2022年数列解题技巧归纳总结-打印.docx
；等差数列前 n 项和的最值问题：- 可编辑修改 -1、如等差数列an的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最大值；（）如已知通项an ,就Sn 最大an0；an 10n（）如已知Spn 2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最大；2、如等差数列an的首项a10 ,公差 d0 ,就前 n 项和Sn 有最小值（）如已知通项an ,就Sn 最小an0；an 10n（）如已知Spn 2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时2 pSn 最小；数列通项的求法： 公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式； 已知Sn （即 a1a2anfn ）求an , 用作差法 ： anf 1, n1S1, n1；SnSn 1, n2已知 a1 a2anfn 求 an , 用作商法： anf n, n2 ；f n1 已知条件中既有Sn 仍有an ,有时先求Sn ,再求an ；有时也可直接求an ； 如 an a1 n1 an2 ；f n求 an 用累加法 ： an anan 1an 1an 2 a2a1 已知an 1f n 求 a , 用累乘法 ： aanan 1a2a n2 ；nnanan 11an 2a1 已知递推关系求an , 用构造法 （构造等差、等比数列） ；n特殊地 ,（1）形如akab 、 akabn （k ,b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转nn 1nn 1化为公比为 k 的等比数列 后,再求an ；形如 ankan 1k的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数列后,再求an ；（ 2）形如 anan 1的递推数列都可以用倒数法求通项；kkan 1b（ 3）形如aa的递推数列都可以用对数法求通项；n1n（ 7）（理科） 数学归纳法 ；（ 8）当遇到an 1an 1d或 an 1an 1q 时, 分奇数项偶数项争论, 结果可能是分段一、典型题的技巧解法1、求通项公式（ 1）观看法；（2）由递推公式求通项；对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题；1 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（ d, q 为常数） 例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2,而且 a1=1；求 an；例 1、解 an+1-a n=2 为常数 a n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列 an=1+2（ n-1 ）即 an=2n-1例 2、已知 an 满意an 11an ,而 a122 ,求an =？（ 2）递推式为 an+1=an+f （ n）例 3、已知 a 中 a12, aa1,求 a .1n解： 由已知可知n 1an 1ann4n21n11 112n1 2n122n12n1令 n=1, 2,（ n-1 ）,代入得（ n-1 ）个等式累加,即（ a2-a 1） +（ a3-a 2）+ +（ an-a n-1 ）ana11 1212n14n34n2 说明只要和 f （ 1） +f （ 2）+ +f （n-1 ）是可求的,就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1, 2,（ n-1 ）代入,可得n-1 个等式累加而求 an；(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p,q 为常数）例 4、 an 中,a11 ,对于 n 1（n N）有 an3an 12 ,求an .解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2, an=3an-1 +2；两式相减： an+1-a n=3（ an-a n-1 ） 因此数列 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列,其首项为a2-a 1=（ 3× 1+2） -1=4n-1 an+1-a n=4·3 an+1=3an+2 3an+2-a n=4· 3n-1即 a n=2· 3-1n-12n-2解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列, 于是有： a2-a 1=4,a3-a 2=4·3,a4-a 3=4·3 ,an-a n-1 =4·3,把 n-1 个等式累加得： an=2·3n-1-1(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （p,q 为常数）bb2 bb由上题的解法,得： b2 n abn1 n1 nn 1nnn 13n323n2 n3223(5) 递推式为an 2pan 1qan思路：设an 2pan 1qan , 可以变形为：an 2an 1an 1an ,想于是 a n+1- an 是公比为的等比数列,就转化为前面的类型；求 an ；(6) 递推式为 Sn 与 an 的关系式关系；（ 2）试用 n 表示 an； Sn 1Sn anan 11n 221 2n 1 ann+11n+1anan 1n12n 1n an 11 a12 n2n上式两边同乘以2得 2an+1=2 an+2 就2 an 是公差为 2 的等差数列；n 2 an= 2+ （ n-1 ）· 2=2n2数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和,另外记住以下公式对求和来说是有益的；21 3 5 2n-1=n【例 8】 求数列 1,（ 3+5）,（ 7+9+10）,（ 13+15+17+19）,前 n 项的和；解此题实际是求各奇数的和,在数列的前n 项中,共有 1+2+ +n= 1 nn21 个奇数,最终一个奇数为： 1+1 nn+1-1× 2=n2+n-12因此所求数列的前n 项的和为（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和；2222222【例 9】求和 S=1·（ n -1 ） + 2 ·（ n -2 ） +3·（ n -3 ） + +n（ n -n ）23333解S=n （ 1+2+3+ +n）- （ 1 +2 +3 + +n ）（ 3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,实行把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和；12nCn3Cn6Cn3nCn例 10、求和： Sn3Cn6Cn3nCnn0例 10、解S012nn-1 S n=3n·2（ 4）、错位相减法2n-1假如一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和2n-1例 11、 求数列 1, 3x , 5x , ,2n-1x前 n 项的和解设 Sn=1+3+5x + +2n-1x2x=0时, Sn=123n3 当 x 0 且 x 1 时,在式两边同乘以x 得 xS n=x+3x23+5xn+ +2n-1x, - ,得 1-xSn=1+2x+2x+2x+2xn-1-2n-1x5 裂项法：把通项公式整理成两项 式多项 差的形式,然后前后相消；常见裂项方法：例 12、求和11111537592 n12n3注：在消项时肯定留意消去了哪些项,仍剩下哪些项,一般地剩下的正项与负项一样多；在把握常见题型的解法的同时,也要留意数学思想在解决数列问题时的应用；二、常用数学思想方法1. 函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决；【例 13】等差数列 a n 的首项 a10,前 n 项的和为 Sn,如 Sl =Sk（l k）问 n 为何值时 Sn 最大？此函数以 n 为自变量的二次函数；a1 0Sl =Sk （ l k）, d0 故此二次函数的图像开口向下 f （ l ） =f （ k）2. 方程思想【例 14】设等比数列 a n 前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q；分析此题考查等比数列的基础学问及推理才能；解依题意可知 q 1；假如 q=1,就 S3=3a1,S6=6a1, S9=9a1；由此应推出a1=0 与等比数列不符； q 1336整理得q（ 2q -q-1 ） =0 q0此题仍可以作如下摸索：33336S6=S3+q S3=（ 1+q ）S3 ；S9=S3+q S6 =S3（ 1+q +q ）,33663由 S3+S6=2S9 可得 2+q =2（1+q +q ）, 2q +q =03. 换元思想【例 15】已知 a, b,c 是不为 1 的正数, x, y, zR+,且求证： a, b, c 顺次成等比数列；xyz证明依题意令 a =b =c =k x=1ogak,y=log bk, z=log ck2 b =aca, b, c 成等比数列（ a, b,c 均不为 0）欢迎您的下载,资料仅供参考！致力为企业和个人供应合同协议,策划案方案书,学习课件等等打造全网一站式需求
