2022年初中三角形知识点总结.docx
图形的初步熟悉：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边；推论：三角形的两边之差小于第三边；2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°；推论：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；注：在同一个三角形中： 等角对等边； 等边对等角； 大角对大边； 大边对大角；4、三角形的面积三角形的面积 = 1 ×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：（1） ）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）（2） ）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ASA”）（3） ）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）；（4） 角角边定理： 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 （ 可简写成“角角边”或“ AAS”）；直角三角形全等的判定：对于特别的直角三角形, 判定它们全等时, 仍有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL”）3、全等变换只转变图形的位置, 不转变其外形大小的图形变换叫做全等变换；全等变换包括一下三种：（1） ）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换；（2） 对称变换：将图形沿某直线翻折 180°,这种变换叫做对称变换；（3） ）旋转变换：将图形绕某点旋转肯定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换；考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边；即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合；推论 2：等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°；2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；（1） ）三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形；（2） 要会区分三角形中线与中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半；三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行； 数量关系：可以证明线段的倍分关系；常用结论：任一个三角形都有三条中位线,由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半；结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形；结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线相互平分；结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等；解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半；3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边 c 的平方,即 a 2b2c 25、摄影定理在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项, 每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项ACB=90°2CDAD . BDCD ABAC 2BC 2AD . ABBD . AB6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB. CD=AC. BC考点二、锐角三角函数的概念（ 38 分）1、如图,在 ABC中, C=90° sin AA的对边a斜边csin 0cos1tan 0cot 不存在 cos AA的邻边斜边bc tan AA的对边A的邻边ab cotAA的邻边A的对边ba2、一些特别角的三角函数值三角函数0 °30 °45 °60 °90 °122232132221203313不存在313303、各锐角三角函数之间的关系（ 1）互余关系： sinA=cos90 ° A , cosA=sin90 ° A , tanA=cot90 ° A, cotA=tan90 ° A（2） 平方关系：sin 2 Acos2 A1（3） 倒数关系： tanA . tan90 ° A=1（4） 弦切关系： tanA=sin Acos A三角形相像考点一、比例线段1、比例的性质（1） 基本性质a： b=c：dad=bca： b=b：cb 2ac（2） 更比性质（交换比例的内项或外项）ab （交换内项）cda cdb dbc （交换外项）adb （同时交换内项和外项）ca（3） 反比性质（交换比的前项、后项） ：a cbdb dac（4） 合比性质：acabcd bdbd（5） 等比性质：a ceb dfm bdf nn0a cemab dfnb3、黄金分割把线段 AB分成两条线段 AC,BC（AC>BC）,并且使 AC是 AB和 BC的比例中项, 叫做把线段 AB黄金分割, 点 C叫做线段 AB的黄金分割点,其中 AC= 521 AB 0.618AB考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例；考点三、相像三角形1、相像三角形的概念对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相像三角形；相像用符号“”来表示2、相像三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交, 所构成的三角形与原三角形相像；相像三角形的等价关系：（1） 反身性：对于任一 ABC,都有 ABC ABC；（2） 对称性：如 ABC AB C,就 AB C ABC（3） 传递性：如 ABC ABC,并且 ABC A B C ,就 ABC A B C；3、三角形相像的判定（1） 三角形相像的判定方法定义法：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相像平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相像判定定理 1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相像, 可简述为两角对应相等, 两三角形相像；判定定理 2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例, 并且夹角相等, 那么这两个三角形相像, 可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像；判定定理 3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相像,可简述为三边对应成比例, 两三角形相像（2） 直角三角形相像的判定方法以上各种判定方法均适用定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角 三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相像4、相像三角形的性质（1） 相像三角形的对应角相等,对应边成比例（2） ）相像三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比（3） 相像三角形周长的比等于相像比（4） 相像三角形面积的比等于相像比的平方；5、相像多边形（1） 假如两个边数相同的多边形的对应角相等, 对应边成比例,那么这两个多边形叫做相像多边形； 相像多边形对应边的比叫做相像比（或相像系数）（2） 相像多边形的性质相像多边形的对应角相等,对应边成比例相像多边形周长的比、对应对角线的比都等于相像比相像多边形中的对应三角形相像,相像比等于相像多边形的相像比相像多边形面积的比等于相像比的平方6、位似图形假如两个图形不仅是相像图形,而且每组对应点所在直线都经过 同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 此时的相像比叫做位似比；性质：每一组对应点和位似中心在同始终线上,它们到位似中心的距离之比都等于位似比；由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换；利用位似变换可以把一个图形放大或缩小；
