2022年初三二次函数最后一题答案.docx

二次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题例 1 ：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c经过 A 2 ， 4，O 0， 0 ， B2，0 三点1求抛物线 y=ax 2+bx+c的解析式；2 假设点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值解析：1 把 A 2 ， 4， O0 ，0， B2 ，0 三点的坐标代入 y=ax 2+bx+c中，得解这个方程组，得 a= ， b=1 ，c=0 所以解析式为 y= x 2+x 2 由 y= x2+x= x 12+，可得抛物线的对称轴为 x=1 ，并且对称轴垂直平分线段 OBOM=BMOM+AM=BM+AM连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，就此时 OM+AM最小过点 A 作 AN x 轴于点 N ，在 Rt ABN 中， AB=4，因此 OM+AM最小值为方法提炼： 已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点 A 、B，求 AM+BM最小值的问18 页共 16 页第题，我们只需做出点 A 关于这条直线的对称点A，将点 B 与 A连接起来交直线与点 M ， 那么 A B 就是 AM+BM的最小值； 同理，我们也可以做出点 B 关于这条直线的对称点 B， 将点 A 与 B连接起来交直线与点M ，那么 AB就是 AM+BM的最小值；应用的定理是： 两点之间线段最短；AABBM或者MAB例 2 ：如图，已知抛物线经过点 A 1， 0 、B3， 0 、C0， 3三点1 求抛物线的解析式2 点 M 是线段 BC 上的点不与 B，C 重合，过 M 作 MN y 轴交抛物线于 N ，假设点M 的横坐标为 m ，请用 m 的代数式表示 MN 的长3 在2的条件下，连接 NB 、NC ，是否存在 m ，使BNC 的面积最大？假设存在，求m 的值；假设不存在，说明理由解析：1 设抛物线的解析式为： y=a x+1 x3 ，就：a0+1 0 3=3 ，a= 1 ；抛物线的解析式： y= x+1 x 3= x2+2x+3 2 设直线 BC 的解析式为： y=kx+b，就有：，解得；故直线 BC 的解析式： y= x+3 已知点 M 的横坐标为 m ，就 M m ， m+3 、N m ， m 2+2m+3；故MN= m 2+2m+3 m+3 = m 2+3m 0m 3 3 如图；SBNC =S MNC +S MNB =MN OD+DB =MN ×OB，SBNC = m 2+3m ×3= m 2+0 m 3；当m=时，BNC 的面积最大，最大值为方法提炼：由于BNC 的面积不好直接求， 将BNC 的面积分解为MNC 和MNB 的面积和；然后将BNC 的面积表示出来，得到一个关于 m 的二次函数； 此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值；题型二：二次函数与三角形的综合问题例 3 ：如图，已知：直线 yx3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax 2+bx+c经过A、B、C1 ，0 三点 .1求抛物线的解析式 ;2 假设点 D 的坐标为 -1 ，0 ，在直线 yx3 上有一点 P,使 ABO与 ADP相像，求出点 P 的坐标；3 在 2的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点E，使 ADE的面积等于四边形 APCE 的面积？假如存在，恳求出点 E 的坐标；假如不存在，请说明理由解：1 ：由题意得， A3， 0，B0 ，3 抛物线经过 A、B、C 三点，把A3 ，0，B0 ，3 ，C1，0 三点分别代入yax2bxc得方程组9a3bcc30a1解得： b4abc0c32抛物线的解析式为 yx4x32 由题意可得：为AB等O腰三角形 ,如下图，假设 ABO1 DA，P就 AOADOB DP1 DP1=AD=4,P1 1,4假设 ABO 2A，DP过点 P2 作 P2 Mx 轴于 M ，AD=4, AB为O 等腰三角形,2 是等AD腰P三角形 ,由三线合一可得： DM=AM=2= P2M ，即点 M 与点 C 重合P21，2 3 如图设点 E x, y ，就S ADE1AD 2| y |2 | y |当 P1 -1,4 时， S 四边形 AP1CE =S ACP1 +S ACE124212 | y | 2=4y2 y4yy42点E 在 x 轴下方y4代入得：2x4 x34 ,即 x4 x70=-4 2-4 ×7=-12<0此方程无解当 P2 1 ，2时， S 四边形 AP2CE =S 三角形 ACP2 +S 三角形 ACE =2y2 y2yy2点E 在 x 轴下方y2代入得：x24 x322即 x4 x50 ，=-4 2-4 ×5=-4<0此方程无解综上所述，在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E；方法提炼：求一点使两个三角形相像的问题，我们可以先找出可能相像的三角形，一般是有几种情形，需要分类争论，然后依据两个三角形相像的边长相像比来求点的坐标；要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后依据两个图形面积相等来求这个动点的坐标；假如图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个简单求解的图形；例 4 ：如图，点 A 在 x 轴上， OA=4 ，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 °至OB 的位置1 求点 B 的坐标；2 求经过点 AO、B 的抛物线的解析式；3 在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P 的坐标；假设不存在，说明理由解析：1 如图，过 B 点作 BCx轴，垂足为 C，就 BCO=90 °， AOB=120 °， BOC=60 °，又 OA=OB=4 ， OC= OB=× 4=2 ， BC=OB.sin60° =4 =×2，点B 的坐标为 2 ， 2；2 抛物线过原点 O 和点 A B，可设抛物线解析式为 y=ax 2+bx ，将 A4， 0，B 2 2代入，得， 解得，此抛物线的解析式为 y= x2+x3 存在，如图，抛物线的对称轴是 x=2 ，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为 2，y ，假设 OB=OP ， 就 22+|y| 2=4 2， 解得 y= ±2 ，当 y=2时，在 Rt POD中， PDO=90 °， sin PO=D= ， POD=60 °， POB= POD+ AOB=60 ° +120 ° =180 °，即 P、O、B 三点在同始终线上， y=2不符合题意，舍去，点P 的坐标为 2 ， 2假设 OB=PB ，就 42+|y+2|2=4 2， 解得 y= 2，故点 P 的坐标为 2 ， 2，假设 OP=BP ，就 22 +|y| 2=4 2+|y+2|2， 解得 y= 2，故点 P 的坐标为 2 ， 2，综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为 2， 2，方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类争论的思想；由于要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应当分三种情形来争论；题型三：二次函数与四边形的综合问题例 5 ：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+2x+3与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点1 求直线 AC 的解析式及 B，D 两点的坐标；2 点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 l AC交抛物线于点 Q，摸索究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 AP、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；假设不存在，请说明理由3 请在直线 AC 上找一点 M ，使 BDM的周长最小，求出 M 点的坐标解析：1 当 y=0 时， x2+2x+3=0，解得 x1= 1， x2 =3 点A 在点 B 的左侧，A B 的坐标分别为 1， 0，3，0 当 x=0 时， y=3 C 点的坐标为 0， 3 设直线 AC 的解析式为 y=k 1 x+b 1 k 10 ， 就， 解得，直线AC 的解析式为 y=3x+3 y= x2+2x+3=x12+4 ，顶点D 的坐标为 1，4 2 抛物线上有三个这样的点 Q，当点 Q 在 Q1 位置时， Q 1 的纵坐标为 3，代入抛物线可得点Q1 的坐标为 2 ，3 ；当点 Q 在点 Q2 位置时，点 Q 2 的纵坐标为 3， 代入抛物线可得点 Q 2 坐标为 1+， 3 ；当点 Q 在 Q3 位置时，点 Q 3 的纵坐标为 3，代入抛物线解析式可得，点 Q 3 的坐标为 1， 3； 综上可得满意题意的点Q 有三个，分别为：Q 12， 3，Q 2 1+， 3 ，Q 3 1， 3（3 ）点 B 作 BBAC 于点 F，使 BF=BF，就 B为点B 关于直线 AC 的对称点连接 BD 交直线 AC 与点 M ，就点 M 为所求，过点 B作BE x 轴于点 E1 和2 都是3 的余角，1= 2 Rt AOC RtAFB， ，由 A 1，0 ， B3 ，0， C0 ，3 得 OA=1 ， OB=3 ， OC=3 ，AC=，AB=4 ，BF=，BB=2BF=，由1= 2 可得 Rt AOC RtBEB，即BE=，BE=，OE=BE OB=3=B点的坐标为，设直线 BD 的解析式为 y=k 2x+b 2k 2 0， 解得，直线B'D 的解析式为： y=x+，联立 B'D 与 AC 的直线解析式可得：， 解得，M 点的坐标为，方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类争论的思想， 一般需要分三种情形来争论；题型四：二次函数与圆的综合问题例 6 ：如图，半径为 2 的C 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B，点 C 的32坐标为 1 ，0 假设抛物线yxbxc 过 A、B 两3点1 求抛物线的解析式；2 在抛物线上是否存在点 P，使得PBO= POB？假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在说明理由；3 假设点 M 是抛物线在第一象限内的部分上一点，的面积为MASB，求 S 的最大小值解析：1 如答图 1，连接 OB BC=2 ，OC=1 OB= 413 B0， 3 将 A3， 0，B0 ， 3 代入二次函数的表达式393bc得3c30b23，解得：3，c3y3 x223 x3 332 存在如答图 2 ，作线段 OB 的垂直平分线 l，与抛物线的交点即为点 P B0， 3 ， O0，0 ，直线l 的表达式为 y3 代入抛物线的表达式，2得 y3 x223 x33 ；332解得 x110 ，2 P1103， 223 如答图 3，作 MHx 轴于点 H设 M xm， ym，就 S MAB=S 梯形 MBOH +S MHAS OAB= 1 MH+OB 2.OH+ 1 HA.MH 1 OA.OB22= 1 y3 x1 3x y133mmmm222=3 x3 y33mm222y3 x 223 x3 ，mmm33S3 x3 3 x 22 3 x333MAB2m23m3m2=3 x 23 3 x3 x3 293mmm22228m当x3 时， S取得最大值，最大值为 93 MAB28题型五：二次函数中的证明问题例 8 ：如图 11 ，已知二次函数 y A-4 ， 3， B4 ，4.1求二次函数的解析式：1 x482axb 的图像过点2求证：ACB 是直角三角形；3假设点 P 在其次象限，且是抛物线上的一动点，过点P 作 PH 垂直 x 轴于点 H，是否存在以 P、H 、D、为顶点的三角形与 ABC 相像？假设存在， 求出点 P 的坐标； 假设不存在，请说明理由；解： 1将 A-4 ，3， B4 ，4 代人 y1 x482axb 中，整理得：4a - b72a13解得4ab32b-201二次函数的解析式为： y x213x - 20，48整理得： y13 x2481 x - 5862 由13 x2481 x - 5086整理2013x 26 x - 400x1202, x213C -2 ，0 D （，0）13从而有： AC 2=4+9BC2 =36+16AC2+ BC 2=13+52=65AB 2=64+1=65 AC 2+ BC 2=AB 2故ACB 是直角三角形p x 132153 设，xx - 4886X<0 PH=13 x2481 x - 586HD=20 - x13AC=13BC= 213当PHD ACB 时有： PHHDACBC13 x 2即： 481 x - 58620 - x13整理13 x25 x - 1250132 1324439x1- 50x2131， ）p - 5035131320 舍去此时， y3511313当DHP ACB 时有： DHPHACBC20 - x即： 1313 x2481 x - 586整理13 x217 x - 3050131222 1320488y78284x-x舍去此时， 1 p 21- 1221321313284，）13p - 503513122284综上所述，满意条件的点有两个即题型六：自变量取值范畴问题1， ）1313p2 -，）1313例 10 ：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 是菱形，顶点 ACD 均在坐标轴上，且 AB=5 ，sinB=1 求过 ACD 三点的抛物线的解析式；2 记直线 AB 的解析式为 y 1=mx+n，1中抛物线的解析式为 y 2=ax 2 +bx+c ，求当 y1y2 时，自变量 x 的取值范畴；3 设直线 AB 与1 中抛物线的另一个交点为 E， P 点为抛物线上 AE 两点之间的一个动点，当 P 点在何处时，的PA面E积最大？并求出面积的最大值解析：1 四边形 ABCD 是菱形， AB=AD=CD=BC=5 ， sinB=sinD=；Rt OCD中， OC=CD.sinD=4，OD=3 ；OA=AD OD=2 ，即：A 2 ，0、B 5， 4、C0， 4、D 3， 0； 设抛物线的解析式为： y=a x+2 x 3，得：2 ×3 a=4 ，a= ；抛物线：y= x2 +x+4 2 由 A 2 ，0、B 5， 4得直线 AB：y 1= x ； 由1 得： y 2= x 2+x+4 ，就：，解得：，；由图可知：当 y 1y2 时， 2 x 5 3 S APE=AE.h ，当P 到直线 AB 的距离最远时， S ABC最大； 假设设直线 L AB，就直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线 L：y= x+b ，当直线 L 与抛物线有且只有一个交点时， x+b= x2+x+4 ，且 =0 ； 求得： b=，即直线 L：y= x+； 可得点 P ， 由2 得： E5 ，就直线 PE：y= x+9 ；就点 F，0，AF=OA+OF=； PA的E最大值： S PA=ES PA+F S AE=F× × +=综上所述，当 P ， 时，P的AE面积最大，为题型七：二次函数实际应用问题例 11 ：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18 元，试销过程中发觉，每月销售量 y万件与销售单价 x元之间的关系可以近似地看作一次函数y= 2x+100 利润= 售价制造成本1 写出每月的利润 z万元与销售单价 x元之间的函数关系式；2 当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时， 厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？3 依据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，假如厂商要获得每月不低于 350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 解析：1 z= x18 y= x18 2x+100 = 2x 2+136x 1800 ，z与 x 之间的函数解析式为 z= 2x 2+136x 1800 ；2 由 z=350 ，得 350= 2x 2+136x 1800 ， 解这个方程得 x1=25 ，x2=43所以，销售单价定为 25 元或 43 元，将 z 2x 2+136x 1800 配方，得 z= 2 x34 2+512 ，因此，当销售单价为 34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；3 结合 2 及函数 z= 2x 2+136x 1800 的图象如下图可知，当 25 x 4时3 z 350 ，又由限价 32 元，得 25 x 32 ，依据一次函数的性质，得 y= 2x+100中 y 随 x 的增大而减小，当x=32 时，每月制造成本最低最低成本是18 × 2 × 32+100=648 万元， 因此，所求每月最低制造成本为648 万元