2022年数列知识点与常用解题方法归纳总结2.docx

数列学问点及常用解题方法归纳总结一、等差数列的定义与性质定义： an 1a nd d 为常数 , ana1n1 d等差中项： x,A , y 成等差数列2Axy前 n 项和 Sna1ann 2na 1n n1d2性质： an是等差数列（1）如 mnpq,就 amanapaq ；（ 2）数列 a2 n 1, a2 n, ka nb 仍为等差数列；Sn ,S2 nSn ,S3nS 2n .仍为等差数列；（ 3）如三个数成等差数列,可设为ad,a,ad；（ 4）如 an , b n 是等差数列 Sn , Tn为前 n 项和,就 amS2m 1 ；Tbm2 m 1（ 5） an为等差数列 Snan 2bn （ a, b 为常数,是关于n 的常数项为0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数Snan2bn 的最值；或者求出a n中的正、负分界项,即：当 a10, d0,解不等式组an0an 10可得 Sn 达到最大值时的 n 值；当 a10, d0,由 an0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值；an10aa如：等差数列 a n, Sn18,a nn 1n 23,S31,就 na（由 ann 1aan 233a n 13,an 11又 Sa13 · 3 3a 2, a21312311a1 na1anna2n 1 ·n 3S n222二、等比数列的定义与性质18n 27 ）1n1定义： a nq（ q 为常数, q0）, aaq n 1an等比中项： x、G、 y 成等比数列G 2xy,或 Gxyna1 q1前 n 项和：Sna11qnq（要留意 . ）11q性质： an是等比数列（1）如 mnpq,就 am ·anap ·aq（ 2）Sn ,S2nSn , S 3 n S2 n .仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、 由 Sn 求 an ；（n1 时, a1S1 ,n2 时,anSnS n 1 ）3、求差（商）法如： a n满意1a112 a2.1n an2n 512221解： n1 时, 21a121 5 ,a114时,n221a122a21.1a2 n 1n 12n 1 5214n112得：2 n练习an2 , an2 n 1, an2n 1n2S5数列 a n满意 Snn 1an 1 , a14,求 a n3Sn 1（留意到 an 1Sn 1S n 代入得：4Sn又 S 14, Sn是等比数列, Sn4 nn 2 时, anSnSn 1.3·4 n 12n 1例如：数列an中, a1n3,ann,求 an1aa解：2 ·3.a2a1 2n 1na· .3a,n1a1n 12na1n又 a13 ,an3n5、等差型递推公式由anan 1f n ,a1a0 ,求 an ,用迭加法n2 时, a2a3.a1a2f 2f 3.两边相加,得：anan 1f nana1f 2f 3.f nan练习a0f 2f 3.f n数列 an, a11, an3n 1an 1n2 ,求 an126、等比型递推公式（ an3n1 ）anca n 1c、 d 为常数,dc0, c1, d0可转化为等比数列,设a nxc an 1xanca n 1c1 x令 c1xd,xdc1 a ndd是首项为 a 1, c 为公比的等比数列c1c1a nda1c1dc1·c n 1a na1dc n 1d4、叠乘法ac1c 13练习数列 an满意 a19, 3an 1an4,求 ann 14（an81） 3127、倒数法2a n例如： a11, a n 1,求 an, 由已知得：1an211an2an 1 2a n2a n11111,1为等差数列,公差为an 1an2ana121111n 1 ·n 1, a n2a n22n1三、求数列前 n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项；n如： a n是公差为 d 的等差数列,求1解： 由k 1 ak ak111111d0ak ·ak 1akakdd akak 1n1n111k 1 ak ak 1ak 1 d a kk 111111.1a 1da 1a2a2a3ann 1111da1an 1练习求和： 111.11212 312 3.n（ an.,Sn21）n13、错位相减法：如 an为等差数列,bn 为等比数列,求数列an b n （差比数列）前 n 项和,可由 SnqS n 求 Sn ,其中 q 为 bn 的公比；如： Sn12x3x 24x 3.nx n 11x·S nx 2x 23x 34x 4.n 1 x n 1nx n 212： 1 x S n1xx 2.x n 1nx nx1 时, Sn1x nnxn21x1xx1 时, Sn123.nn n124、倒序相加法：把数列的各项次序倒写,再与原先次序的数列相加；.aaSna1a2n 1n相加Snanan 1.a2a12Sna1ana2an 1.a1an .练习x 2已知 f x,就 f 1f 21ff 3f11f 4 f1x 22341（由 f xfx 22122xx 211x1 x 21121 x1 x x111原式f 1f 2ff 3ff 4f234111113）22例 1 设 an 是等差数列,如a 2=3 , a 7 =13 ,就数列 an 前 8 项的和为（）A128B 80C 64D 56 （福建卷第 3 题） 略解： a 2 +a 7= a 1 +a 8 = 16 , a n 前 8 项的和为 64,故应选 C 例 2已知等比数列 an 满意 a1a23 , a2a 36 ,就 a7（）A 64B 81C 128D 243（全国卷第7 题） 答案： A例 3已知等差数列an中, a26 , a515 ,如 bna2n ,就数列 bn的前 5 项和等于（）A30B 45C 90D 186（北京卷第 7 题）略解： a5故答案是 C-a=3d=9 , d=3 , b= a2126 , b=a510=30 , b 的前 5项和等于90 ,n例 4记等差数列的前n 项和为 Sn ,如 S24,S 420 ,就该数列的公差d（）A 2B 3C 6D 7 （错误！未找到引用源；第 4 题） 略解： S 4S2S24d 12,d3 ,应选 B.例 5在数列 an 中, an4n5 , a1a2anan2bn , nN * ,其中 a, b 为2常数,就 ab答案： 1 （安徽卷第 15 题）1例 6在数列 an 中, a12 , an 1anln1 ,就 an（）nA 2 ln nB 2 n 1ln nC 2nln nD 1nln n （江西卷第5 题） 答案： A例 7设数列an中, a 12,a n 1ann1 ,就通项 an （四川卷第16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式,抓住an1数相同是找到方法的突破口a12, an1ann1 anan 1n11 , an1n31,a3a221,a 2a11 1 , a1n1 n21略解：ann1 中 an 1 , an 系an 2n21 ,a an 2 n31将以上各式相加,得 ann1n 2n321n1应填 nn1+12n n1n 1221,故例 8如 x+ 12 x n 的绽开式中前三项的系数成等差数列,就绽开式中x4 项的系数为A 6B 7C 8D 9 重庆卷第 10 题 答案： B使用挑选题、 填空题形式考查的文科数列试题,充分考虑到文、 理科考生在才能上的差异,侧重于基础学问和基本方法的考查,命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主, 如,例 4 以前的例题 例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的懂得；例6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例 8 就考查二项绽开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第1 题,浙江卷第 4题,陕西卷第 4 题,天津卷第 4 题,上海卷第 14 题,全国卷第19 题等,都是关于数列的客观题,可供大家作为练习例 9 已知 an是正数组成的数列,a1=1 ,且点（an , an1 ）（n N* ）在函数 y=x 2+1的图象上 . 求数列 an的通项公式；如数列 bn 满意 b1=1 , bn+1 =bn+ 2an,求证：2bn·b n+2 b n+1 . （福建卷第20 题）略解：（）由已知,得an+1 -a n=1,又 a1 =1, 所以数列 an 是以 1 为首项,公差为1 的等差数列故 an=1+ n-1×1=n.nn,n+1n,bnn n-1n-1n-221）+b1n-1n-2由（）知,a =n从而 b-b =2= b -b+ b-b+ .+（ b -b=2+2+.22 · nnn+2n+ 12nbbb+2+1=2-1. bn.bn+2 -b n 1 =2-12-1-2-1= -2 0,nn+2n 1对于第（）小题,我们也可以作如下的证明：n+12n+1nn- bn 1 =2·bn+1 -2·bn +1 -2·22n b 2=1,b n·bn +2 - b n 1 = b n+1 -2 b n+1 +2=2n （ bn+2n -2n+1） =2n（ bn-2n） =. =2n（ b1-2） =-2 n<0, bn-bn+2<b2n+1 .n+1nn+1 2（ bn+1 -2）例 10在数列 an 中, a 11, an 12an2n（）设bnan证明：数列bnn 12是等差数列；（）求数列an的前 n 项和 Sn （全国卷第19 题）an 1anan 12an2n略解：（） bn1bn =nn1 =n222=n=1,就 bn为等差数列,b11,2bnn , ann2n 1 2 21n 12 n 2n 2n 1,两式相减,得（）Sn1 202Sn1 212 22n 1 2 n 1n 2 nSnn 2 n1 20212n 1n 2 n2n1 = n12n1 对于例 10 第（）小题,基本的思路不外乎推出后项减前项差相等,即差是一个常数 可以用迭代法, 但不行由 b 2-b 1=1, b 3 -b 2 =1 等有限个的验证归纳得到bn 为等差数列的结论, 犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比差数列”,在高考数列考题中显现的频率很高,求和中运用的“错项相减”的方法,在教材中求等比数列前n 项和时给出,是“等比差数列”求和时最重要的方法一般地,数学学习中最为重要的内容经常并不在结论本身,而在于获得这一结论的路径赐予人们的有益启示例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型,类似的题目仍有浙江卷第 18 题,江苏卷第 19 题,辽宁卷第 20 题等,其共同特点就是以等差数列或等比数列为依靠构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本学问,考查转化与化归思想,考查推理与运算才能考虑到文、理科考生在才能上的差异,与理科试卷侧重于理性思维,命题设计时以一般数列为主,以抽象思维和规律思维为主的特点不同；文科试卷就侧重于基础学问和基本方法的考查,以考查详细思维、演绎思维为主例 11 等差数列ana13nSn bn b11 的各项均为正数,前 项和为,为等比数列 ,且 b 2 S 264, b3S3960 求 an 与 bn ； 求和：111（江西卷第19S1S2Sn题）2略解： 设 an 的公差为 d , bn 的公比为 q ,依题意有S2b26 d q 64,S3b393d q960.解之,得d2,或d6 ,5 舍去,为什么？ 故 an32n12n1, bn8n1 q8;40q.3（）35Sn,nnn11111111111111S1S2Sn132435nn 22324351111111 32n 3nn222n 1n242n1n2“裂项相消”是一些特殊数列求和经常用的方法使用解答题形式考查数列的试题,其内容仍往往是一般数列的内容,其方法是争论数列通项及前 n 项和的一般方法,并且往往不单一考查数列,而是与其他内容相综合,以表达出对解决综合问题的考查力度数列综合题对才能有较高的要求,有肯定的难度, 对合理区分较高才能的考生起到重要的作用例 12 设数列an的前 n 项和为 Sn2an2n（,）求a1, a4 ；（）证明：an 12an是等比数列；（）求an的通项公式（四川卷第21 题）略 解 ：（ ） a1S1,2 a 1S12 , 所 以 a12, S12 由 2aS2n 知 ,nn2an 1S n 12n 1an 1Sn2n 1得,an 1Sn2 n 1a2S1222 2 26, S 28,a3S 2238 2 316, S 324,a4S32440 （）由题设和式知,an12anSn2n 1Sn2n2n 12n2n , an 12an是首项为 2,公比为 2 的等比数列（）anan2an 12 a n 12a n 22n 2a 22a 12n 1 a1n 1 2 n 1此题重点考查数列的递推公式,利用递推公式求数列的特定项,通项公式等 推移脚标,两式相减是解决含有S n 的递推公式的重要手段,使其转化为不含Sn 的递推公式,从而有针对性地解决问题在由递推公式求通项公式时,首项是否可以被吸取是易错点同时,仍应留意到题目设问的层层深化,前一问常为解决后一问的关键环节,为求解下一问指明方向na10, a21,2,3,例 13 数列 a满意2, an 21 cos 2 n an4sin 2 n , n22（ I）求a3 ,a4,并求数列的通项公式；（ II）设an,Ska1a 3a k21Tka 2a4a2k , Wk2SkkN ,求使 Wk1 的全部 k 的值,并说明理由（湖2 T k南卷第 20 题）略解：（ I）a31cos 2a14sin 2a144,a41cos 2 a 24sin 22a24,22一般地 , 当 n = 2k1kN 时,a2k 11 cos 2 2 k1 a2k 1a4sin 2 2 k12 k 14, 即 a2 k 1a2k 14.22所 以 数 列 a2 k 1是首项为 0 、公差为 4的 等 差 数 列 , 因 此 a2k 14k1. 当时,cosa 2k4sin所以数列2 2k2n = 2k kN a2k212k2a2k ,a是首项2k22为 2、公比为 2的 等 比 数 列 , 因 此 a2k2k. 故 数 列 an的通项公式为2 n1 n,k2k1 N ,ann22 ,n2k kN .（ II ）由（ I）知,aaSka1a32k 1=0 44 k 12k k 1,Tka2a42k2 2 22k2k 12, Wk2Skk k 1 .2 T k2k1335于是, W10, W 21, W 3, W 4, W 5, W 615 .22416下面证明 :当k6时 ,Wk1.事实上 ,当 k6时 ,Wk 1kkk1k3k k 1Wk2k2k 12k0, 即 Wk 1Wk . 又 W61, 所以当 k6 时,Wk1. 故满意 Wk1 的全部 k 的值为 3,4,5.数列学问点回忆第一部分：数列的基本概念1. 懂得数列定义的四个要点数列中的数是按肯定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”因此,假如组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列在数列中同一个数可以重复显现项 a n 与项数 n 是两个根本不同的概念数列可以看作一个定义域为正整数集或它的有限子集 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不肯定是数列2. 数列的通项公式一个数列 a n 的第 n 项 a n 与项数 n 之间的函数关系,假如用一个公式an = f n 来表示,就把这个公式叫做数列 a n 的通项公式；如给出数列 a n 的通项公式,就这个数列是已知的；如数列 a n 的前 n 项和记为 S n ,就 S n 与 an的关系是： an =S1 ,n1；SnSn 1 . n2其次部分： 等差数列1. 等差数列定义的几个特点：公差是从第一项起,每一项减去它前一项的差同一常数 ,即 d = a n an1n 2或 d = a n1a nn N 要证明一个数列是等差数列,必需对任意nN ,a n a n1 = d n 2或d = a n1 an 都成立一般采纳的形式为： 当 n2时,有 a n a n1 = d d 为常数 当 n N时,有 a n1a n = d d 为常数 当 n2 时,有 a n1a n = an an1 成立如判定数列 a n 不是等差数列,只需有a3a 2 a 2 a 1即可2. 等差中项如 a、A 、b 成等差数列,即 A= ab ,就 A 是 a 与 b 的等差中项；如 A= ab ,22就 a、A 、b 成等差数列,故 A= ab 是 a、A 、b 成等差数列,的充要条件；由2于 a n = an 1 an 1,所以,等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项；23. 等差数列的基本性质公差为 d 的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d公差为 d 的等差数列,各项同乘以常数k 所得数列仍是等差数列, 其公差为 kd如 a n 、 b n 为等差数列,就 a n ±b n 与ka n bk 、b 为非零常数 也是等差数列对任何 m、nN ,在等差数列 a n 中有： a n = a m + n md ,特殊地,当 m = 1 时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性、一般地,假如 l,k,p,., m,n,r,.皆为自然数,且l + k + p +.= m + n + r +.（两边的自然数个数相等）,那么当 a n 为等差数列时, 有： al +ak + a p + .= am + a n + a p + .公差为 d 的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列, 此数列仍是等差数列,其公差为 kd k 为取出项数之差 假如 a n 是等差数列,公差为d,那么, a n , an1 , ., a 2 、a 1也是等差数列,其公差为 d；在等差数列 a n 中, a ml al = a mk ak = md 其中m、 k、 lN在等差数列中,从第一项起,每一项有穷数列末项除外 都是它前后两项的等差中项当公差 d0 时,等差数列中的数随项数的增大而增大；当 d 0 时,等差数列中的数随项数的削减而减小；d0 时,等差数列中的数等于一个常数设 al ,a m ,a n 为等差数列中的三项,且al 与 a m ,am 与 a n 的项距差之比lm= （ 1）,就 a m =alanmn14. 等差数列前 n 项和公式 S n = na 1an 与 S n = na1 nn 1 d 的比较22前 n 项和公式公式适用范畴相同点S n =n a1an 用于已知等差数列的首项和末项都是等差数列的前 n 项2和公式S n = na1 nn 1 d用于已知等差数列的首项和公差25. 等差数列前 n 项和公式 S n 的基本性质数列 a n 为等差数列的充要条件是：数列 a n 的前 n 项和 S n 可以写成Sn = an 2 + bn 的形式 其中 a、b 为常数 S,在等差数列 an中,当项数为2n nN*时,S偶S奇 = nd奇=an；S 偶an1S当项数为 2n 1 n N时, S 偶 S 奇 = an, 奇=nS 偶n1如数列 a n 为等差数列,就 S n , S 2n S n ,S 3n S 2 n , .仍旧成等差数列,公差为 n 2d 如两个等差数列 a n 、 b n 的前 n 项和分别是 S n 、 T n n 为奇数 ,就Sa n1n =2Tnbn 1 2n m在等差数列 a n 中, S n = a,S m = b n m,就 S m n=abn m等差数列 a n 中,Sn是 n 的一次函数,且点（ n, Sn ）均在直线 y = d xnn2d+ a 1 上2记等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn 如 a1 0,公差 d 0 ,就当 a n 0 且 a n 1 0 时, S n 最大；如 a1 0 ,公差 d 0,就当 an 0 且 an 1 0 时,Sn 最小第三部分：等比数列1. 正确懂得等比数列的含义12anq 是指从第 2 项起每一项与前一项的比, 次序不要错,即 q =1n N an或 q = an n 2an1由定义可知,等比数列的任意一项都不为0,因而公比 q 也不为 0a21要证明一个数列是等比数列,必需对任意 n, n 1；或 anN= qa= q n2 都成立2. 等比中项与等差中项的主要区分ann 1假如 G 是 a 与 b 的等比中项,那么Gb ,即 G2,±= abG =所以,abaG只要两个同号 的数才有等比中项, 而且等比中项有两个, 它们互为相反数； 假如a bA 是 a 与 b 的等差中项,那么等差中项A 唯独地表示为 A=,其中, a 与 b2没有同号 的限制在这里,等差中项与等比中项既有数量上的差异,又有限制条件的不同3. 等比数列的基本性质公比为 q 的等比数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列, 此数列仍是等比数列,其公比为q m m 为等距离的项数之差 对任何 m、n,在等比数列N a n 中有：·n m,特殊地,当a n = amqm = 1 时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性一 般地,假如 t , k, p, ., m, n, r, .皆为自然数,且t + k , p, .,m + .= m + n + r +. 两边的自然数个数相等 ,那么当 a n 为等比数列时,有：at a k a p . = a m a n a p . 如 a n 是公比为 q 的等比数列,就 | a n | 、a 2n 、ka n 、 1 也是等an比数列,其公比分别为| q | 、q 2 、q 、 1 q假如 a n 是等比数列,公比为 q,那么, a 1 , a3 , a5 , ., a 2 n1, .是以 q 2 为公比的等比数列假如 a 是等比数列,那么对任意在nn N,都有·2·20aann 2= anq两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积当 q1 且 a 1 0 或 0q1 且 a 1 0 时,等比数列为递增数列；当 a 1 0 且 0q1 或 a1 0 且 q1 时,等比数列为递减数列；当 q = 1 时,等比数列为常数列；当 q0 时,等比数列为摇摆数列4. 等比数列前 n 项和公式 S n 的基本性质假如数列 a n 是公比为 q 的等比数列,那么,它的前n 项和公式是na 1, 当 q1 时 ,S =na1 1q n , 当 q1 时 .1q也就是说,公比为数值,分段的界限是在弄清公比 q 是可能等于1 进行争论q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函 q = 1 处因此,使用等比数列的前 n 项和公式,必需要1 仍是必不等于 1,假如 q 可能等于 1 ,就需分 q = 1 和 q1,q,an 时,用当已知 a 1,q,n 时,用公式 S n = a1 1q n ；当已知 a1qa1a q公式 S n =n1q如 S n 是以 q 为公比的等比数列,就有S n m = S m qS n 如数列 a n 为等比数列,就 S n , S 2n S n , S 3n S 2 n , .仍旧成等比数列如项数为 3n 的等比数列 q 1 前 n 项和与前 n 项积分别为 S 1 与 T 1 ,次 n 项和与次 n 项积分别为 S2 与 T 2 ,最终 n 项和与 n 项积分别为 S3 与 T 3 ,就 S1 , S2 ,S3 成等比数列, T 1 ,T 2 ,T 3 亦成等比数列二、难点突破1. 并不是全部的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不肯定唯独已知一个数列的前几项,这个数列的通项公式更不是唯独的2. 等差 比数列的定义中有两个要点：一是“从第 2 项起”,二是“每一项与它前一项的差 比 等于同一个常数” 这里的“从第2 项起”是为了使每一项与它前面一项都的确存在,而 “同一个常数 ”就是保证至少含有3 项所以,一个数列是等差 比数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3 项3. 数列的表示方法应留意的两个问题： a n 与 a n 是不同的,前者表示数列 a1 ,a 2 , ., a n , .,而后者仅表示这个数列的第n 项；数列 a1 ,a 2 , .,an , .,与集合 a 1 ,a 2 , ., an , ., 不同,差别有两点：数列是一列有序排布的数,而集合是一个有确定范畴的整体；数列的项有明确的次序性, 而集合的元素间没有次序性4. 留意设元的技巧时,等比数列的奇数个项与偶数个项有区分,即：对连续奇数个项的等比数列,如已知其积为 S,就通常设 ., aq 2 , aq 1 ,a,aq, aq 2 , .； 对连续偶数个项同号 的等比数列,如已知其积为S,就通常设 ., aq 3 , aq 1 ,aq, aq 3 , .