2022年新课标人教A版高一数学必修1知识点总结.docx

高中数学必修 1 学问点第一章 集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义： 某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素；2、集合的中元素的三个特性：（ 1）元素的确定性；（ 2）元素的互异性；（ 3）元素的无序性说明： 1 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素；(2) 任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素；(3) 集合中的元素是公平的,没有先后次序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列次序是否一样；3、集合的表示： 如 我校的篮球队员 , 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 （ 1）用大写英文字母表示集合：A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5（ 2）集合的表示方法：列举法与描述法；（）列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上；（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法；用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法；语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集是 x R| x-3>2或x| x-3>2（ 3）图示法（文氏图） ：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R 5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的英文字母表示,如：a 是集合 A 的元素,就说a 属于集合 A 记作 a A ,相反,a 不属于集合A 记作 aA 6、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集对于两个集合 A 与 B,假如集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 AB留意：有两种可能（ 1） A 是 B的一部分, ；（ 2） A 与 B 是同一集合；反之 :集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B不包含集合 A, 记作 AB 或 BAn集合 A 中有 n 个元素 , 就集合 A 子集个数为 2 .2“相等”关系 5 5,且 5 5,就 5=52实例：设 A=x|x-1=0B=-1,1“元素相同”结论：对于两个集合A 与 B,假如集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素, 同时, 集合 B 的任何一个元素都是集合 A的元素,我们就说集合A 等于集合 B,即： A=BAB且BA 任何一个集合是它本身的子集；AA 真子集 : 假如 AB, 且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB 或 BA假如 AB, BC , 那么 AC 假如 AB同时 BA 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 :空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；三、集合的运算1 交集的定义 ：一般地,由全部属于A 且属于 B 的元素所组成的集合 , 叫做 A,B 的交集记作 A B读作” A交 B” ,即 A B=x|x A,且 x B2、并集的定义 ：一般地,由全部属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集；记作：A B 读作” A 并 B” ,即 AB=x|x A,或 xB 3、交集与并集的性质：A A = A , A = , A B = B A, A A = A , A = A , A B = B A.4、全集与补集UACuA（ 1）全集：假如集合S 含有我们所要争论的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集；通常用 U 来表示；（ 2）补集：设 U 是一个集合, A 是 U的一个子集（即AU）,由 U 中全部不属于 A 的元素组成的集合,叫做U中子集 A 的补集（或余集） ；记作： C UA ,即 C UA =x | xU 且 xA（ 3）性质： CUC UA=A C UA A= C UA A=U二、函数的有关概念1. 函数的概念： 设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f ,使对于集合 A 中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯独确定的数fx和它对应,那么就称f ： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=fx, x A其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合fx| x A 叫做函数的值域留意： 1、假如只给出解析式y=fx,而没有指明它的定义域,就函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间 的形式 定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据 是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必需大于零；(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的. 那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 .（ 6）指数为零 , 底不行以等于零7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 留意：求出不等式组的解集即为函数的定义域；2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域留意：构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系打算的, 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一样,而与表示自变量和函数值的字母无关；相同函数的判定方法：定义域一样；表达式相同 两点必需同时具备 值域补充(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法就,不论实行什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 .(2) 、应熟识把握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础；3. 函数图象学问归纳(1) 定义： 在平面直角坐标系中,以函数y=fx , x A 中的 x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点Px , y 的集合 C,叫做函数 y=fx,xA 的图象C 上每一点的坐标 x , y 均满意函数关系y=fx,反过来,以满意y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点 x , y ,均在 C上 .即记为 C= Px,y | y= fx , x A 图象 C一般的是一条光滑的连续曲线 或直线 , 也可能是由与任意平行于Y 轴的直线最多只有一个交点的如干条曲线或离散点组成；(2) 画法：A、描点法： 依据函数解析式和定义域,求出x,y 的一些对应值并列表,以x,y为坐标在坐标系内描出相应的点 Px, y,最终用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换 :（ 1）将 y= fx在 x 轴下方的图象向上翻得到y= fx的图象如：书上P21 例 5alog a xlog 1 xx（ 2） y= fx和 y= f-x的图象关于 y 轴对称；如yax与ya x1（ 3） y= fx和 y= -fx的图象关于 x 轴对称；如 ylog ax与ya、平移变换 :由 fx得到 fxa左加右减；由 fx得到 fxa上加下减4. 区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（ 2）无穷区间； （ 3）区间的数轴表示5. 映射说明 : 函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A、B 及对应法就 f 是确定的；对应法就有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f ： A B 来说,就应满意： （）集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的；（）集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个； （）不要求集合B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象；6、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点1 解析法：必需注明函数的定义域；2 图象法：描点法作图要留意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观看函数的特点；3 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特点留意：解析法：便于算出函数值；列表法：便于查出函数值；图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；在不同的范畴里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式；分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情形留意：（ 1）分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数； （ 2）分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集补充二：复合函数假如 y=fu,u M,u=gx,xA, 就 y=fgx=Fx, x A称为 f 是 g 的复合函数；7函数单调性（ 1）增函数设函数 y=fx的定义域为 I ,假如对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x 1, x 2,当 x1<x2 时, 都有 fx 1<fx2 ,那么就说 fx在区间 D上是 增函数 ；区间 D称为 y=fx的单调增区间；假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值x1, x2,当 x 1<x2 时,都有 fx 1 fx 2 ,那么就说 fx在这个减减增减减增u=gxy=fuy=fgx增增增增减减区间上是 减函数 . 区间 D 称为 y=fx的单调减区间 .留意： 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；2、必需是对于区间D 内的任意 两个自变量 x1, x2；当 x1<x2 时,总有fx 1<fx2（或 fx 1 fx 2 ）；（ 2） 图象的特点假如函数 y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 3.函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取 x 1, x2D,且 x1<x2； 2 作差 fx 1 fx 2 ； 3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判定差fx 1 fx 2 的正负）； 5 下结论（指出函数fx在给定的区间D 上的单调性） (B) 图象法 从图象上看升降 (C) 复合函数的单调性：复合函数fgx的单调性与构成它的函数u=gx , y=fu的单调性亲密相关, 其规律如下：复合函数单调性：口诀：同增异减留意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8函数的奇偶性（ 1）偶函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f x=fx,那么 fx就叫做偶函数（ 2）奇函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f x= fx,那么 fx就叫做奇函数留意： 1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质； 函数可能没有奇偶性 , 也可能既是奇函数又是偶函数；2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,就 x 也肯定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（ 3） 具有奇偶性的函数的 图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上如有单调性,就其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上如有单调性,就其单调性恰恰相反.如奇函数f x 定义域中含有 0,就必有f 00 .既奇又偶函数有无穷多个（f x0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集）.9、函数最大（小）值（定义见课本p30 页）（ 1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；（ 2） 利用图象求函数的最大（小）值；（ 3） 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx在区间 a , b 上单调递增,在区间 b , c 上单调递减就函数 y=fx在 x=b 处有最大值 fb；假如函数 y=fx在区间 a , b 上单调递减,在区间 b , c 上单调递增 ,就函数 y=fx在 x=b 处有最小值 fb；一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1. 根式的概念 ：其次章 基本初等函数负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是0,记作n 0 =0；留意： 1 n a na(2) 当 n 是奇数时, n an2. 分数指数幂a ,当 n 是偶数时,mn an| a |a, a0a, a0正数的正分数指数幂的意义,规定：a nn_ m1n am a0, m, nN, 且n1正数的正分数指数幂的意义：am aa n0, m, nN,且n10 的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义3. 实数指数幂的运算性质（ 1）ar asar s a0, r , sR（ 2） ar sars a0, r , sR（ 3） ab rar br a0, b0, rR1留意：在化简过程中,偶数不能轻易约分；如（二）指数函数及其性质12 2 212而应 =211、指数函数的概念：一般地,函数yax叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和1即 a>0 且 a 1 2、指数函数的图象和性质0<a<1a>1图像定义域 R ,值域（ 0, +）（ 1）过定点（ 0, 1）, 即 x=0 时, y=1(2) 在 R上是减函数2 在 R上是增函数性质（ 3）当 x>0 时,0<y<1;当 x<0 时,y>1（ 3）当 x>0 时,y>1;当 x<0 时,0<y<1留意：指数增长模型： y=N1+p x指数型函数： y=ka x指数函数的单调性由底数打算的,底数不明确的时候要进行争论；把握利用单调性比较幂的大小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同0二、对数函数（一）对数插进 1=a 进行传递1对数的概念 ：一般地,假如 a xN,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作： xlog a N（ a 底数, N 真数, log a N 对数式）说明： 1.留意底数的限制,a>0 且 a1； 2.真数 N>0 3.留意对数的书写格式2、两个重要对数：（ 1）常用对数：以 10 为底的对数 ,log 10 N记为lg N；（ 2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数,log e N记为 ln N 3、对数式与指数式的互化xlog aNa xN对数式指数式 对数底数 a 幂底数对数 x 指数真数 N 幂结论：（ 1）负数和零没有对数（ 2） log aa=1,loga1=0特殊地, lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0(3) 对数恒等式：a loga NN（二）对数的运算性质假如 a > 0, a1 , M > 0 , N > 0有：1、 log （a2 、 log aM . N）MlogaNlog aMMlog alog a NN两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差n3 、 log a M说明 :n log aM（ nR）一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍1) 简易语言表达 : ”积的对数 =对数的和”2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必需是 0, 留意：换底公式log a blog c blg ba0, a1,c0, c1,b0log c a利用换底公式推导下面的结论lg a logb1 lognb . logc . logdlogd log m bnlogbalog b aabcaama（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylog ax a>0 ,且 a 1叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是（0, +） 留意：（ 1） 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,留意辨别；如： ylogax1 , ylog a x2 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数（ 2） 对数函数对底数的限制：a>0,且 a 12、对数函数的图像与性质：对数函数ylog ax a>0 ,且 a 10 a 1a 1yy图像0 1, 0x0 1, 0x定义域：（ 0,）值域： R过点 1 ,0,即当 x 1 时,y 0性在0,+ 上是减函数在0,+ 上是增函数质当 x>1 时, y<0当 x>1 时, y>0当 x=1 时, y=0当 0<x<1 时, y>0当 x=1 时, y=0当 0<x<1 时, y<0重要结论 ： 在 loglogb>0; ab 中,当 a ,b同在 0,1或 1,+ 内时,有a当 a,b 不同在 0,1内,或不同在 1,+ 内时 , 有 logb<0.a3、如图,底数a 对函数 ylog a x的影响；规律 :底大枝头低 ,头低尾巴翘；对数函数的单调性由底数打算的,底数不明确的时候要进x行争论； 把握利用单调性比较对数的大小,同底找对应的对数函数, 底数不同真数也不同 , 插进 1=log aa 进行传递；y=a a>0 且 a 1与 y=log axa>0 且 a 1互为反函数,图象关于y=x 对称；5 比较两个幂的形式的数大小的方法:(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较, 可以利用指数函数的单调性来判定.(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较, 可以利用比商法来判定.(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较, 就应通过中间值来判定 . 常用 1 和 0.6 比较大小的方法1利用函数单调性 同底数 ； 2利用中间值（如 :0,1.）；3变形后比较； 4作差比较（三）幂函数1、幂函数定义：一般地,形如yx的函数称为幂函数,其中x 是自变量,为常数2、幂函数性质归纳（ 1）全部的幂函数在（ 0,+）都有定义,并且图象都过点（1,1）；（ 2） >0 时,幂函数的图象通过原点,并且在0,+）上是增函数特殊地,当 >1 时,幂函数的图象下凸；当0< <1 时,幂函数的图象上凸；（ 3） <0 时,幂函数的图象在（0, +）上是减函数在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴, 当 x 趋于 +时,图象在 x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点 的概念：对于函数y=fx,使 fx=0的实数 x 叫做函数的零点； （实质上是函数 y=fx与 x轴交点的横坐标）2、函数零点的意义 ：方程 fx=0有实数根 . 函数 y=fx的图象与 x 轴有交点 . 函数 y=fx有零点3、零点定理 ：函数 y=fx在区间 a,b上的图象是连续不断的,并且有 fafb<0,那么函数 y=fx在区间（ a,b ）至少有一个零点c,使得 f c=0,此时 c 也是方程 fx=0的根；4、函数零点的求法 ：求函数 y=fx的零点：（ 1） （代数法）求方程fx=0的实数根；（ 2） （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=fx的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点5、二次函数的零点：二次函数 fx=ax2+bx+ca 0 1） 0,方程 fx=0有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点2） 0,方程 fx=0有两相等实根（二重根） ,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点3） 0,方程 fx=0无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点 二、二分法1、概念 ：对于在区间 a,b上连续不断且 fafb<0的函数 y=fx,通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两个端点逐步靠近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法；2、用二分法求方程近似解的步骤:确定区间 a,b,验证 fafb<0,给定精确度；求区间 a,b的中点 c;运算 fc,如 fc=0,就 c就是函数的零点；如 fafc<0,就令 b=c（此时零点x 0a,c）如 fcfb<0,就令 a=c（此时零点x 0c,b）(4) 判定是否达到精确度：即如|a-b|< , 就得到零点近似值为a 或 b; 否就重复 两个根都在（ m,n 内两个有且仅有一个在（m,n 内x 1 m,n x2 p,qymmnnxmnpq两个根都小于 K两个根都大于 K一个根小于 K,一个根大于 Kykkxk00fk<0bk2 a k b2 a k kf0f0(5) 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布0f m0mf m b2 a0nfmfn<0f nf p00f n 0f q0