2022年新人教版九级数学知识点归纳总结 .docx

新人教版九年级数学学问点归纳总结新人教版九年级数学学问点归纳总结其次十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程在一个等式中,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2 次的整式方程叫做一元二次方程；一元二次方程有四个特点：1 只含有一个未知数；2 且未知数次数最高次数是2；3 是整式方程要判定一个方2程是否为一元二次方程, 先看它是否为整式方程, 如是,再对它进行整理 假如能整理为 ax +bx+c=0a 0 的形式,就这个方程就为一元二次方程（ 4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时,应满意（ a0）21.2 降次解一元二次方程1. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法：依据平方根的意义,用此法可解出形如x 2a a 0 ,xa 2b b 0 类的2一元二次方程 xa ,就 xa ； xa 2b , xab , xab 对有些一元二次方程,本身不是上述两种形式,但可以化为x 2a 或 xa 2b 的形式,也可以用此法解(2) 因式分解法：当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,就可用此法来解要清晰使乘积 ab0 的条件是 a0 或 b0,使方程 xx 3 0 的条件是 x 0 或 x3 0 x 的两个值都可以使方程成立,所以方程xx 3 0 有两个根,而不是一个根22(3) 配方法：任何一个形如 xbx 的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方, 把方程归结为能用直接开平方法来解的方程如解 x6x70 时,可把方程化为 x 26x226x6x7 ,22672,即 x3 22 ,从而得解留意： 1 “方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1(2) 解一元二次方程时,一般不用此法,把握这种配方法是重点(3) 公式法：一元二次方程a 2xbxc0 a 0 的根是由方程的系数a、b、c 确定的在 b24ac0x的前提下,b b22a4ac用公式法解一元二次方程的一般步骤：先把方程化为一般形式,即a 2xbxc0 a 0 的形式；正确地确定方程各项的系数 a、b、c 的值 要留意它们的符号 ；2运算 b4ac0 时,方程没有实数根,就不必解了 因负数开平方无意义 ；将 a、b、c 的值代入求根公式,求出方程的两个根说明： 象直接开平方法、因式分解法只是相宜于特殊形式的方程,而公式法就是最普遍,最适用的方法解题时要依据方程的特点敏捷选用方法2. 一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情形： 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根而根的情形,由 b 2别式4ac 的值来确定因此b24ac 叫做一元二次方程a 2xbxc0 的根的判>0方程有两个不相等的实数根 0方程有两个相等的实数根<0方程没有实数根判别式的应用(1) 不解方程判定方程根的情形；(2) 依据参数系数的性质确定根的范畴；(3) 解与根有关的证明题3. 韦达定理及其应用12xxb, xxc定理：假如方程a 2xbxc0 a 0 的两个根是x 1,x 2 ,那么12aa 当 a 1 时, x 1x 2应用：b,x1x 2c (1) 已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数；(2) 已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；(3) 已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；(4) 已知两数和与积求两数4. 一元二次方程的应用(1) 面积问题；(2) 数字问题；(3) 平均增长率问题 步骤：分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系 包括隐含的 ；设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；找出相等关系,并用它列出方程；解方程求出题中未知数的值；检验所求的答数是否符合题意,并做答 这里关键性的步骤是和留意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展,解题的方法是相同的, 但因一元二次方程有两解,要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义其次十二章 二次函数22.1 二次函数及其图像二次函数概念一般地,把形如 y=ax 2+bx+c（其中 a、b、c 是常数, a 0,b,c 可以为 0）的函数叫做二次函数,其中a 称为二次项系数, b 为一次项系数, c 为常数项； x 为自变量, y 为因变量；等号右边自变量的最高次数是2；二次函数图像是轴对称图形；对称轴为直线,顶点坐标,交点式为（仅限于与 x 轴有交点和的抛物线）,与x 轴的交点坐标是和；留意 ：“变量”不同于“自变量”,不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”；“未知数” 只是一个数（详细值未知,但是只取一个值）,“变量”可在实数范畴内任意取值；在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数仍是未知函数,一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情形）,但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同；从函数的定义也可看出二者的差别,犹如函数不等于函数的关系；二次函数公式大全二次函数I. 定义与定义表达式一般地,自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c（ a, b,c 为常数, a 0） 就称 y 为 x 的二次函数；二次函数表达式的右边通常为二次三项式；II. 二次函数的三种表达式一般式： y=ax2;+bx+c （ a, b,c 为常数, a 0） 顶点式： y=ax-h2;+k 抛物线的顶点 P（ h, k）交点式： y=ax-x1x-x2 仅限于与 x 轴有交点 A（ x1,0）和 B（ x2, 0）的抛物线 注：在 3 种形式的相互转化中,有如下关系:h=-b/2a k=4ac-b2;/4a x1,x2=-b± b2;-4ac/2aIII. 二次函数的图象在平面直角坐标系中作出二次函数y=x. 的图象, 可以看出,二次函数的图象是一条抛物线；IV. 抛物线的性质1. 抛物线是轴对称图形；对称轴为直线x = -b/2a；对称轴与抛物线唯独的交点为抛物线的顶点P；特殊地,当 b=0 时,抛物线的对称轴是y 轴（即直线 x=0 ）2. 抛物线有一个顶点P,坐标为P -b/2a, 4ac-b 2;/4a ；当-b/2a=0时, P 在 y 轴上；当 = b 2-4ac=0 时, P 在 x 轴上；3. 二次项系数 a 打算抛物线的开口方向和大小；当 a 0 时,抛物线向上开口；当a 0 时,抛物线向下开口；|a| 越大,就抛物线的开口越小；4. 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同打算对称轴的位置；当 a 与 b 同号时（即 ab 0）,对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab 0）,对称轴在y 轴右；5. 常数项 c 打算抛物线与 y 轴交点；抛物线与 y 轴交于（ 0, c）6. 抛物线与 x 轴交点个数 = b 2-4ac 0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点； = b 2-4ac=0 时,抛物线与x 轴有 1 个交点； = b 2-4ac 0 时,抛物线与 x 轴没有交点；V. 二次函数与一元二次方程特殊地,二次函数（以下称函数）y=ax 2;+bx+c ,当 y=0 时,二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程）, 即 ax2;+bx+c=0此时,函数图象与x 轴有无交点即方程有无实数根；函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根；例 1,二次函数配方为的形式,就用函数观点看一元二次方程yax21. 假如抛物线bxc 与 x 轴有公共点, 公共点的横坐标是 x0 ,那么当 xx0 时,函数的值是 0,因此 xx 0就是方程 ax2bxc0 的一个根；2. 二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点,有一个公共点,有两个公共点；这对应着一元二次方程根的三种情形：没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根；实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值；其次十三章 旋转23.1 图形的旋转1. 图形的旋转（ 1）定义：在平面内,将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角称为旋转角；图形的旋转本节我们重点明白旋转、平移性质,除外仍有一个重点是点的对称变换；二、学问要点1、旋转： 将一个图形围着某点O转动一个角度的变换叫做旋转；其中,O叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角；2、旋转性质 旋转后的图形与原图形全等 对应线段与 O形成的角叫做旋转角 各旋转角都相等3、平移： 将一个图形沿着某条直线方向平移肯定的距离的变换叫做平移；其中,该直线的方向叫做平移方向,该距离叫做平移距离；4、平移性质 平移后的图形与原图形全等 两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离） 各组对应线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形 中心对称：如一个图形围着某个点O旋转 180°,能够与另一个图形完全重合,就这两个图形关于这个点对称或中心对称；其中,点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点； 中心对称图形：如一个图形围着某个点O旋转 180°,能够与原先的图形完全重合,就这个图形叫做中心对称图形；其中,这个点叫做该图形的对称中心；6、轴对称与轴对称图形(1) 、轴对称：如两个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,就这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称；其中,这条轴叫做对称轴；注：轴对称的性质：两个图形全等；对应点连线被对称轴垂直平分（ 2）轴对称图形：如一个图形沿着某条轴对折,能够完全重合,就这个图形叫做轴对称图形；7、点的对称变换（ 1）、关于原点对称的点的特点两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P（ x, y）关于原点的对称点为P（ -x , -y ）（ 2）、关于 x 轴对称的点的特点两个点关于 x 轴对称时,它们的坐标中,x 相等, y 的符号相反,即点P（ x, y）关于 x 轴的对称点为 P（ x, -y ）（ 3）、关于 y 轴对称的点的特点两个点关于 y 轴对称时,它们的坐标中,y 相等, x 的符号相反,即点P（ x, y）关于 y 轴的对称点为 P（ -x , y）（）、关于直线 y x 对称两个点关于直线 yx 对称时,横坐标与纵坐标与之前对换,即：P（ x, y）关于直线 y x 的对称点为 P（ y, x）（ 5）、两个点关于直线y-x 对称时,横坐标与纵坐标与之前完全相反,即：P（ x,y）关于直线 y x 的对称点为P（ -y , -x ）注： y x 的直线是过一三象限的角平分线,y-x 的直线是过二四象限的角平分线；其次十四章 圆24.1 圆定义：（ 1）平面上到定点的距离等于定长的全部点组成的图形叫做圆；（ 2 平面上一条线段,绕它的一端旋转360°,留下的轨迹叫圆；圆心：（ 1）如定义（ 1）中,该定点为圆心（ 2）如定义（ 2）中,绕的那一端的端点为圆心；（ 3）圆任意两条对称轴的交点为圆心；（ 4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心；注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径；直径一般用字母d 表示；半径：连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径；半径一般用字母r 表示；圆的直径和半径都有很多条；圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴；在同圆或等圆中：直径是半径的 2 倍,半径是直径的二分之一.d=2r或 r= 二分之 d；圆的半径或直径打算圆的大小,圆心打算圆的位置；圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母C 表示；圆的周长与直径的比值叫做圆周率；圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数（无理数）,用字母表示；运算时,通常取它的近似值,3.14 ；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积；r2 ,用字母 S 表示；一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一；在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等；在同圆或等圆中,假如两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等；在同圆或等圆中,假如两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等；周长运算公式1. 、已知直径： C= d 2、已知半径： C=2 r3、已知周长： 4、圆周长的一半 :12周长 曲线 5、半圆的长： 12 周长 +直径面积运算公式：1、已知半径： S= r 平方2、已知直径： S=（ d2 ）平方 3 、已知周长： S= c2 平方24.2 点、直线、圆和圆的位置关系1.点和圆的位置关系 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径2.过三点的圆不在同始终线上的三个点确定一个圆；3. 外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心；4. 直线和圆的位置关系相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线；相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点；相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离；5. 直线和圆位置关系的性质和判定假如 O的半径为 r ,圆心 O到直线 l 的距离为 d,那么 直线 l 和 O相交圆和圆定义：dr ； 直线 l 和 O相切dr ； 直线 l 和 O相离dr ；两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆的外离；两个圆有唯独的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做两个圆的外切；两个圆有两个交点,叫做两个圆的相交；两个圆有唯独的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做两个圆的内切；两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆的内含；原理：圆心距和半径的数量关系：两圆外离d R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d<R+rR> r两圆内切d=R-rR>r两圆内含d<R-rR>r二、本章 重点1圆的定义：(1) 线段 OA围着它的一个端点 O旋转一周,另一个端点 A 所形成的封闭曲线,叫做圆(2) 圆是到定点的距离等于定长的点的集合2. 判定一个点 P是否在 O上 设 O的半径为 R, OPd,就有 d>r点 P在O 外；dr点 P在 O 上；d<r点 P在O 内3. 与圆有关的角1 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角24.3 正多边形和圆一、本章学问框架圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数(2) 圆周角：顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角(3) 弦切角：顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半4. 圆的性质：(1) 旋转不变性：圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原先图形重合；圆是中心对称图形, 对称中心是圆心在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等(2) 轴对称：圆是轴对称图形,经过圆心的任始终线都是它的对称轴 垂径定理及推论：(1) 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧(2) 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧(3) 弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧(4) 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦(5) 平行弦夹的弧相等5. 三角形的内心、外心、重心、垂心(1) 三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“ I ”表示(2) 三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部, 直角三角形的外心是斜边中点, 钝角三角形外心在三角形外部, 三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示(3) 三角形重心：是三角形三边中线的交点,在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用 G表示(4) 垂心：是三角形三边高线的交点6. 切线的判定、性质：(1) 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线到圆心的距离 d 等于圆的半径的直线是圆的切线(2) 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径经过圆心作圆的切线的垂线经过切点经过切点作切线的垂线经过圆心(3) 切线长：从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长(4) 切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角7. 圆内接四边形和外切四边形(1) 四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角(2) 各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等8. 直线和圆的位置关系：设 O 半径为 R,点 O到直线 l 的距离为 d(1) 直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R(2) 直线和 O有唯独公共点直线 l 和 O相切dR(3) 直线 l 和 O 有两个公共点直线 l 和O 相交d<R 9圆和圆的位置关系：设的半径为 R、rR>r ,圆心距(1) 没有公共点,且每一个圆上的全部点在另一个圆的外部外离d>Rr (2) 没有公共点,且的每一个点都在外部内含d<R r(3) 有唯独公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部外切d R r (4) 有唯独公共点,除这个点外,的每个点都在内部内切dR r (5) 有两个公共点相交R r<d<Rr 10两圆的性质：(1) 两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点11圆中有关运算：圆的面积公式：,周长 C2R圆心角为 n°、半径为 R的弧长圆心角为 n°,半径为 R,弧长为 l 的扇形的面积 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来运算圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为 l 的圆柱的体积为,侧面积为 2Rl ,全面积为圆锥的侧面绽开图为扇形,底面半径为R,母线长为 l ,高为 h 的圆锥的侧面积为 Rl ,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有留意：（ 1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的运算公式；圆周长弧长圆面积扇形面积公式（ 2）扇形与弓形的联系与区分（ 2）扇形与弓形的联系与区分图示面积学问点 4、圆锥的侧面积圆锥的侧面绽开图是一个扇形,如下列图, 设圆锥的母线长为l ,底面圆的半径为 r ,那么这个扇形的半径为l ,扇形的弧长为 2,圆锥的侧面积,圆锥的全面积说明：（ 1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积；（ 2）讨论有关圆锥的侧面积和全面积的运算问题,关键是懂得圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系；学问点 5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积绽开图是矩形,如下列图,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,如圆柱的底面半径为r ,高为 h,就圆柱的侧面积,圆柱的全面积学问小结：圆锥与圆柱的比较名称圆锥圆柱图形图形的形成过程由一个直角三角形旋转得到 的,如 Rt SOA绕直线 SO旋转一周；由一个矩形旋转得到的, 如矩形 ABCD绕直线 AB旋转一周；图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面侧面绽开图的特点扇形矩形面积运算方法其次十五章 概率初步25.1 随机大事与概率1 随机试验与样本空间具有以下三个特性的试验称为随机试验：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；·(2) 每次试验的可能结果不止一个,但事先知道每次试验全部可能的结果；(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会显现试验的全部可能结果所组成的集合为样本空间,用表示,其中的每一个结果用e 表示, e 称为样本空间中的样本点,记作 e 2 随机大事在随机试验中,把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却出现某种规律性的事情称为随机大事 简称大事 通常把必定大事 记作 与不行能大事 记作看作特殊的随机大事3 频率与概率的定义(1) 频率的定义设随机大事 A 在 n 次重复试验中发生了nA 次,就比值nA n 称为随机大事A 发生的频率,记作fn A ,即nfn AAn .(2) 概率的统计定义在进行大量重复试验中,随机大事A 发生的频率具有稳固性,即当试验次数n 很大时,频率fn A 在一个稳固的值 p 0< p <1 邻近摇摆,规定大事A 发生的频率的稳固值p 为概率,即(3) 古典概率的定义具有以下两个特点的随机试验的数学模型称为古典概型 ：PAp (i) 试验的样本空间是个有限集,不妨记作 e1, e2 ,en ;(ii) 在每次试验中,每个样本点e i1, 2, n ）显现的概率相同,即P e1 P e2 P en 在古典概型中,规定大事A 的概率为PAA中所含样本点的个数nA中所含样本点的个数n (4) 几何概率的定义假如随机试验的样本空间是一个区域 可以是直线上的区间、平面或空间中的区域 ,且样本空间中每个试验结果的显现具有等可能性,那么规定大事的概率为A的长度（ 或面积、 体积）P A样本空间的的长度（ 或面积、 体积）·25.2 用列举法求概率1、当一次试验中,可能显现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时,可以用被关注的结果在全部试验结果中所占的比分析出大事中该结果发生的概率,此时可采纳列举法2、列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法但有时一一列举出的情形数目很大,此时需要考虑如何去排除不合理的情形,尽可能削减列举的问题可能解的数目.3、利用列表法或树形图法求概率的关键是：留意各种情形显现的可能性务必相同；其中某一大事发生的某一大事发生的次数概率；在考查各种情形显现的次数和某一大事发生的次数时不能重复也不能遗漏；各种情形显现的次数4、用列表法或树形图法求得的概率是理论概率,而试验估量值是频率,它通常受到试验次数的影响而产生波动,因此两者不肯定一样,试验次数较多时,频率稳固于概率,但并不完全等于概率；25.3 用频率估量概率在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个随机大事显现的频率应当稳固于该大事发生的概率；大事发生的频率与概率既有区分又有联系：大事发生的频率不肯定相同,是个变数,而大事发生的概率是个常数；但它们之间又有亲密的联系,随着试验次数的增加,频率越来越稳固于概率；在详细操作过程中,大家往往发觉：虽然多次试验结果的频率逐步稳固于概率,但可能无论做多少次试验, 两者之间存在着肯定的偏差；应当留意：这种偏差的存在是常常的,并且是正常的；另外,由于受到某些因素的影响,通过试验得到的估量结果往往不太抱负,甚至有可能显现极端情形,此时我们应正确地看待这样的结果并尝试着对结果进行合理的说明；对试验结果的频率与理论概率的偏差的懂得也是形成随机观念的一个重要环节；在实际应用中,当试验次数越大时,显现极端情形的可能性就越小；因此,我们常常通过做大量重复试验来获得大事发生的频率,并用它作为概率的估量值；试验次数越多,得到的估量结果就越牢靠；其次十六章 反比例函数26.1 学问点 1 反比例函数的定义一般地,形如yk（ k 为常数, kx0 ）的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来懂得： x 是自变量, y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范畴是x0 的一切实数,函数值的取值范畴是y0 ；比例系数 k0 是反比例函数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式： yk （ k x0 ）,1 ykx（ k0 ）, xyk （定值）（ k0 ）；函数 yk （ k x0 ）与 xk （ ky0 ）是等价的,所以当y 是 x 的反比例函数时,x 也是 y 的反比例函数；（ k 为常数, k0 ）是反比例函数的一部分, 当 k=0 时, ykk,就不是反比例函数了, 由于反比例函数 yxx（ k0 ）中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式；26.2 学问点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数 yk （ k x0 ）中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式；26.3 学问点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或其次、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量x0 ,函数值 y0 ,所以它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永久达不到坐标轴；反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线；再作反比例函数的图像时应留意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多,画的图像越精确；连线时,必需依据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接,切忌画成折线；画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交；26.4 学问点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质,主要讨论它的图像的位置及函数值的增减情形,如下表：反比例yk （ k0 ）函数xk 的符号k0k0图像 x 的 取 值 范 围 是x 0 ,y 的取值范畴是y 0 x 的 取 值 范 围 是x 0 ,y 的取值范畴是y 0性质当 k0 时,函数图像 当 k0 时,函数图像的 两 个 分 支 分 别 在 第一、第三象限,在每个 象限内,y 随 x 的增大而减小；的 两 个 分 支 分 别 在 其次、第四象限,在每个 象限内,y 随 x 的增大而增大；留意 ：描述函数值的增减情形时,必需指出“在每个象限内”否就,笼统地说,当减小“,就会与事实不符的冲突；k0 时, y 随 x 的增大而反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k 的符号打算的,反过来,由反比例函数图像（双曲k线）的位置和函数的增减性,也可以推断出k 的符号；如y在第一、第三象限,就可知xk0 ；反比例函数 yk（ k0 ）中比例系数 k 的肯定值 k 的几何意义；x如下列图,过双曲线上任一点P（ x, y）分别作 x 轴、 y 轴的垂线, E、F 分别为垂足,就 kxyxyPFPES矩形 OEPF 反比例函数 y原点；k（ k0 ）中, k 越大,双曲线 yxk越远离坐标原点；k 越小,双曲线 yxk越靠近坐标x 双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x 和直线 y= x；其次十七章相像27.1 图形的相像概述假如两个图形外形相同 ,但大小不肯定相等,那么这两个图形相像； （相像的符号：）判定假如两个多边形满意对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相像；相像比相像多边形的对应边的比叫相像比；相像比为1 时,相像的两个图形全等；性质相像多边形的对应角相等,对应边的比相等；相像多边形的周长比等于相像比；相像多边形的面积比等于相像比的平方；27.2 相像三角形判定1. 两个三角形的两个角对应相等2. 两边对应成比例 ,且夹角相等3. 三边对应成比例4. 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相像；例题 A= A' B= B' ABC A'B'C'性质1. 相像三角形的一切对应线段对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相像比；2. 相像三角形周长的比等于相像比；3. 相像三角形面积的比等于相像比的平方27.3 位似假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边相互平行,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相像比又称为位似比；性质位似图形的对应点和位似中心在同始终线上,它们到位似中心的距离之比等于相像比；位似多边形的对应边平行或共线；位似可以将一个图形放大或缩小；位似图形的中心可以在任意的一点,不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变；依据一个位似中心可以作两个关于已知图形肯定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称；留意1、位似是一种具有位置关系的相像,所以两个图形是位似图形,必定是相像图形,而相像图形不肯定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相像比利用位似图形的定义可判定两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形位似；其次十八章锐角三角函数28.1 锐角三角函数锐角角 A 的正弦（ sin） ,余弦（ cos）和正切（ tan） ,余切（ cot）以及正割（ sec）,（余割 csc）都叫做角 A 的锐角三角函数；正弦（ sin）等于对边比斜边,余弦（ cos）等于邻边比斜边正切（ tan）等于对边比邻边；直角三角形 ABC 中,角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 ,余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边 ,28.2 解直角三角形勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a2+b2=c2,其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边；勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数；比如：3, 4, 5；他们分别是 3, 4 和 5 的倍数；直角三角形的特点直角三角形两个锐角互余；A直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即：在 RtABC 中,如 C 90°,就 a2+b2=c2；CB勾股定理的逆定理：假如三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,就这个三角形是直角三角形,