2022年初三数学同步教学----一元二次方程一元二次方程的应用.docx

【学习目标】一元二次方程的应用基础撰稿：张晓新审稿：杜少波学习文档 仅供参考1. 通过分析详细问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高规律思维才能、分析问题和解决问题的才能.【要点梳理】学问点一 、列一元二次方程解应用题的一般步骤1. 利用方程解决实际问题的关键是查找等量关系.2. 解决应用题的一般步骤：审 审题目，分清已知量、未知量、等量关系等 ； 设 设未知数，有时会用未知数表示相关的量 ； 列 依据题目中的等量关系，列出方程 ；解 解方程，留意分式方程需检验，将所求量表示清楚 ； 验检验方程的解能否保证明际问题有意义答 写出答案，切忌答非所问.要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.学问点二 、一元二次方程应用题的主要类型1. 数字问题(1) 任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成. 数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、，数位上的数字 只能是 0、 1、2、 9 之中的数，而最高位上的数不能为0. 因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为 b，百位上数为c，就这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2) 几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，就另两个数分别为x-1 ， x+1.几个连续偶数 或奇数 中，相邻两个偶数 或奇数 相差 2.如：三个连续偶数 奇数 ，设中间一个数为x，就另两个数分别为x-2 ， x+2.2. 平均变化率问题列一元二次方程解决增长 降低 率问题时，要理清原先数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系. 假如列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1) 增长率问题：平均增长率公式为a1x2b a为原先数， x 为平均增长率， n 为增长次数， b 为增长后的量 .(2) 降低率问题：平均降低率公式为a1x2b a为原先数， x 为平均降低率， n 为降低次数， b 为降低后的量 .3. 利息问题(1) 概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2) 公式 :利息 =本金×利率×期数利息税 =利息×税率本金× 1+ 利率×期数 = 本息和本金× 1+ 利率×期数× 1- 税率 = 本息和 收利息税时 4. 利润 销售 问题利润 销售 问题中常用的等量关系： 利润 =售价 - 进价 成本 总利润 =每件的利润×总件数5. 形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规章图形分割或组合成规章图形，依据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题列方程，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决 . 这是在解决实际问题经常用到的数学思想方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1. 已知两个数的和等于12，积等于 32，求这两个数是多少【答案】 4 和 8.【解析】假如设其中一个数为x，那么另一个数可表示为12-x，依题意得：x12-x 32，2整理得 x -12x+32 0解得 x 1 4，x 2 8， 当 x 4 时 12-x 8； 当 x 8 时 12-x 4 所以这两个数是 4 和 8【点评】 数的和、差、倍、分等关系，假如设一个数为x，那么另一个数便可以用x 表示出来，然后依据题目条件建立方程求解举一反三：【高清课堂：一元二次方程的应用-例 1】【变式】 有一个两位数等于其数字之积的3 倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数 .【答案】 24.【解析】解：设个位数字为x ，就十位数字为 x2 .由题意，得：10 x2+ x3 x x2整理，得：3x 217x200解方程，得： 3 x5 x40 x15 ,x432经检验， x53 不合题意 , 舍去留意根的实际意义的检验当 x4 时,x2 =2 10 x2x102424答：这个两位数为24.类型二、平均变化率问题2. 2021 年 5 月中心召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨过式进展和长治久安，作出了重要战略决策部署为此我市抓住机遇，加快进展，打算今年投入5 亿元用于城市基础设施保护和建设，以后逐年增加，方案到 2021 年当年用于城市基础设施保护与建设资金到达8.45 亿元(1) 求从 2021 年至 2021 年我市每年投入城市基础设施保护和建设资金的年平均增长率；(2) 假设 2021 年至 2021 年我市每年投入城市基础设施保护和建设资金的年平均增长率相同，估计我市这三年用于城市基础设施保护和建设资金共多少亿元.【答案与解析】解： 1 设从 2021 年至 2021 年我市每年投入城市基础设施保护和建设资金的年平均增长率为x，2由题意得 51+x 8.45 解得 x1 30%， x2 -2.3不合题意，舍去 答：从 2021 年至 2021 年我市每年投入城市基础设施保护和建设资金的年平均增长率为30%2这三年共投资5+51+x+8.45 5+51+0.3+8.45 19.95 亿元 答：估计我市这三年用于城市基础设施保护和建设资金共19.95 亿元n【点评】此题是常见的增长率问题，要懂得a1+x b 其中 a 是原先的量， x 是平均增长率， n 是增长的次数， 6 是增长到的量 的含义原先的量经过一次增长后到达a1+x ；在这个基础上，再增长一次即经过其次次增长后到达a1+x1+x a1+x 2；在这个基础上，再增长一次即经过三次增长后到达a1+x1+x1+xa1+x 3 ；依次类推举一反三：【高清课堂：一元二次方程的应用-例 5】【变式】 某产品原先每件是600 元，由于连续两次降价，现价为384 元，假如两次降价的百分数相同，求平均每次降价率 .【答案】设平均每次降价率为x ，就第一次降价为 600 x ，降价后价格为： 600600 x6001x ，其次次降价为： 6001xx ，降价后价格为：6001x 6001x x6001x 2 .依据题意列方程，得：6001x23841x 1x2162545 x11 ，x92552x9 不合题意，舍去留意根的实际意义的检验5 x1120 005答：平均每次下降率为20 00 .类型三、利润销售问题3. 某商店从厂家以每件21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，假设每件商品售价为a 元，就可卖出 350-10a件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店方案要赚 400 元，需要卖出多少件商品 .每件商品售价多少元 .【答案与解析】解：设每件商品的售价为a 元依据题意，得 a-21350-10a 4002 a-56a+775 0， a-25a-31 0， a-25 0 或 a-31 0， a 125， a2 31当 a31 时，加价 31-21 10，不合题意，舍去 350-10a 350-10 ×25 100答：每件商品售价为25 元，需要卖出 100 件商品【点评】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意应舍去，必需进行检验类型四、形积问题4. 2021 ·山东济南 如以下图，某幼儿园有一道长为16 米的墙，方案用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪 BC边的长【答案与解析】2解：设草坪 ABCD的 BC边长 x 米，就宽 AB为依据题意，得整理得： x -32x+240 0， x-12x-20 0解得： x1 12， x 2 20又由题意知： BC 16 x 20 不合题意，舍去 该矩形草坪 BC边的长为 12 米【点评】 1结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键； 2留意检验一元二次方程的两个解是否符合题意【稳固练习】一、挑选题21. 在一幅长 80cm、宽 50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如以下图假如要使整个挂图的面积是5400cm ，设金色纸边的宽为x cm ，那么 x 满意的方程是 2A x2C x+130x-1400 0B x-130x-1400 0D x-65x-350 022+65x-350 022. 为了改善居民住房条件，我市方案用将来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10cm2提高到，假设每年的年增长率相同，就年增长率为A 9%B 10%C 11%D 12%223. 某农机厂四月份生产零件50 万个，其次季度共生产零件182 万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为 x，那么 x 满意的方程是 A 501+x 182B 50+501+x+501+x 182C 501+2x 182D 50+501+x+501+2x 1824. 一个矩形的长是宽的3 倍，假设宽增加 3cm，它就变成正方形 . 就矩形面积是 A 4 cm23B 9cm 2C 27 cm 24D 27cm 2225. 为执行“两免一补”政策，某地区2021 年投入训练经费 2500 万元，估计 2021 年投入 3600 万元设这两年投入训练经费的年平均增长率为x，就以下方程正确的选项是A 25001+x3600B 2500x3600C 25001+x% 3600D 25001+x+25001+x2 36006. 一个跳水运发动从距离水面10 米高的跳台向上跳起，开头做翻动动作，它在空中每完成一个动作需要时间 0.2 秒，并至少在离水面处停止翻动动作预备入水，最终入水速度为14 米/ 秒，该运发动在空中至多做翻动动作 A 3 个B4 个 C 5 个 D 6 个二、填空题7. 某商场销售额3 月份为 16 万元， 5 月份 25 万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是 8. 假设两数的和是2，两数的平方和是74，就这两数为29. 大连某小区预备在每两幢楼房之间开创面积为300m 的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，设长方形绿地的宽为 xm，就可列方程为210. 菱形 ABCD的一条对角线长 6，AB的长是方程 x -7x+12 0 的一个根， 就菱形 ABCD的周长为11. 有一人患了流感， 经过两轮传染后共有121 人患了流感， 每轮传染中平均一个人传染了个人？12.2021 ·山东威海 小明家为响应节能减排号召，方案用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg 降至 2000kg 全球人均目标碳排放量 ，就小明家将来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是三、解答题13. 用长 12m的一根铁丝围成长方形22(1) 假如长方形的面积为5m，那么此时长方形的长是多少.宽是多少 .假如面积是 8m 呢.2(2) 能否围成面积是 10m 的长方形 .为什么 .(3) 能围成的长方形的最大面积是多少.14. 从一块长 80cm，宽 60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原先铁片面积的一半，求这个宽度15. 常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北玉桃源县盘塘镇创元工业园，在这一走廊内的工业企业2021 年完成工业总产值440 亿元，假如要在 2021 年到达 743.6 亿元，那么 2021 年到 2021 年的工业总产值年平均增长率是多少.常德工业走廊建设进展规划纲要 草案 确定 2021 年走廊内工业总产值要到达 1200 亿元，假设连续保持上面的增长率，该目标是否可以完成.【答案与解析】一、挑选题1. 【答案】 D；【解析】可列方程 80+2x50+2x 5400，化简即可2. 【答案】 B；2【解析】 101+x12.1 ，解得 x 0.1 3. 【答案】 B；【解析】四、五、六月份产量之和为1824. 【答案】 C；【解析】设矩形的宽为xcm，就矩形的长为3xcm，依题意得 x+3 3x5. 【答案】 A；【解析】由平均增长率公式为的量 可列方程 .6. 【答案】 D；a1x2b a为原先数， x 为平均增长率， n 为增长次数， b 为增长后【解析】从高处到入水过程的平均速度为7 米÷ 7 1.5 秒，速度每秒变化 0147 米/ 秒设运发动从最高处到离水面时用时x 秒，22那么这段距离的平均速度为x 1.5 ， x÷ 0.2 6，最多做 6 个翻动动作二、填空题7. 【答案】 25%；【解析】设商场这两个月销售额的平均增长率是x，2就 161+x 25 解得 x 1 0.25 25%， x2 -2.25不合题意，舍去 8. 【答案】 -5 和 7；2【解析】设两数中一个数为x，就另一个数为2-x 依据题意得 x2+2-x 74，解得 x 1 -5 ， x2 7当 x -5 时，另一个数为 7；当 x 7 时，另一个数为-5 ，所以这两个数为-5 和 7 9【答案】 xx+10 300；【解析】由于宽为xm，就长为 x+10m ，可列方程 xx+10 30010. 【答案】 16；2【解析】 x -7x+12 0 的两根为 x 1 3， x2 4， AB不行能等于 3，由于有一条对角线长为6，所以 AB 4，菱形周长为 16 11【答案】 10；【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人列方程，得 1xx1x121 解方程，得x110 ，x2122经检验， x2 不合题意，舍去所以平均一个人传染了10 个人12【答案】 20% ；【解析】设降低的百分率为x，就 31251-x2000， x19 舍去 ， x25120% 5三、解答题13. 【答案与解析】(1) 设长方形的宽为 x m，就长为122 x 26xm ，2依据题意，得x6-x 5，即 x -6x+5 0， x 1 1， x 2 5 舍去 2 当长方形的宽为 1m，长为 6m-1m5m时，面积为 5m22同样，当面积为 8m 时，有 x6-x 8，即 x -6x+8 0， x1 2， x 2 4 舍去 2 当长方形的宽为 2m，长为 6-2 4m时，面积为 8m222(2) 当面积为 l0m时， x6-x 10，即 x -6x+10 0，此时 b -4ac 36-40 -4 0，故此方程无实数根，所以这样的长方形不存在2(3) 设围成的长方形的面积为k，就有 x6-x k，即 x2-6x+k 0，要使该方程有解， 必需有 -6-4k 0，即 k92 最大的 k 只能是 9，即最大的面积为9m，此时 x 3m，6-x 3m 这时所围成的图形是正方形14. 【答案与解析】设这个宽度为 xcm，依据题意有： 80-2x60-2x 80× 60÷ 2 解这个方程得 x 110， x 2 60由于截去的小长方形的宽60-2x 必需大于 0， 即 60-2x 0，亦即 x30，所以 x 10答：宽度为 10cm时，截去的小长方形面积是原先铁片面积的一半15. 【答案与解析】解：设 2021 年到 2021 年的年平均增长率为x2就 4401+x 743.6 ，2化简得： 1+x1.69 ，解之： x 1 0.3 30%， x 2 -2.3舍去 ，2× 1+0.31256.684 亿元 1200 亿元答： 2021 年到 2021 年的工业总产值年平均增长率为30%，假设连续保持上面的增长率，在2021 年将到达 1200 亿元的目标