2022年数列常见题型总结经典.docx
高中数学数列常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1. 前 n 项和法（知Sn 求an ） anS1n1SnSn 1n2例 1、已知数列 an 的前 n 项和 Sn12nn 2 ,求数列 |an | 的前 n 项和 Tn1、如数列 an 的前 n 项和S2n ,求该数列的通项公式；n2、如数列 an 的前 n 项和 Sn3an3 ,求该数列的通项公式；23、设数列 an 的前 n 项和为Sn ,数列 Sn 的前 n 项和为Tn ,满意 Tn2 Snn 2 ,求数列 an 的通项公式；2. 形如 an 1anf n 型（累加法）（ 1）如 fn为常数 , 即：an 1and , 此时数列为等差数列,就an =a1n1d .（ 2）如 fn为 n 的函数时,用累加法 .例 1.已知数列 an满意 a11, an3 n 1an 1 n3 n12 , 证明 an21. 已知数列an 的首项为 1,且an 1a2nnN * 写出数列n1an 的通项公式 .2. 已知数列 an 满意 a13 , anan 1 nnn12 ,求此数列的通项公式.3. 形如an 1anf n 型（累乘法）an 1n 1（ 1）当 fn为常数,即：q（其中 q 是不为 0 的常数）,此数列为等比且an（ 2）当 fn为 n 的函数时 , 用累乘法 .an = a1q.例 1、在数列 an 中 a11, annnan 1nn112 ,求数列的通项公式；1、在数列 an 中 a11, anan 1n2 ,求an与Sn ；2、求数列 a1, an12n3 an2 的通项公式；1n2n1n 14. 形如 anpan1型（取倒数法）例 1.已知数列ra n 1san中, a12 , anan 1 n2 ,求通项公式 a n练习： 1、如数列 an 中, a11 , an 12an 1an1, 求通项公式an .2、如数列 an 中, a11 , an 1an3an2an an11 ,求通项公式an .5. 形如an 1cand, c0 , 其中 a1a 型（构造新的等比数列）（ 1）如 c=1 时,数列 an 为等差数列 ; （ 2）如 d=0 时,数列 a n 为等比数列 ;（ 3）如 c1且d0 时,数列 a n 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造帮助数列来求.方法如下：设an 1Ac anA , 利用待定系数法求出A例1已知数列 an 中, a112, an 1an21, 求通项2an .练习： 1、如数列 an 中, a12 , an 12an1, 求通项公式an ；3、如数列 an 中, a11 , an21an31 , 求通项公式an ；6. 形如 a n 1pa nf n 型（构造新的等比数列）(1) 如f nknb一次函数 k,b是常数,且 k0 , 就后面待定系数法也用一次函数；例题 .在数列 an 中, a13 , 2an2an 16n3, 求通项an .练习： 1、已知数列an 中, a13 , an 13an4 n2 ,求通项公式an(2) 如f nq n 其中 q 是常数,且 n0,1如 p=1 时,即：an 1anq n ,累加即可如 p1 时,即：a n 1p anq n ,后面的待定系数法也用指数形式；n 1an 1pan1两边同除以anq .即：qn 1p,qqnq1令 bnqn, 就可化为bn 1bn. 然后转化为类型 5 来解,qq例1.在数列 an 中, a125 ,且 an2an 1n 13nN 求通项公式 an1、已知数列an中, a11, 2an2an 1 1 n2,求通项公式an ；2、已知数列an中, a11 , an 13an3 2 n ,求通项公式an ；题型二依据数列的性质求解（整体思想）1、已知Sn 为等差数列an的前 n 项和, a6100 ,就S11；2、设S 、 T 分别是等差数列a、 b的前 n 项和, Sn7n2 ,就 a5.nnnnTnn3b53、设Sn 是等差数列a5an的前 n 项和,如a 35 ,就 S9（）9S55、在正项等比数列an中,a1a52a3a5a3a725 ,就 a3a5 ；6、已知Sn 为等比数列an前 n 项和, Sn54 , S2n60 ,就S3 n.7、在等差数列an 中,如 S41, S84 ,就a17a18a19a 20 的值为（）8、在等比数列中,已知a9a10aa0 , a19a20b ,就a99a100.题型三：证明数列是等差或等比数列A 证明数列等差例 1、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且满意 an+2Sn·Sn 1=0（ n 2）, a1=11.求证： 2Sn 是等差数列；B ）证明数列等比例 1、已知数列an满意 a11,a23, an 23an 1*2an nN .证明：数列an 1an是等比数列；求数列an 的通项公式；题型四：求数列的前n 项和基本方法： A ）公式法,B ）分组求和法1、求数列2 n2n3 的前 n 项和Sn .11111C ）裂项相消法 ,数列的常见拆项有：nnk ；knnknn1n1n ；例 1、求和： S=1+11211231123n例2、求和：1112132431.n1nD ）倒序相加法,x232f f 例、设f x1x2,求：1202212022f 1f 1f 2f 2022f 2022.E ）错位相减法,1、如数列an 的通项 an2nn13,求此数列的前 n 项和Sn .3.Sn12 x3x2Lnxn1x0（将分为 x1和 x1 两种情形考虑）
