2022年函数的单调性和奇偶性精品讲义.docx

精品学习资源第三讲 函数的单调性、奇偶性一、学问点归纳函数的单调性1定义：设函数 y=f x 的定义域为 I ，假如对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f x1< f x2 f x1> f x2 ，那么就说 f x 在区间 D上是 增 函 数 减 函 数 ， 区 间 D 为 函 数 y=f x 的 增 区 间 减 区 间 概 括 起 来 ， 即欢迎下载精品学习资源增函数x1x2或x1x2欢迎下载精品学习资源“ 同增异减 ”f x1f x2f x1f x2 欢迎下载精品学习资源减函数x1x2或x1x2欢迎下载精品学习资源f x1f x2f x1f x2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2函数单调性的证明的一般步骤：设x1 ， x2 是区间 D上的任意两个实数，且x1x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源作差f x1f x2，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判定欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源正负的式子；确定f x1f x2 的符号；给出结论欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明函数单调性时要留意三点：x1 和 x2 的任意性，即从区间D中任取x1 和x2 ，证明单调欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源性时不行随便用量额特别值代替；有序性，即通常规定x1x2 ；同区间性，即x1 和 x2欢迎下载精品学习资源必需属于同一个区间；欢迎下载精品学习资源3设复合函数 yfg x是定义区间 M上的函数，假设外函数fx与内函数 gx 的单欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源调性相反，那么 yf g x在区间 M 上是减函数；假设外函数fx与内函数 gx 的单调欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源性相同，那么 yf g x在区间 M上是增函数；概括起来，即“同增异减II号欢迎下载精品学习资源4简洁性质：欢迎下载精品学习资源 f x 与f x单调性相同；f x 与f x 及1单调性相反欢迎下载精品学习资源f x在公共定义域内：欢迎下载精品学习资源增函数f x增函数g x是增函数；减函数f x减函数gx 是减函数；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源增函数f x减函数g x是增函数；减函数f x增函数gx 是减函数；欢迎下载精品学习资源5必需把握特别函数单调性 一次函数 ykxb ：欢迎下载精品学习资源 二次函数yax 2bxc ：欢迎下载精品学习资源 反比例函数 yk ：x 双钩函数 yxk ：x注：函数的多个单调区间通常不能用并集联接；单调区间的端点只要在定义域内就要加上增函数在图像上反映出来就是“向上，减函数从图像上反映出来就是“向下函数的最值欢迎下载精品学习资源1定义：f x 的最大值：f x最大的函数值；f x的最小值：f x最小的函数值欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2求最值方法与求值域方法类似函数的奇偶性1. 定义 :设 y=fx，定义域为A 且 A 关于原点对称，假如对于任意x A，都有f xf x ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源称 y=fx为偶函数；设 y=fx，定义域为 A 且 A 关于原点对称， 假如对于任意x A，都有 f xf x ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源称 y=fx为奇函数；概括起来，即f x为偶函数f x定义域关于原点对称 ，欢迎下载精品学习资源f x为奇函数f x定义域关于原点对称f xf x欢迎下载精品学习资源f xf x欢迎下载精品学习资源2. 函数奇偶性的判定的步骤：求f x定义域，假设f x 定义域不关于原点对称，那么函欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源数 f x既不是奇函数也不是偶函数；假设f x定义域关于原点对称，那么判定f x 与欢迎下载精品学习资源f x 的关系欢迎下载精品学习资源 判 断f x 与 f x 的 关 系 ， 假 设 f xf x， 那 么f x为 偶 函 数 ； 假 设欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xf x ，那么f x为奇函数； 假设 f xf x 且 f xf x ，那么f x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源既是奇函数又是偶函数；假设f xf x 且 f xf x ，那么函数f x既不是奇欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源函数也不是偶函数3. 性质：1假设f x 为奇函数，那么：f xf x ；f x图像关于原点对称；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源30 在f x 定义域内时有f 00 ；f x 在关于原点对称的区间上单调性相同欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源几种特别的奇函数yx ，yx ， y1， ysin xx欢迎下载精品学习资源2假设f x 为偶函数，那么：f xf x ；f x图像关于 y 轴对称f x 在欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源关于原点对称的区间上单调性相反；几种特别的偶函数：yx ，yx2 ， ycosx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源注 ： 假 设 二 次 函 数yax 2bxc 为 偶 函 数 ， 那么 b0 ； 在 同一 定 义 域 内 ，欢迎下载精品学习资源奇偶=奇 ，欢迎下载精品学习资源奇 奇=奇 ， 偶 偶=偶；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式f x0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、典例例题解析： 题型一单调性的定义例 1 定义在 R 上的函数f x 对任意两个不相等的实数a,b 总有f af b0 ，试判定f x欢迎下载精品学习资源单调性； 例 2假设f xab在区间 a, b 上是增函数， 在区间 b, c 上也是增函数， 那么函数f x 在区欢迎下载精品学习资源间 a,bb, c 上A.必是增函数B. 必是减函数C. 是增函数或减函数D.无法确定单调性变式训练以下说法中正确的有 个欢迎下载精品学习资源假设x1, x2I ，当 x1x2 时，f x1f x2 ，那么yf x 在 I 上是增函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源函数yx 2 在 R 上是增函数； 函数 y1在定义域上是增函数； yx1 的单调区间x欢迎下载精品学习资源是 ,00,题型二单调性的证明欢迎下载精品学习资源例1 证明函数 yx1 在区间 0,1 上为减函数x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例2 证明函数f xx21x在其定义域内是减函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例3 函数yf x 在 0, 上为增函数， 且f x0 x0 ，试判定F x1f x在 0,欢迎下载精品学习资源上的单调性，并给出证明过程题型三利用单调性求函数值域和最值例1 求以下函数的最值欢迎下载精品学习资源f x12 xx ；f x3x3x ； f xx1x1欢迎下载精品学习资源11x欢迎下载精品学习资源f xx2x2f x, xx1,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源变式 假如函数f x-x2 -2x3 ，求f x的单调区间和值域欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例2f xx 221a x2 在 ,4 ，上是减函数，求 a 的取值范畴欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源变式 1f x2x21a x2 的减区间是 ,4 ，求 a 的值欢迎下载精品学习资源变式 2 函数 fx= x 2 + 3x +2 在区间 -5,5 上的最大值、最小值分别为欢迎下载精品学习资源1A 、42,12B、 42， -41C、 12， -41D 、无最大值，最小值 -4欢迎下载精品学习资源.变式 3 函数 y 2x2 a1x 3 在 ，1 内递减，在1，内递增，那么 a 的值是A.1B.3C.5D. 1欢迎下载精品学习资源例 3假设围f xax1 在区间 -2, 上是减函数，求 a 的的取值范x2Y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源变式 1 函数yf x 的图象如以下图：那么gxflog 1211OXx的单2欢迎下载精品学习资源调减区间是欢迎下载精品学习资源A. 1,2B.2 ,1变式 2、fx3a1x4 ax1是 R 上的减函数，那么 a 的取值范畴是loga xx12C. 0,1 和2,D.,1 和2,欢迎下载精品学习资源A. 0,1B. 0, 1C. 1 , 1D.1 ,1欢迎下载精品学习资源37 37题型四抽象函数的单调性欢迎下载精品学习资源例1 函数yf x 是 , 上的增函数，且f 2 x3f 5x6 ，求 x 的取值范畴欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源变 式函 数yf x的 定 义 域 为 2,2 ， 且f x在 区 间 2,2 上 是 增 函 数 且欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f 1mf m ，求 m 的取值范畴欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例2 函数yf x 在0, 上是减函数，比较3 与f 4f aa1 的大小欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例3 定义在区间 0, 上的函数f x 满意xf yf xf y，且当 x1 时 f x0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 求 f 1 的值； 判定f x 的单调性； 假设f 31，求f x在2,9 上的最小值欢迎下载精品学习资源变式定义在区间 0, 上的增函数f x 满意 x fyf xf y ， f21 ，解不等式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xf 12x3欢迎下载精品学习资源例4 函数 fx是定义在 0 ， 上的减函数，对任意的x， y 0 ， ，都有 fx yfx fy 1，且 f45.1 求 f2的值；2解不等式 fm 2 3欢迎下载精品学习资源变式函数f x定义域为R ，且对m, nR ，恒有f mnf mf n1 ，且欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f 10 ，当 x21 时， f x02欢迎下载精品学习资源 求 f1 证明： 2f x 在 R 上为增函数欢迎下载精品学习资源题型五 函数的奇偶性概念例 1 以下说法中错误的个数为图像关于坐标原点对称的函数是奇函数 图像关于 y 轴对称的函数是偶函数奇函数的图像肯定过坐标原点 偶函数的图像肯定与y 轴相交A.4B.3C.2D.0变式以下判定正确的选项是欢迎下载精品学习资源A. 定义在 R 上的函数f x ，假设f 1f 1 ，且f 2f 2 ，那么f x是偶函欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源数B. 定义在 R 上的函数f x 满意f 2f 1，那么f x 在 R 上是增函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C. 定义在 R 上的奇函数f x 在区间 ,0 上是减函数， 那么在区间 0, 上也是减函欢迎下载精品学习资源数D. 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个题型六函数奇、偶性的判定例1 判定以下函数的奇偶性定义法欢迎下载精品学习资源f xx1x31 f x x11x fxx1x2x22f xx22 x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 f xx2x2 fxx211x2 xf x21欢迎下载精品学习资源2 x1欢迎下载精品学习资源 f xlg 1xlg1x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 2 判定以下函数奇偶性定义法或图像法x22x3x0欢迎下载精品学习资源 f xx xx x1,x01,x0 f x0x02欢迎下载精品学习资源x2 x3x0 f x2, x2, 1,0,1,2例 3 判定以下函数奇偶性抽象函数欢迎下载精品学习资源 F xf xf x F xf xf x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 F xf xf x，其中f x为奇函数 函数f x定义域为 R ，并且对任意欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x、yR均满意f xyf xf y ， 判定f x 奇偶性，并证明；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 设函数yf x x0 并且对任意非零实数x，y均满意f xyf xf y ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源求证 ：f x 为偶函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 函数f x不恒为 0 xR ，对任意 x、yR均满意欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xyf xy2 f(x) f y求证 ：f x为偶函数欢迎下载精品学习资源题型七奇偶性的应用1 求函数值欢迎下载精品学习资源例 1f xax5bx3cx8 且f 310 ，求f 3欢迎下载精品学习资源53欢迎下载精品学习资源变式 1f x= x +ax +bx 6 且， f 3=10 ，那么 f -3的值为x x欢迎下载精品学习资源变式 2 定义在 R 上的奇函数 f x 和偶函数 g x 满意 f x g x a a 2 a>0，且 a1 假设 g2 a，那么 f 2 欢迎下载精品学习资源A 2B.154C.1724D a欢迎下载精品学习资源变式 3gx 为奇函数，f xlog 2x1xg x2 x ，且 f-3=41 ，求 f3 ；8欢迎下载精品学习资源22变式 4 设 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x0时， f x 2 x x，那么 f 1 A 3B 1C1D 3欢迎下载精品学习资源变式 5f x 是定义在 R上的奇函数，假设f x2f x ，那么f 6的值为 欢迎下载精品学习资源2 求解析式欢迎下载精品学习资源例 1fx 是奇函数，当x0 时，f xx x2 ，求 x0 时，f x解析式欢迎下载精品学习资源变式 1 奇函数 f x 在0 ， 上的解析式是f x x1 x ，那么在 ， 0 上 f x 的函数解析式是 A f x x1 xB f x x1 xCf x x1 xD f x x x1欢迎下载精品学习资源变式 2 设 fx为偶函数， gx 为奇函数，又fx+gx=1求 fx和 gx.x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例2 函数f x=axb是定义在 1,1上的奇函数，且12 ，求f x解析式欢迎下载精品学习资源1x 2f 25欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源变 式 1假 设 函 数f xax23xb 是 R 上 的 奇 函 数 ， 那 么f x的 解 析 式 为欢迎下载精品学习资源变式 2 假设函数 yx1xa 为偶函数，求 a3 解不等式欢迎下载精品学习资源例 1 设f x为定义在 R上的偶函数， 在 ,0 上递增， 且f a1f 2a1 ，求 a 的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源取值范畴变式 1 偶函数 f x 在区间 0 ， 上单调递增，那么满意f 2 x1< f13 的 x 取值范畴是欢迎下载精品学习资源12121212A.，B.，C.，D.，33332323欢迎下载精品学习资源变式 2f x 为偶函数，在 0, 上单调递减，且f 2 x1f x3 ，求 x 的取值范畴欢迎下载精品学习资源4 奇偶性与单调性的综合应用欢迎下载精品学习资源例1 设f x 是 R 上的偶函数，f x 在 0, 上单调递增，试比较f 2, f3, f 大小欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例2f x 是定义在 R 上的偶函数，且f 30 ，f x在0, 上单调递增，那么不等式欢迎下载精品学习资源f x0 的解集为 变式 1欢迎下载精品学习资源定义在 R 上的偶函数f x ，对任意 x ， x 0 ， x x ，有f x2 f x1，那欢迎下载精品学习资源么12120x2x1欢迎下载精品学习资源A f 3< f 2< f 1B f 1< f 2< f 3C f 2< f 1< f 3D f 3< f 1< f 2欢迎下载精品学习资源变式 2 设f x是定义在 R 上的奇函数， 且f 20 ， f x在0,1 上单调递增， 在1, 上欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源单调递减，那么不等式f x0 的解集为 欢迎下载