2022年函数的基本性质知识点总结2 .docx
学习必备精品学问点函数的基本性质基础学问：1. 奇偶性（1） 定义：假如对于函数fx定义域内的任意x 都有 f x= fx,就称 f x为奇函数；假如对于函数 fx定义域内的任意 x 都有 f x=fx,就称 fx为偶函数；假如函数fx不具有上述性质,就f x不具有奇偶性 .假如函数同时具有上述两条性质,就f x既是奇函数,又是偶函数；留意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,就 x 也肯定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（2） 利用定义判定函数奇偶性的格式步骤：第一确定函数的定义域,并判定其定义域是否关于原点对称；确定 f x与 f x的关系；作出相应结论：如 f x = fx 或 f x fx = 0 ,就 fx是偶函数； 如 f x = f x 或 f x fx = 0 ,就 fx是奇函数；（3） 简洁性质：图象的对称性质： 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；设 fx, gx 的定义域分别是D1, D2 ,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇,奇奇=偶,偶 +偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇2. 单调性（1） 定义：一般地,设函数 y=fx的定义域为 I, 假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 fx1< fx2（ f x1>fx2）,那么就说 fx在区间 D 上是增函数（减函数） ；留意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；必需是对于区间 D 内的任意两个自变量x1, x2；当 x1<x2 时,总有 f x1<f x2；（2） 假如函数 y=fx在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx在这一区间具有（严格的）单调性,区间D 叫做 y=fx的单调区间；（3） 设复合函数 y= fg x ,其中 u=g x , A 是 y= fg x定义域的某个区间, B 是映射 g : xu=g x 的象集：如 u=g x 在 A 上是增（或减） 函数, y= fu在 B 上也是增 （或减） 函数, 就函数 y= fg x在 A 上是增函数；如 u=g x在 A 上是增（或减）函数,而y= fu在 B 上是减（或增）函数,就函数y= fg x在 A 上是减函数；（4） 判定函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：任取 x1, x2 D,且 x1<x2；作差 f x1 fx2；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判定差 fx1 fx2的正负）；下结论 （即指出函数f x在给定的区间D 上的单调性）；（5） 简洁性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数f x增函数g x是增函数；减函数f x减函数g x是减函数；增函数f x减函数g x是增函数；减函数f x增函数g x是减函数；如函数 yf x 是偶函数,就f xaf xa ；如函数 yf xa 是偶函数,就 f xaf xa .3. 函数的周期性假如函数 y fx 对于定义域内任意的x,存在一个不等于 0 的常数 T,使得 fx T fx 恒成立,就称函数 fx 是周期函数, T 是它的一个周期 .性质：假如 T 是函数 fx 的周期,就 kTk N 也是 fx 的周期 .如周期函数fx的周期为 T,就f x（0 ）是周期函数,且周期为T；| 如 fxf xa) ,就 函 数 yf x的 图 象 关 于 点 a ,0 2对 称 ;如f xf xa) , 就函数 yf x 为周期为2a 的周期函数 .例题：1. y1x 的递减区间是； y1xlog 1 x223x2 的单调递增区间是；2. 函数f x2lg1x1) 的图象（）A. 关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线 yx对称3. 设f x 是定义在 R 上的奇函数,如当x0 时,f xlog31x ,就 f 2；4. 定义在 R 上的偶函数f x 满意f x2f x2) ,如f x 在 2,0 上递增,就（）A. f1f 5.5B f 1f 5.5C f1f 5.5D 以上都不对5. 争论函数f xx1 的单调性；x6. 已知奇函数f x 是定义在 2,2上的减函数 ,如f m1f 2m10 ,求实数 m的取值范畴；7. 已知函数f x 的定义域为 N,且对任意正整数x ,都有f xf x1f x1) ；如f 02004 ,求f 2004 ；习题：题型一：判定函数的奇偶性1. 以下函数： （ 1 ） y1 x x0 ；（ 2 ）1yx4x 21 ；（ 3）y2 x ；（ 4 ） ylog 2x ；（ 5 ）ylog2 xx 21 , 6f xx22；其中奇函数是,偶函数是,非奇非偶函数是；2. 已知函数f x = x1x1 , 那么f x 是A. 奇函数而非偶函数B.偶函数而非奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数也非偶函数题型二：奇偶性的应用1. 已知偶函数f x和奇函数g x 的定义域都是 -4,4,它们在4,0上的图像分别如图（ 2-3 ）所示,就关于 x 的不等式f xg x0 的解集是；yy-4-20x-4-20xy=fx图2-3y=gx2. 已知f xax7bx5cx3dx5 ,其中a,b,c, d为常数, 如 f 77 ,就f 7 3. 以下函数既是奇函数,又在区间1,1 上单调递减的是（）A. f(x) sin xB.f xx1C.f x1 axa x222xD.f xln2x4. 已知函数 yf x 在 R是奇函数,且当 x0 时,f xx2x ,就 x0时,f x 的解析式为；5. 如 fx 是偶函数 ,且当 x0,时,fxx1,就 fx10 的解集是（）A. x1x0B. x x0或1x2C.x 0x2D.x 1x2题型三：判定证明函数的单调性1. 判定并证明f x2在 0,x1 上的单调性2. 判定f x2 x 22x1 在 ,0 上的单调性题型四：函数的单调区间1. 求函数 ylog x23 x2) 的单调区间；0.72. 以下函数中,在 ,0 上为增函数的是（）A. yx 24x8B.1yax3a0C.y2D.yx1log 1 x23. 函数f xx的一个单调递增区间是（）xA. 0,B. ,0C. 0,1D. 1,4. 以下函数中,在 0 , 2 上为增函数的是 A.y=-3x+1B.y=|x+2|C.y=4D.y=x2-4x+3x5. 函数 y=54xx 2 的递增区间是 A.-, -2B.-5, -2C.-2, 1D.1,+ 题型五：单调性的应用21. 函数 fx=x2+2a-1x+2在区间 - , 4 上是减函数,那么实数a 的取值范畴是 A.3,+ B.-, -3C.-3D.-, 52. 已知函数 fx=2x-mx+3,当 x-2 ,+ 时是增函数,当 x- , -2 时是减函数,就f1等于 A.-3B.13C.7D.由 m而打算的常数2223. 如函数f xxaxbx7 在 R 上单调递增,就实数a, b 肯定满意的条件是（）322A a3b0B. a3b0C. a3b0D. a3b14. 函数f x3ax2b2a, x1,1, 如fx1 恒成立,就 b 的最小值为；5.已知偶函数 f x在0, + 上为增函数,且 f2=0 ,解不等式 f log2 x2+5x+4 0；题型六：周期问题1. 奇函数f x以 3 为最小正周期,f 13 ,就f 47为A.3B.6C.-3D.-62. 设 f x 是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f x 在 0,3 内单调递增, 且 y=f x 的图象关于直线 x =3 对称,就下面正确的结论是A.f 1.5<f 3.5<f 6.5B. f 3.5<f 1.5<f 6.5C.f 6.5<f 3.5<f 1.5D.f 3.5<f 6.5<f 1.53. 已知 fx 为偶函数 , 且 f 2xf 2x ,当2x0 时, fx2 x ,就 f2006（）A 2006B 4C4D144. 设f x 是 , 上的奇函数,f x2f x ,当 0x1 时, fxx ,就f 47 .5等于 5. 已知函数 fx 对任意实数 x, 都有 fx m fx, 求证 :2m 是 fx 的一个周期 .6、已知函数 fx 对任意实数 x,都有 fm x fm x,且 fx 是偶函数 ,求证 :2m 是 fx 的一个周期 .7、函数 fx 是定义在 R 上的奇函数, 且 f 1 3,对任意的 x R,均有 fx 4 fx f, 求 f2001 的值 .
