2022年新课标人教A版高中数学知识点总结.docx

1.1 柱、锥、台、球的结构特点高中数学必修 2 学问点总结第一章空间几何体（ 1）棱柱：定义 ：有两个面相互平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都相互平行, 由这些面所围成的几何体；分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；表示 ：用各顶点字母,如五棱柱ABCDEA' B 'C ' D ' E '或用对角线的端点字母,如五棱柱AD '几何特点 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形；（ 2）棱锥定义 ：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各顶点字母,如五棱锥PA' B' C ' D ' E '几何特点 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像,其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平方；（ 3）棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 ：用各顶点字母,如五棱台PA' B' C ' D ' E '几何特点 ：上下底面是相像的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（ 4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特点 ：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面绽开图是一个矩形；（ 5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特点 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面绽开图是一个扇形；（ 6）圆台：定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特点： 上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面绽开图是一个弓形；（ 7）球体：定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特点： 球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径；1.2 空间几何体的三视图和直观图(1) 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面对后面正投影）；侧视图（从左向右） 、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度；(2) 画三视图的原就：长对齐、高对齐、宽相等（ 3）直观图：斜二测画法（ 4）斜二测画法的步骤：（ 1） .平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（ 2） .平行于 y 轴的线长度变半,平行于x, z 轴的线长度不变；（ 3） .画法要写好；（ 5）用斜二测画法画出长方体的步骤：（ 1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（ 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和；（ 2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长, h 为高,h ' 为斜高, l 为母线）S直棱柱侧面积chS圆柱侧2 rhS正棱锥侧面积1 ch'2S圆锥侧面积rlS1 cc h'S rRl21222正棱台侧面积圆 台 侧 面 积S圆柱表2 r rlS圆锥表r rlS圆台表rrlRlR（ 3）柱体、锥体、台体的体积公式V柱ShV圆柱 Sh2r h V1 Sh3V圆锥1r 2h 3锥台圆台V1 S'S'SS hV1 S'S S'Sh1r2 rRR2h333=（ 4）球体的表面积和体积公式：V 球43R3； S球面 =4R2其次章 直线与平面的位置关系DC2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（ 1）平面 平面的概念：A. 描述性说明；B. 平面是无限舒展的；AB 平面的表示： 通常用希腊字母 、 、 表示,如平面 （通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC ； 点与平面的关系： 点 A 在平面内,记作 A；点 A不在平面内,记作 A点与直线的关系： 点 A 的直线 l 上,记作： A l；点 A 在直线 l 外,记作 Al；直线与平面的关系 ：直线 l 在平面 内,记作 l；直线 l 不在平面 内,记作 l ；（ 2）公理 1：假如一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是全部的点都在这个平面内；（即直线在平面内,或者平面经过直线） 应用： 检验桌面是否平；判定直线是否在平面内用符号语言表示公理1：Al , Bl , A, Bl（ 3）公理 2： 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面；推论： 始终线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面；公理 2 及其推论作用： 它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据（ 4）公理 3： 假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号： 平面 和相交,交线是 a,记作 a；符号语言： 公理 3 的作用：PABABl , Pl它是判定两个平面相交的方法；它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点；它可以判定点在直线上,即证如干个点共线的重要依据；2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点；2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行；符号表示为：设 a、b、c 是三条直线a b c b=>a c强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用；公理 4 作用：判定空间两条直线平行的依据；3 等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 留意点： a'与 b' 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定,与O 的挑选无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 0 , 2； 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线相互垂直,记作a b； 两条直线相互垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形； 运算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（ 1）直线在平面内 有很多个公共点（ 2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（ 3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情形统称为直线在平面外,可用a 来表示aa =Aa 2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,就该直线与此平面平行；简记为：线线平行,就线面平行；符号表示：A b=> a a b2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行；2、判定两平面平行的方法有三种：（ 1）用定义；（ 2）判定定理；（ 3）垂直于同一条直线的两个平面平行；符号表示：aB a b = P a b 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；简记为：线面平行就线线平行；符号表示：a aa b = b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题；2、定理：假如两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行；符号表示： = aa b = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义假如直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面 相互垂直,记作 L ,直线 L 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 L 的垂面；如图,直线与平面垂直时 , 它们唯独公共点 P 叫做垂足；LP2、判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,就该直线与此平面垂直；留意点： a定理中的“两条相交直线”这一条件不行忽视；b 定理表达了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想；2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间始终线动身的两个半平面所组成的图形A梭 lB2、二面角的记法：二面角-l- 或-AB- 3、两个平面相互垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直；2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行；2 性质定理：两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；本章学问结构框图平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理 4）空间直线、平面的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与直线的位置关系3.1 直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率第三章直线与方程1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与 x 轴相交时 ,取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角 . 特殊地 , 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,规定 = 0 ° .2、 倾斜角 的取值范畴：0° 180° .当直线 l 与 x 轴垂直时 ,= 90 ° .3、直线的斜率 :一条直线的倾斜角 90° 的正切值叫做这条直线的斜率, 斜率常用小写字母 k 表示 , 也就是 k = tan 当直线l与 x 轴平行或重合时 , =0°, k = tan0° =0;当直线l与 x 轴垂直时 ,= 90 ° , k不存在 .由此可知 ,一条直线 l 的倾斜角 肯定存在 , 但是斜率 k 不肯定存在 . 4、 直线的斜率公式 :给定两点 P1x1,y1,P2x2,y2,x1x2, 用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式 : k=y2-y1/x2-x13.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合,假如它们平行,那么它们的斜率相等；反之,假如它们的斜率相等,那么它们平行,即留意 :上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立即假如 k1=k2,那么肯定有 L1 L22、两条直线都有斜率,假如它们相互垂直,那么它们的斜率互为负倒数；反之,假如它们的斜率互为负倒数,那么它们相互垂直,即yy0kxx0 3.2.1 直线的点P1P22x2x22y2y1斜式方程1、直线的 点斜式 方程：直线 l 经过点P0 x0 , y0 ,且斜率为 k2、直线的 斜截式方程：已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为3.2.2 直线的两点式方程0, bykxb1、直线的两点式方程： 已知两点P1 x1 , x2 , P2 x2 , y2 其中 x1x2 , y1y2 y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程： 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A a,03.2.3 直线的一般式方程,与 y 轴的交点为 B 0, b ,其中 a0,b01、直线的一般式方程：关于2、各种直线方程之间的互化；3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标x, y 的二元一次方程 AxByC0 （ A , B 不同时为 0）L 1 ： 3x +4y -2=0L 1： 2x +y +2=0解：解方程组3x4y2x2y20得 x=-2 , y=220所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M （ -2, 2）3.3.2 两点间距离两点间的距离公式3.3.3 点到直线的距离公式1点到直线距离公式：Ax0By0C点 Px0 , y0 到直线 l : AxByC0 的距离为： d22AB2、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为l1 ： AxByC10 ,l2 ： AxByC20 ,就 l 1 与 l 2 的距离为 dC1C2A2B 24.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：xa2 yb2第四章圆与方程r 2圆心为 Aa,b, 半径为 r 的圆的方程2、点M x0 , y0 与圆2 xa2 yb2r的关系的判定方法：2（ 1） xa yb2 > r 2 ,点在圆外（ 2） xa2 yb2 = r 2 ,点在圆上000000（ 3） xa2 yb2 < r 2 ,点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：x2y 2DxEyF02、圆的一般方程的特点：(1) x2 和 y2 的系数相同,不等于0 没有 xy 这样的二次项(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了(3) 、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特点明显,圆的标准方程就指出了圆心坐标与半径大小,几何特点较明显；4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判定直线与圆的位置关系设直线 l ： axbyc0 ,圆 C ： x 2y 2DxEyF0 ,圆的半径为r ,圆心 D ,2E 到直2线的距离为 d ,就判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（ 1）当 dr 时,直线 l 与圆 C 相离；（ 2）当 dr 时,直线 l 与圆 C 相切；（ 3）当 dr 时,直线 l 与圆 C 相交；4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系设两圆的连心线长为l ,就判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（ 1）当 lr1r2 时,圆C1 与圆C2 相离；（ 2）当 lr1r 2 时,圆C1 与圆C2 外切；（ 3）当 | r1r2 |lr1r2 时,圆C1 与圆C2 相交；（ 4）当 l| r1r2| 时,圆C1 与圆C 2 内切；（5）当 l| r1r2| 时,圆C1 与圆C 2 内含；4.2.3 直线与圆的方程的应用22直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情形,基本上由以下两种方法判定：（ 1）设直线l : AxByC0 ,圆 C :xaybr2 ,圆心 C a,b到 l 的距离为 dAaBbC ,就有 drl与C相离 ； drl与C相切 ； drl 与C相交A 2B 2（ 2）设直线l : AxByC0 ,圆 C : xaybr 2 ,先将方程联立消元,得到一个一元二次22方程之后,令其中的判别式为,就有0l与C相离 ；0l与C相切 ；0l 与C相交2注：假如圆心的位置在原点,可使用公式切点坐标, r 表示半径；xx0yy 0r去解直线与圆相切的问题,其中x0 , y0 表示1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；其次步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论3 过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r 2,圆上一点为 x0, y0,就过此点的切线方程为xx0yy 0r 2课本命题 圆 x-a 2+y-b 2=r 2,圆上一点为 x0,y0 ,就过此点的切线方程为x0-ax-a+y 0-by-b= r 2 课本命题的推广4.3.1 空间直角坐标系1、点 M 对应着唯独确定的有序实数组R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标 x, y, z , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、RM2、有序实数组 x, y, z ,对应着空间直角坐标系中的一点OQy PM'3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组x, y, z 来表示,该数组叫x做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记M x, y, z , x 叫做点M 的横坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标；z4.3.2 空间两点间的距离公式1、空间中任意一点式P1 x1 , y1 , z1 到点P2 x2,y2, z2 之间的距离公OM1MN1P2P1M2H N2yNxP P12x1x 22 y1y 222 z1z 2