2022年函数奇偶性及周期性.docx

精品学习资源第六节函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性奇偶性定 义图象特点假如对于函数fx的定义域内任意一个x，都有 f xfx，偶函数关于 y 轴对称那么函数 fx是偶函数假如对于函数 fx的定义域内任意一个x，都有 f x 奇函数关于原点对称fx，那么函数 f x是奇函数二、周期性1 周期函数对于函数y fx，假如存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有fx T fx，那么就称函数2 最小正周期y fx为周期函数，称T 为这个函数的周期假如在周期函数fx的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期fx课前检测1以下函数为偶函数的是A y sin xB yx3Cy e D y lnxx2 1解读： 选 D四个选项中的函数的定义域都是R.y sin x 为奇函数幂函数yx3 也为奇函数指数函数y ex 为非奇非偶函数令fx lnx2 1，得 f x ln x 21 lnx2 1 fx 所以 y lnx2 1为偶函数2已知fx ax2 bx 是定义在 a 1,2a 上的偶函数，那么a b 的值是 A B.1133C.121D 2解读： 选 B fx ax2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数， a 1 2a 0， a 13.又 fx fx， b 0， a b 1.33. 已知定义在R 上的奇函数 fx，满意 fx4 fx，就 f8的值为 A 1 B 0欢迎下载精品学习资源C1 D 2解读： 选 B fx为奇函数且 fx 4 fx， f0 0， T 4. f8 f0 0.4. 如函数 f x x2 |xa|为偶函数，就实数a.解读： 法一： f x f x对于 xR 恒成立， | x a| |xa|对于 xR 恒成立，两边平方整理得 ax 0，对于 xR 恒成立，故 a 0.法二： 由 f 1f 1，得|a 1| |a 1|，故 a0.答案： 0欢迎下载精品学习资源35. 设函数 f x xcos x 1.如 fa 11，就 f a .欢迎下载精品学习资源解读： 观看可知， y x3 cos x 为奇函数，且fa a3cos a 1 11，故 a3cos a 10.就f a a3cos a1 10 1 9.答案： 91. 奇、偶函数的有关性质：(1) 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2) 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； 3如奇函数 f x在 x 0 处有定义，就 f0 0；4利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2. 如函数满意fx T fx，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应留意 nTn Z 且 n 0也是函数的周期欢迎下载精品学习资源1，x Q，ex1 1， x . Q，Rgx ex1一、函数奇偶性的判定 例 1 设 Q 为有理数集，函数f x，就函数hx 欢迎下载精品学习资源fx ·gx欢迎下载精品学习资源A 是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数自主解答 当 xQ 时， xQ，f x fx 1；当 x .RQ 时， x.RQ，f x xfx 1.综上，对任意xR，都有f x fx，故函数 fx 为偶函数 g xe 1x1 exx1 exe 1x gx，函数 gx为奇函数 h x f x ·g x fx · gx 1 efxgx hx，函数 hx f x ·gx 是奇函数 h1 f1 g·1 e 1e 1， h 1 f e 1 11 e1 ·g 1 1×， h 1 h1 ，函数 hx不是偶函数 e 1 11 e答案 A由题悟法利用定义判定函数奇偶性的方法1第一求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；2假如函数的定义域关于原点对称，可进一步判定f x fx或 f x fx是否对定义域内的每一个x 恒成立 恒成立要赐予证明，否就要举出反例留意 判定分段函数的奇偶性应分段分别证明f x与 fx的关系，只有对各段上的都满意相同的关系时，才能判定其奇偶性以题试法1判定以下函数的奇偶性1fx 1x2x2 1；2fx 3x3 x；3fx |x 3|4 x2；3x2 2， x>0，4fx0， x0， x2 2， x<0.e 1x欢迎下载精品学习资源解： 1由x2 1 0， 1 x2 0，得 x±1，欢迎下载精品学习资源fx 的定义域为 1,1 又 f1 f 1 0， f 1 f 1 0， 即 fx ±fxfx 既是奇函数又是偶函数(2) fx的定义域为 R，f x 3x 3x 3x 3x fx，所以 fx为奇函数欢迎下载精品学习资源(3) 由4 x2 0，|x 3|3 0，得 2x 2 且 x 0.欢迎下载精品学习资源fx 的定义域为 2,00,2 ，欢迎下载精品学习资源4 x23fx |x 3|4 x23x 3 4 x2x，欢迎下载精品学习资源f x fx，fx是奇函数4fx的定义域为R，关于原点对称，当x>0 时， f x x 2 2 x2 2 fx；当 x<0 时， f x x2 2 x2 2 fx；当 x 0 时， f0 0，也满意 f x fx 故该函数为奇函数二、函数奇偶性的应用例 21 已知 y fx x2 是奇函数，且f1 1.如 gx fx 2，就 g 1.f x f x欢迎下载精品学习资源2设偶函数fx在0， 上为减函数，且f2 0，就不等式A 2,0 2， B ， 2 0,2C ， 2 2， D 2,0 0,2x>0 的解集为欢迎下载精品学习资源自主解答 1 y fx x2 是奇函数，且x 1 时， y 2，当 x 1 时， y 2，即欢迎下载精品学习资源f 1 12 2，f x f xx2f xx>0.xfx>0.x>0，x<0，或f x >0f x <0.得 f 1 3，所以 g 1 f 1 2 1. 2fx为偶函数，又 f 2 f2 0， f x在0， 上为减函数， 故 x0,2 或 x ， 2答案 1 12B本例 2的条件不变，如n 2 且 nN *，试比较 f n， f1 n， fn 1， f n1的大小解： fx为偶函数，所以 f n fn， f1 n fn 1又函数 y fx在0， 为减函数，且 0<n 1<n<n 1，fn 1<f n<fn 1fn 1<f n<fn 1 f1 n由题悟法函数奇偶性的应用(1) 已知函数的奇偶性求函数的解读式利用奇偶性构造关于fx 的方程，从而可得fx的解读式 2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数经常采纳待定系数法：利用fx ±f x 0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值3 奇偶性与单调性综合时要留意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反以题试法欢迎下载精品学习资源2 1 已知函数 fx2 x， x 0，x2为奇函数，就 a b.欢迎下载精品学习资源ax bx， x>02已知定义在R 上的奇函数满意fx x2 2xx 0，如 f3 a2>f 2a，就实数 a 的取值范畴是解读： 1当 x<0 时，就 x>0，所以 f x x2 x， f x ax2 bx，而 f x fx， 即 x2 x ax2 bx，所以 a 1， b 1，故 a b 0.2(2) 由于 fx x 2x 在0 ， 上是增函数，又由于fx是 R 上的奇函数，所以函数22欢迎下载精品学习资源fx是 R 上的增函数，要使f3 a>f 2a，只需 3 a>2a，解得 3<a<1.欢迎下载精品学习资源答案： 102 3,1三、函数的周期性及其应用例 3 设函数 fx是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当x 0,1 时， fx x1，就3欢迎下载精品学习资源f 2 .3自主解答 依题意得， f2 x fx ，f x fx，就 f1 f 113f 1欢迎下载精品学习资源22222.3答案 2由题悟法1. 周期性常用的结论：对 fx 定义域内任一自变量的值x： 1如 f x a fx，就 T 2a；欢迎下载精品学习资源2如 f x a 1f x，就 T 2a；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1(3) 如 f x a f x，就 T 2a.欢迎下载精品学习资源2. 周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调剂符号作用以题试法3. 设 fx是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有 f x 2 fx当 x 0,2时， fx 2x x2.(1) 求证： fx是周期函数；(2) 当 x 2,4 时，求 fx的解读式 解： 1证明：f x2 fx，欢迎下载精品学习资源fx 4 f x2 f xfx 是周期为 4 的周期函数 2x2,4 ，x 4， 2 ，4 x0,2 ，f4 x 24 x 4 x2 x2 6x8.又f4 x f x fx，fx x2 6x 8，即 fx x2 6x 8， x2,4 课堂练习Cy xD y12x答案： A2设 fx是周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时， fx 2x1 x，就 f 2 5A B1211C.4D. 214解读： 选 A由题意得 f 5 f 5 f 5222 2 f 1 2112× × 122 1.23已知函数 fx x|x| 2x，就以下结论正确选项A fx是偶函数，递增区间是0， Bfx是偶函数，递减区间是， 1Cfx是奇函数，递减区间是 1,1D fx是奇函数，递增区间是， 0解 读 ： 选 C将 函 数 fx x|x| 2x去 掉 绝 对 值 得 fx x2 2x， x 0， x2 2x， x<0，画出函数 fx 的图象，如图，观看图象可知，函数1以下函数中，既是奇函数又是减函数的是 A y x3B y sin xfx的图象关于原点对称，故函数fx为奇函数，且在 1,1上单调递减欢迎下载精品学习资源4已知函数 f x |x a| |x a|a 0， hx x2 x， x>0，2就 fx， hx的奇偶性欢迎下载精品学习资源依次为 A 偶函数，奇函数B奇函数，偶函数C偶函数，偶函数D奇函数，奇函数x x，x 0，欢迎下载精品学习资源解读： 选 Df x |x a| | x a| |x a| |x a| fx，故 fx 为奇函数画出 hx的图象可观看到它关于原点对称或当x>0 时， x<0，就 h x x2 x x2 x hx，当 x<0 时 x>0，就 h x x2 x x2 x hxx 0 时， h0 0，故 hx为奇函数5已知函数f x为定义在 R 上的奇函数，当x 0 时， f x 2x 2x mm 为常数 ，就f 1的值为 A 3 B 1C 1 D 3解读： 选 A函数 fx为定义在 R 上的奇函数，就 f0 0，即 f0 20 m 0，解得 m 1.就 fx 2x 2x1， f1 21 2× 1 13， f1 f1 3.欢迎下载精品学习资源x 6如函数 f x 2x 1x a为奇函数，就a 欢迎下载精品学习资源123欢迎下载精品学习资源A. 2B. 3C.4D 1解读： 选 Af xx 2x 1x a是奇函数，欢迎下载精品学习资源f 1 f1 ，1 1， 2 1 1a2 11 a1a 131 a，解得 a 2.7. 已知 fx是偶函数，当 x<0 时， f x x2 x，就当 x>0 时， f x.解读： x>0， x<0， fx f x x2 xx2x，故 x>0 时， f x x2 x.答案： x2x8. 定义在 2,2上的奇函数fx在 0,2 上的图象如下列图，就不等式 fx>x 的解集为解读：依题意，画出 y fx与 y x 的图象，如下列图，留意到yfx的欢迎下载精品学习资源图象与直线y x 的交点坐标是22223，3和 3，3，结合图象可知，fx>x 的解集为欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源2， 3 0， 3 .3答案： 2， 23 0， 23欢迎下载精品学习资源9. 已知函数 fx是定义在 R 上的奇函数，其最小正周期为3，且 x 2， 0 时， f xlog 2 3x1 ，就 f2 011 .解读： f2 011 f3× 6701 f1 f 1 log23 1 2.欢迎下载精品学习资源答案： 2xx10. 已知函数 fx x2 a 0，常数 a R欢迎下载精品学习资源1判定 fx的奇偶性，并说明理由；2如 f 1 2，试判定 fx在2 ， 上的单调性 解： 1当 a0 时， fx x2，fxfx，函数是偶函数当 a0 时， f x x2 a0，常数 aR，取 x ±1，得 f 1 f1 2 0； x xf1 f1 2a 0，即 f 1 f1 ，f 1f1 故函数 f x既不是奇函数也不是偶函数 2如 f 1 2，即 1 a 2，解得 a 1，x这时 fx x2 1.任取 x1， x22 ， ，且 x1<x2，欢迎下载精品学习资源就 fx fx x2 1 x2 1欢迎下载精品学习资源121x12x2欢迎下载精品学习资源 x1 x2 x1 x2x2 x1 x1x2欢迎下载精品学习资源x x x1 x2 x1 x2 1.1 2欢迎下载精品学习资源由于 x1 2， x2 2，且 x1<x2.1故 x1 x2<0， x1 x2>x1x2，所以 fx1< fx2 ，故 fx 在2 ， 上是单调递增函数欢迎下载精品学习资源11. 已知函数 fx x22x， x>0，0，x 0， x2 mx， x<0是奇函数欢迎下载精品学习资源(1) 求实数 m 的值；22(2) 如函数 fx在区间 1，a 2 上单调递增，求实数a 的取值范畴 解： 1设 x<0，就 x>0，欢迎下载精品学习资源所以 f x x 2 x x 2x.欢迎下载精品学习资源2又 fx 为奇函数，所以 f x f x，欢迎下载精品学习资源2于是 x<0 时， fx x 2x x mx，所以 m 2.欢迎下载精品学习资源2要使 fx在 1， a 2 上单调递增，欢迎下载精品学习资源结合 fx的图象知a 2>1， a 21，欢迎下载精品学习资源所以 1 a 3，故实数 a 的取值范畴是 1,3 12. 已知函数 fx是定义在 R 上的奇函数，且它的图象关于直线x 1 对称 1求证： fx是周期为 4 的周期函数；2如 f x x0< x 1，求 x 5， 4 时，函数 fx 的解读式解： 1证明：由函数 fx的图象关于直线 x 1 对称，得 fx 1 f1 x， 即有 f x fx2 又函数 f x是定义在 R 上的奇函数， 故有 f x fx 故 fx 2 fx从而 fx 4 fx 2 fx ， 即 fx 是周期为 4 的周期函数欢迎下载精品学习资源2由函数 fx是定义在 R 上的奇函数，有 f 0 0. x 1,0时， x0,1 ，fx f x x，又 f0 0， 故 x 1,0时， fx x. x 5， 4 ， x 4 1,0，fx fx 4 x 4.从而， x 5， 4 时，欢迎下载精品学习资源函数 fx x 4.课后练习欢迎下载精品学习资源1设 f x是奇函数，且在0， 内是增函数，又f 3 0，就 x·fx<0 的解集是A x| 3<x<0，或 x>3 B x|x< 3，或 0<x<3C x|x< 3，或 x>3D x| 3<x<0，或 0<x<3解读： 选 D由 x·fx<0 ，欢迎下载精品学习资源x<0，得f x >0x>0，或f x <0，欢迎下载精品学习资源而 f 3 0， f3 0，欢迎下载精品学习资源x<0，即f x >f 3x>0，或f x <f 3 ，欢迎下载精品学习资源所以 x·fx<0 的解集是 x| 3<x<0，或 0<x<3 2 设 f x 是 定 义 在 R上 且 周 期 为2的 函 数 ， 在 区 间 1,1 上 ， fx 欢迎下载精品学习资源ax 1， 1 x 0，bx 2， 0 x 1，其中 a， b R.如 f 1f 3 ，就 a 3b 的值为欢迎下载精品学习资源x 12231欢迎下载精品学习资源解读： 由于 fx是定义在 R 上且周期为2 的函数，所以 f2 f 2 ，且 f 1 f1 ，欢迎下载精品学习资源1112b 21欢迎下载精品学习资源故 f 2 f 2 ，从而1 2a 1,3a 2b 2. 12欢迎下载精品学习资源由 f 1 f1 ，得 a 1b 22，故 b 2a.欢迎下载精品学习资源由得 a 2， b 4，从而 a3b 10.欢迎下载精品学习资源答案： 103已知函数fx的定义域是 0 ， ，且满意 fxy fx f y， f 0<x<y，都有 fx>f y，1求 f 1；2解不等式 f x f3 x 2.解： 1令 x y 1，就 f1 f1 f1， f1 0.12 1 ，假如对于欢迎下载精品学习资源12f x f3 x 2f 2 ，欢迎下载精品学习资源1fxf 21 f3 x f 2 0f1， f x2 f 3x2 f1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x3 xf 1，欢迎下载精品学习资源2· 2欢迎下载精品学习资源 x>0，就3 x>0，解得 1 x<0.欢迎下载精品学习资源x 3 x 2· 2 1，故不等式的解集为 1,0欢迎下载精品学习资源才能提升11. 已知 fx， gx 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且fxgx 2x，就 f1 ，欢迎下载精品学习资源g0 ， g1 之间的大小关系是欢迎下载精品学习资源解读： 在 fxgx 12x 中，用 x 替换 x，得 f x g x 2x，由于 f x，g x分欢迎下载精品学习资源别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以fx fx， g x gx，因此得 f x gx欢迎下载精品学习资源2x.于是解得 fx2 x 2x2， gx2 x 2x2，于是 f1 35， g0 1， g 1 ，44欢迎下载精品学习资源故 f1> g0> g 1答案： f1> g0> g 12. 关于 y fx，给出以下五个命题：欢迎下载精品学习资源如 f 1 x f1 x，就 yfx是周期函数；如 f1 x f1 x，就 yfx为奇函数；如函数 y fx 1的图象关于 x 1 对称，就 y fx为偶函数；函数 y f1 x与函数 y f1 x的图象关于直线 x 1 对称；如 f1 x f1 x，就 y fx的图象关于点 1,0对称 填写全部正确命题的序号 解读： 由 f 1 x f1 x可知，函数周期为 2，正确；由 f1 x f1 x 可知， y fx 的对称中心为 1,0，错； y f x 1向左平移 1 个单位得 y fx，故 yfx关于 y 轴对称，正确；两个函数对称时，令 1 x1 x 得 x 0，故应关于 y 轴对称，错；由 f1 x f 1 x 得 y f x关于 x 1 对称，错，故正确的应是.答案： 3. 已知fx 是偶函数，且fx在0 ， 上是增函数，假如fax 1 f x 2在 x1， 1 上恒成立，求实数a 的取值范畴 22解： 由于 fx 为偶函数，且在 0 ， 上为增函数，就在 ， 0 上为减函数，由fax 1 fx 2，就 |ax1| |x 2|，又 x1， 1 ，故|x 2| 2 x，欢迎下载精品学习资源，即 x 2 ax 12 x.故 x 3 ax 1x,1 3 a 11，在 11 上恒成立欢迎下载精品学习资源xx213由于 x 1 min 0， 1 x max 2，故 2 a 0.欢迎下载