性； 如f axf bx ,就f x具有对称性：“内同表示周期性,内反表示对称性 ”；1、 f axf bxyf x 图象关于直线x axbx 2ab 对称2推论 1：f axf axyf x 的图象关于直线 xa 对称推论 2、f xf 2 axyf x 的图象关于直线 xa 对称推论 3、 f xf 2axyf x 的图象关于直线 xa 对称2、 f axf bx2cyf x 的图象关于点 ab , c 对称2推论 1、f axf ax2byf x 的图象关于点a,b 对称推论 2、f xf 2ax2byf x 的图象关于点a, b 对称推论 3、 f xf 2ax2byf x 的图象关于点a, b 对称（二） 两个函数的图象对称性 （相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程懂得）1、偶函数 yf x 与 yf x 图象关于 Y 轴对称2、奇函数 yf x 与 yf x 图象关于原点对称函数13、函数 yf x 与yf x 图象关于 X 轴对称4、互为反函数 yf x 与函数 yf x 图象关于直线 yx 对称5. 函数 yf ax 与 yf bx 图象关于直线 xba 对称2推论 1: 函数 yf ax 与 yf ax 图象关于直线x = a对称推论 2: 函数 yf x 与 yf 2ax图象关于直线xa 对称推论 3: 函数 yf x 与 yf 2ax 图象关于直线xa 对称（三） 抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 如函数 yfx关于直线 xa 轴对称,就以下三个式子成立且等价：（ 1） fa x fa x（2）f2a x fx（3）f2a x f x 性质 2 如函数 yfx关于点（ a,0）中心对称,就以下三个式子成立且等价：（ 1） fa x fa x （ 2） f2a x fx （3）f2a x f x易知, yfx为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a0 时的特例；2、复合函数的奇偶性定义 1、 如对于定义域内的任一变量 x,均有 fg xfgx,就复数函数 yfgx为偶函数；定义 2、 如对于定义域内的任一变量 x,均有 fg x fgx,就复合函数 yfgx为奇函数；说明：（ 1）复数函数 fgx为偶函数, 就 fgx fgx而不是 fgxfgx,复合函数 yfgx为奇函数,就 fg x fgx而不是 f gx fgx；（2） ）两个特例： yfx a 为偶函数,就 fx a f x a ；yfx a 为奇函数,就 f x a fa x（3） ）yfx a 为偶（或奇）函数,等价于单层函数yfx关于直线 x a 轴对称（或关于点（ a,0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yfa x 与 yfb x 关于直线 x（ ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yfa x 与 y fb x 关于点（ ba）/2 ,0）中心对称推论 1、 复合函数 yfa x 与 yfa x 关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yfa x 与 y fa x 关于原点中心对称4、函数的周期性如 a 是非零常数,如对于函数 yfx 定义域内的任一变量 x 点有以下条件之一成立,就函数 yfx是周期函数,且 2|a| 是它的一个周期；fx a fx a fx a fxfx a 1/fxfx a 1/fx 5、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 yfx同时关于直线 xa 与 xb 轴对称,就函数 fx必为周期函数,且 T 2|a b|性质 6、如函数 yfx 同时关于点（ a,0）与点（ b,0）中心对称,就函数 fx必为周期函数,且 T2|a b|性质 7、如函数 yfx 既关于点（ a, 0）中心对称,又关于直线 xb 轴对称,就函数 fx必为周期函数,且 T 4|a b|6、函数对称性的应用（ 1）如 yf x关于点（h, k对称,就 xx/2h, yy /2k , 即f xf x / f xf 2hx2kf x1f x2f xn f 2hxn f 2hxn 1 f 2 hx1 2nk（ 2）例题a x111、 fxxa关于点（a, ）对称：22f xf 1x1;f x4 x12 x 12 x1关于（ 0,1）对称：f xf x2f x1 x1R, x0关于（11, ）对称：2 2f（xf 1 1x2 、奇函数的图像关于原点（0, 0）对称：f xf x0 ；3 、 如f xf 2ax或f axf ax, 就yf x的 图 像 关 于 直 线xa 对称；设f x0有n个不同的实数根,就x1x2xnx12ax1x22ax2 xn22axn 2na .当n2k1时,必有x12ax1,x1a（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、 f xT f x T0 yf x 的周期为 T , kT kZ 也是函数的周期2、 f xaf xbyf x 的周期为 Tba3、 f xaf xyf x 的周期为T2a4、 f xa1f xyf x 的周期为T2a5、 f xa1f xyf x 的周期为T2a6、 f xa1f x1f xyf x 的周期为T3a7、 f xa1f x1yf x 的周期为T2a8、 f xa1f x1f xyf x 的周期为T4a9、 f x2af xaf xyf x 的周期为T6a10、如 p0, f pxf pxp ,就Tp .2211、 yf x 有两条对称轴 xa 和 xb bayf x周期 T2ba推论：偶函数 yf x 满意f axf axyf x周期 T2a12 、 yf x有 两 个 对 称 中 心a,0和 b,0bayf x周 期T2ba推论：奇函数 yf x 满意f axf axyf x周期 T4a13 、 yf x有 一 条 对 称 轴 xa 和 一 个 对 称 中 心b,0baf x 的T4ba四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型敏捷应用函数 奇偶性、 周期性与对称性 ,可奇妙的解答某些数学问题,它对训练同学分析问题与解决问题的才能有重要作用. 下面通过实例说明其应用类型；1. 求函数值例 1（.1996 年高考题） 设f x 是 , 上的奇函数,f 2xf x, 当 0x1时, f xx ,就f 7.5 等于（ -0.5 ）（ A） 0.5;（ B）-0.5;（ C） 1.5;（ D）-1.5.例 2 （ 1989 年北京市中同学数学竞赛题）已知f x 是定义在实数集上的函数,且f x2 1f x1f x ,f 123, 求f 1989 的值 .f 198932 ；2、比较函数值大小1例 3. 如f x xR 是以 2 为周期的偶函数,当x0,1 时,f xx1998 , 试比较98f 、19101f 、17f 10415 的大小 .1解：fx xR 是以 2 为周期的偶函数,又f xx1998 在0,1上是增函数,且0116141,f 1 f 16f 14,即f 101f 98104f.1719151719151719153、求函数解析式例 4. （ 1989 年高考题）设f x是定义在区间, 上且以 2 为周期的函数,对kZ ,用 I k 表示区间 2k1,2k1) , 已知当 xI 0 时, fxx2 . 求f x在 I k 上的解析式 .解：设 x2k1,2k1,2 k1x2k11x2 k1xI 0 时,有f xx2 ,由 1x2k1得f x2k x2k 2f x 是以 2 为周期的函数,f x2kf x,f xx2k 2 .例 5设f x是定义在 , 上以 2 为周期的周期函数,且f x是偶函数,在区间 2,3 上,f x2x324.求 x1,2 时,f x 的解析式 .解：当 x3, 2 ,即x2,3 ,f xf x2x3 242 x3 24又 f x 是以 2 为周期的周期函数,于是当x1,2 ,即3x42 时,2有f xf x4f x2 x4342x1 241x2.f x2x1 241x2.4、判定函数奇偶性例 6. 已知 f x 的周期为 4,且等式f 2xf 2x 对任意 xR均成立,判定函数f x 的奇偶性 .解：由 f x 的周期为 4,得 f xf 4x,由 f 2xf 2x 得f xf 4x ,f xf x, 故f x为偶函数 .5、确定函数图象与 x 轴交点的个数例 7. 设函数f x 对任意实数 x 满意f 2xf 2x ,f 7xf 7x且f00, 判定函数f x 图象在区间30,30上与 x 轴至少有多少个交点 .解：由题设知函数f x图象关于直线x2 和 x7 对称,又由函数的性质得f x 是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间0,10 上,f 00, f 4f 22f 22f 00且f x不能恒为零 ,故 f x 图象与 x 轴至少有 2 个交点 .而区间30,30有 6 个周期,故在闭区间30,30上 f x 图象与 x 轴至少有 13 个交点.6、在数列中的应用1an 1例 8. 在数列an中, a13, ann1an 12) ,求数列的通项公式,并运算a1a5a 9a1997 .分析：此题的思路与例2 思路类似 .解：令 a1tg,就 a 21a11a11tg1tgtg 4a1a231a21tg 41tg 4tg 24an 1tg n14,于是an1an 11an 1tg n14不难用归纳法证明数列的通项为：antgn44 ,且以 4 为周期 .于是有 1,5, 9 1997 是以 4 为公差的等差数列,a1a5a9a1997 ,由19971n14 得总项数为 500 项,a1a5a9a1997500a1500 3.7、在二项式中的应用例 9. 今日是星期三,试求今日后的第92 92 天是星期几？92C91192分析：转化为二项式的绽开式后,利用一周为七天这个循环数来进行运算即可.92解：9292911 92092CC9179292191CC9179292C 90 91291929292C 91 77131311 92013 92113 91C 90 7132由于绽开式中前92 项中均有 7 这个因子,最终一项为1,即为余数, 故 9292 天为星期四 .8、复数中的应用例 10.（上海市 1994 年高考题） 设 z13 i i 是虚数单位22 ,就满意等式 znz,且大于 1 的正整数 n 中最小的是（ A） 3；（ B） 4；（ C） 6；（ D） 7.分析：运用 z13 i22方幂的周期性求值即可 .解：znz,zzn 110zn 11 ,z31,n3kn 1k1必需是N .3的倍数,即n13k kN ,k1时, n最小,n min4.故挑选B9、解“立几”题例 11.ABCD A1B1C1D1 是单位长方体,黑白二蚁都从点A 动身,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段”；白蚁爬行的路线是AA1A1D1, 黑蚁爬行的路线是ABBB1. 它们都遵循如下规章：所爬行的第i2 段所在直线与第 i 段所在直线必需是异面直线 （其中 iN . 设黑白二蚁走完第1990 段后,各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是（ A） 1； （ B） 2 ；（ C） 3；（ D） 0.解：依条件列出白蚁的路线AA1A1 D1D1C1C1CCBBAAA1, 立刻可以发觉白蚁走完六段后又回到了A 点. 可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点,可以判定每六段是一个周期.1990=63314 ,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不难运算出在走完四段后黑蚁在例题与应用D 1点,白蚁在 C 点,故所求距离是2 .例 1：fx是 R 上的奇函数 fx= fx+4,x0 ,2 时 fx=x,求 f2007的值例 2： 已知 fx是定义在 R 上的函数,且满意fx+21 fx=1+fx, f1=2,求f2022的值 ；故 f2022= f251× 8+1=f1=2例 3：已知 fx是定义在 R 上的偶函数, fx= f4-x,且当 x2,0时, fx=2x+1 ,就当 x4,6时求 fx的解析式例 4：已知 fx是定义在 R 上的函数,且满意fx+999=1f x, f999+x=f999x , 试判定函数 fx的奇偶性 .例 5：已知 fx是定义在 R 上的偶函数, fx=f4-x,且当 x2,0时, fx是减函数,求证当x4,6 时 fx为增函数例 6： fx满意fx=-f6-x, fx=f2-x,如 fa=-f2000,a 5 ,9 且 fx在5 , 9 上单调例 7：已知 fx. 求 a 的值 .是定义在 R 上的函数, fx= f4 x , f7+x= f7 x,f0=0,求在区间 1000,1000 上 fx=0至少有几个根？解：依题意 fx关于 x=2, x=7 对称,类比命题2（ 2）可知 fx的一个周期是10故 fx+10=fx f10=f0=0又 f4=f0=0即在区间 0 , 10 上,方程 fx=0至少两个根又 fx是周期为 10 的函数,每个周期上至少有两个根,因此方程 fx=0在区间 1000, 1000 上至少有 1+ 22000=401 个根 .10例 1、 函数 yfx是定义在实数集 R上的函数,那么 y fx 4 与 y f6 x 的图象之间（ D ）A关于直线 x5 对称 B 关于直线 x 1 对称C关于点（ 5, 0）对称 D关于点（ 1,0）对称解：据复合函数的对称性知函数y fx 4 与 yf6 x 之间关于点（ 64）/2 ,0）即（ 1,0）中心对称,应选 D；（原卷错选为 C） 例 2、 设 fx是定义在 R上的偶函数,其图象关于 x1 对称,证明 fx 是周期函数；（ 2001 年理工类第 22 题）例 3、 设 fx是（, ） 上的奇函数, fx 2 fx ,当 0x1时 fxx,就 f7.5等于（ -0.5 ）（ 1996 年理工类第 15 题）例 4、 设 fx是定义在 R上的函数,且满意 f10 x f10 x ,f20 x f20 x ,就 fx 是（ C ） A偶函数,又是周期函数 B 偶函数,但不是周期函数C奇函数,又是周期函数 D奇函数,但不是周期函数六、巩固练习1、函数 y fx是定义在实数集 R 上的函数,那么 y fx 4 与 y f6 x 的图象（）；A关于直线 x 5 对称B关于直线 x 1 对称C关于点（ 5, 0）对称D关于点（ 1, 0）对称2、设 fx是（,）上的奇函数,fx 2 fx,当 0x1 时,fx x,就f7.5=（）；A 0.5B0.5C 1.5D 1.53、设 fx是定义在（,）上的函数,且满意f10 x f10 x , f20 x f20 x ,就 fx是（）；A偶函数,又是周期函数B偶函数,但不是周期函数C奇函数,又是周期函数D奇函数,但不是周期函数4、fx是定义在 R上的偶函数,图象关于x 1 对称,证明 fx是周期函数；参考答案： D, B, C, T 2；5、在数列 xn中,已知 x1x21, xn 2xn 1xn nN * ,求 x100 =-1 一、挑选题（每题5 分,共 40 分）1定义在 R 上的函数f x既是奇函数又是周期函数,如f x 的最小正周期是,且当x0, 时,2f xcos x ,就f 53 的值为A. 32B. 32C. 12D. 1 22偶函数 y fx满意条件 fx 1 fx 1 ,且当 x 1,0 时, fx3x 4 ,9就 flog 135 的值等于 A 1B.2950C.10145D 13函数 fxln x21 的图像大致是（）4 设 f x是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x0 时 , f xx2 . 如 对 任 意 的xa, a2 ,不等式 f xaf2 x恒成立 , 就实数 a 的取值范畴是 A a0B a2C a2D a05函数 f （ x） =11x1的最大值是（）xA. 4B.55C.44D.3346 已知f x是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数,当3x0, 时,2f xln x2x1 ,就函数f x在区间 0,6 上的零点个数是（）A 3B 5C 7D 9f x xf x2x 1xf 5 211 1 124 4 2lg1x2 8. . 如函数 f x| ax |是偶函数,就常数 a 的取值范畴是 xA. a1或a1B. a1C. 1a1D. 0a19. 已知 a 为参数,函数xf x xa32 a 28 xa3x 3aa是偶函数,就可取值的集合是（）A 0,5B -2,5C -5,2D 1,202210 已知yf x 是偶函数,而yf x1 是奇函数,且对任意0x1 ,都有f x0 ,就af 2022, b51f , cf 42的大小关系是 A bcaB cbaC acbD abc二、填空题（每题6 分,共 36 分）11. 已知f x3ax12a 在 1, 1 上存在x0 x01 ,使得f x0 =0,就 a 的取值范畴是；12. 设f x 是定义在 R上的奇函数,当 x0 时,f x = 2 x2x ,就f 1.13. 函数f x是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,f 10 ,且对任意实数x都有 xf x11x fx ,就f 012022f f 1Lf 的值是14. 如f x123x122a 是奇函数,就实数a15. 如函数f xxxa 为偶函数,就实数 a16. 如f xlg 2 x1xa aR 是奇函数,就a=17. 对于偶函数f xmx2m1x2x2,2 ,其值域为；三、解答题（ 15-18 题每题 11 分； 19、20 各 15 分；共 74 分）18. 已知1xf xlg1x（ 1）求函数 f x 的定义域；（ 2）判定并证明函数f x 的奇偶性；（ 3）如11a,试比较f af a 与f 2 af 2a 的大小222xb19（本小题满分 14 分）已知定义域为R 的函数f x2x 1是奇函数a求函数f x的解析式；判定并证明函数f x的单调性；如对于任意的 tR ,不等式20（本小题 12 分）f mt22t f 1t 2 0 恒成立,求 m 的取值范畴 .已知函数f xbax11 a0, a1,bR 是奇函数,且f 253（ 1）求 a , b 的值；（ 2）用定义证明f x在区间 0, 上是减函数 .21 已 知 :fx 是 定 义 在 区 间1,1 上 的 奇 函 数 , 且 f11 . 如 对 于 任 意 的m, n1,1 ,mnfmfn0 时, 都有0 mn（ 1）解不等式 fx122f1x （ 2）如fxt2at1对全部 x1,1 , a1,1恒成立 , 求实数 t的取值范畴22 本小题满分 14 分2已知奇函数f xqx rpx2 1 有最大值12 ,且f